111 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《電子電路》

這題主要考驗對電子電路基本概念的理解。

(a) F。電路的頻率響應通常是一個複數函數，表示為幅度響應和相位響應。頻率響應的實數部分代表幅度，虛數部分代表相位。因此，頻率響應本身不是實數。

(b) F。零共模增益（zero common-mode gain）是指輸出與共模輸入信號無關。對於單一運算放大器，無論是反相或非反相組態，通常都旨在最大化差模增益（differential-mode gain）並最小化共模增益。零共模增益是理想運算放大器的一個特性，通常不需要特別設計兩種組態來達成。

(c) T。在理想運算放大器（op amp）的線性區域工作時，反相輸入端（-）和非反相輸入端（+）之間存在虛短（virtual short），即兩端電壓幾乎相等。這是由運算放大器極高的開迴路電壓增益所致。

(d) F。放大器放大 AC 信號的能量來自於直流電源（DC power supply），而非輸入的 AC 信號本身。輸入的 AC 信號僅是控制功率輸出的「開關」或「調變器」。

(e) T。級聯（cascading）是將多個放大級串聯起來以獲得更高總體增益的方法。對於 BJT 和 MOSFET，透過雙級聯（double cascading）可以有效地疊加電壓增益，從而獲得更高的總電壓增益。

(f) F。運算放大器在不同頻率下具有不同的增益。在低頻時，增益接近其直流增益；隨著頻率升高，增益會下降（roll off），這就是頻率響應。因此，輸入的正弦信號在所有頻率下通常不會以相同的增益被放大。

核心觀念

戴維寧等效電路由開路端電壓與等效電阻組成：

$$V_{\mathrm{th}}=V_{ab}\big|_{\text{開路}}$$ $$R_{\mathrm{th}}=\text{將獨立電壓源短路後，從 }a,b\text{ 端看入的等效電阻}$$

以下令 $V_{ab}=V_a-V_b$，並依圖示假設電壓源上端電位為 $V_s$、下端 $b$ 為參考點。圖中 (b) 的兩條斜線交叉處沒有接點，因此不相連。

(a)

開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$

令上方菱形頂點電位為 $V_s$，下方頂點及端點 $b$ 電位為 $0$。

此電路左右對稱，且所有電阻皆為 $R$，因此左、右兩個中間節點電位相同。中間的電阻沒有電流通過，不影響分壓。

右側支路為兩個串聯電阻：

$$V_a=V_s\frac{R}{R+R}=\frac{V_s}{2}$$

因此

$$V_{\mathrm{th},a} = V_{ab}=\frac{V_s}{2}$$

等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$

將理想電壓源短路，使菱形上端與下端 $b$ 成為同一個節點。

從 $a$ 看出去有兩條路徑：

1. 經由菱形右上、右下的兩個電阻：

$$R\parallel R=\frac{R}{2}$$

2. 先經過中央水平電阻，再經左側兩個電阻的並聯：

$$R+\left(R\parallel R\right) =R+\frac{R}{2} =\frac{3R}{2}$$

所以

$$R_{\mathrm{th},a} = \frac{R}{2}\parallel\frac{3R}{2} = \frac{\left(\frac{R}{2}\right)\left(\frac{3R}{2}\right)} {\frac{R}{2}+\frac{3R}{2}} = \frac{3R}{8}$$

因此 (a) 的戴維寧等效電路為電壓源 $\dfrac{V_s}{2}$ 串聯電阻 $\dfrac{3R}{8}$，且正端接 $a$。

(b)

開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$

令左上節點電位為 $V_s$，左下節點電位為 $0$。設右上端為 $a$、右下端為 $b$。

在端點 $a$ 寫 KCL：

此題考驗對橋式整流器（bridge rectifier）的理解，特別是其輸出電壓的直流分量計算。我們需要考慮二極體的導通電壓和輸入交流電壓的 RMS 值。

核心觀念：
橋式整流器將交流電轉換為脈動直流電。在每個半週期，有兩個二極體導通，另外兩個截止。輸出電壓的直流分量是指其平均值。

計算步驟：

1. 確定輸入電壓的峰值 ($V_p$)：
   已知輸入電壓 $v_s$ 是 RMS 值為 12 V 的正弦波。
   $V_{rms} = 12$ V
   對於正弦波，峰值與 RMS 值之間的關係為 $V_p = V_{rms} \times \sqrt{2}$。
   $V_p = 12 \times \sqrt{2} \approx 12 \times 1.414 = 16.97$ V。

