109 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《電子電路》

這是一題綜合性的電子學觀念題，涵蓋了電力傳輸、二極體模型、放大器特性、半導體物理等概念，需要逐一判斷其正確性。

(a) 輸電線的功率損耗與電壓的平方成反比。假設輸電線的電阻為 $R_{line}$，輸出的功率為 $P_{out}$，電壓為 $V_{line}$，電流為 $I_{line}$。
由 $P_{out} = V_{line} I_{line}$ 可知 $I_{line} = P_{out} / V_{line}$。
輸電線上的功率損耗為 $P_{loss} = I_{line}^2 R_{line} = (P_{out} / V_{line})^2 R_{line}$。
若輸出的功率 $P_{out}$ 相同，電壓從 $V_1$ 降至 $V_2$，功率損耗的比值為 $(V_1/V_2)^2$。
在此題目中，電壓從 $V_1 = 350000$ V 降至 $V_2 = 175000$ V。
所以功率損耗的比值為 $(350000 / 175000)^2 = 2^2 = 4$。
這表示功率損耗變成了原來的 1/4，即乘以 0.25。
因此，此敘述為 True (T)。

(b) Zener 二極體在崩潰區（breakdown region）工作時，其小訊號模型通常近似為一個電阻 $r_z$ 並聯一個恆定的崩潰電壓 $V_z$。因此，小訊號模型包含一個 DC 電壓源（$V_z$）和一個電阻（$r_z$）。
因此，此敘述為 True (T)。

(c) 典型二極體在順向偏壓（forward region）下，其伏安特性曲線近似為一個指數函數。當工作點在順向導通區且電流較大時，其模型可以近似為一個順向電壓降 $V_f$（約 0.7V，代表導通所需的最小電壓）串聯一個小電阻 $r_d$（代表導通時的動態電阻）。
因此，此敘述為 True (T)。

(d) 理想運算放大器（ideal operational amplifier）的定義是開迴路增益（open-loop gain）趨近於無限大，輸入阻抗趨近於無限大，輸出阻抗趨近於零。由於輸入阻抗無限大，所以流經輸入端的電流為零。這與開迴路增益是否無限大無關，而是由輸入阻抗決定。
因此，此敘述為 True (T)。

(e) 典型二極體（如 PN 接面二極體）在設計上是為了在順向或逆向截止區工作，而不是在崩潰區。

核心觀念

理想運算放大器在負回授且未飽和時，輸入端電流為零，且兩輸入端電壓相等。本題正相端接地，因此反相端為虛地，電壓為 $0$。接著對電阻網路各節點套用克希荷夫電流定律。

解題方法

令反相端所在節點電壓為 $V_A=0$，中間節點電壓為 $V_B$，下方節點電壓為 $V_C$。

在 $V_B$ 節點套用電流定律：

$$\frac{V_B-V_A}{R}+\frac{V_B-V_C}{R}+\frac{V_B-V_2}{2R}=0$$

代入 $V_A=0$，整理得：

$$5V_B=2V_C+V_2$$

在 $V_C$ 節點套用電流定律：

$$\frac{V_C-V_B}{R}+\frac{V_C-V_1}{2R}+\frac{V_C}{2R}=0$$

整理得：

$$4V_C=2V_B+V_1$$

聯立兩式可得：

$$V_B=\frac{V_2}{4}+\frac{V_1}{8}$$

在反相端節點 $V_A$ 套用電流定律。由於運算放大器輸入端不取電流：

核心觀念

本題考查互補式 MOSFET 的導通條件、飽和區電流公式，以及輸出節點的 KCL。

已知

$$k_n'\left(\frac WL\right)_n = k_p'\left(\frac WL\right)_p = 1\ \text{mA/V}^2$$

且

$$V_{tn}=1\ \text{V},\qquad |V_{tp}|=1\ \text{V},\qquad \lambda=0$$

因此在飽和區：

$$i_D=\frac12 k'\left(\frac WL\right)(V_{GS}-V_t)^2$$

NMOS 的導通條件為

$$V_{GS,N}=v_i-v_o>1\ \text{V}$$

PMOS 的導通條件為

$$V_{SG,P}=v_o-v_i>1\ \text{V