2. 分析橋式整流器的輸出電壓：
   橋式整流器在每個週期中有兩個二極體導通。在正半週期，例如 $D_1$ 和 $D_3$ 導通；在負半週期，例如 $D_2$ 和 $D_4$ 導通。
   當二極體導通時，它們具有一個恆定的壓降 $V_D = 0.7$ V。
   因此，在任何導通的半週期，輸出電壓 $v_o$ 相對於輸入電壓 $v_s$ 的峰值會減少 $2 \times V_D$（因為有兩個二極體串聯）。

3. 計算輸出電壓的峰值 ($v_{o,peak}$)：
   在正弦波的峰值時，輸入電壓為 $V_p$。
   當 $D_1$ 和 $D_3$ 導通時，輸出電壓 $v_o$ 的峰值是：
   $v_{o,peak} = V_p - 2 \times V_D$
   $v_{o,peak} = 16.97$ V $- 2 \times 0.7$ V
   $v_{o,peak} = 16.97$ V $- 1.4$ V
   $v_{o,peak} = 15.57$ V。

核心觀念

本題要用有限電流增益 $\beta=100$ 分析含二極體偏壓、兩顆 BJT 與電阻回授的直流電路。對導通中的 BJT：

$$I_E=I_C+I_B,\qquad I_C=\beta I_B,\qquad I_E=(\beta+1)I_B$$

依圖中接法，$Q_1$ 為 NPN，$Q_2$ 為 PNP；兩個二極體皆以導通壓降 $0.7\text{ V}$ 計算。令 $E$ 為 $Q_1$ 射極電壓、$C$ 為 $Q_1$ 集極／$Q_2$ 基極電壓，$X=V_{C2}$ 為 $Q_2$ 集極電壓。

解題方法

先以 $Q_1$ 基極偏壓支路和射極節點列式，再用 $Q_1$ 集極與 $Q_2$ 基極的共接節點列式，最後在 $Q_2$ 集極套用 KCL。各支路電流均以 mA 表示、電阻以 kΩ 表示。

由 $Q_1$ 導通可知 $V_{B1}=E+0.7$。$D_1$ 導通後，其下方電壓為 $E$，所以流經 $40\text{ k}\Omega$ 的電流為 $E/40$。$Q_1$ 射極電流則為

$$I_{E1}=\frac{E}{2}+\frac{E-X}{2}=\frac{2E-X}{2}$$

在 $Q_1$ 基極節點列 KCL：

$$\frac{9-(E+0.7)}{80}=\frac{E}{40}+\frac{I_{E1}}{101}$$

代入 $I_{E1}=(2E-X)/2$，整理得

$$383E=838.3+40X$$

再令 $A=8.3-C$。$D_2$ 導通，因此由 $+9\text{ V}$ 經 $2\text{ k}\Omega$ 與 $D_2$ 流入共接節點的電流為 $A/2$。

核心觀念

本題考查小訊號輸出電阻 $R_{out}$ 的求法。求輸出電阻時：

1. 將獨立輸入訊號設為零，因此 $v_{in}=0$。
2. 中頻下耦合電容 $C_{in}$ 視為短路，所以輸入端的 $R_s$ 接地。
3. 在輸出端加測試電壓 $v_x$，求測試電流 $i_x$，再以
   $R_{out}=\frac{v_x}{i_x}$
   計算。

忽略通道長度調變，因此兩顆 MOSFET 的 $r_o\to\infty$。

解題方法

令 $v_g$ 為 $M_1$ 的閘極電壓，同時也是 $M_2$ 的源極電壓；輸出端電壓為 $v_x$。

由於 $v_{in}=0$，$R_s$ 將 $v_g$ 接地。對 $M_2$ 的小訊號模型，在 $M_2$ 的源極節點寫 KCL：

$$\frac{v_g}{R_s}=g_{m2}(v_x-v_g)$$

整理得

$$v_g=\frac{g_{m2}R_s}{1+g_{m2}R_s}v_x$$

因此

$$v_{gs1}=v_g$$

而 $M_1$ 對輸出端所吸收的小訊號電流為

$$i_{d1}=g_{m1}v_g =g_{m1}\frac{g_{m2}R_s}{1+g_{m2}R_s}v_x$$

此外，$R_D$ 的電流為

$$i_{R_D}=\frac{v_x}{R_D}$$

所以測試電流為

$$i_x=\frac{v_x}{R_D} +g_{m1}\frac{g_{m2}R_s}{1+g_{m2}R_s}v_x$$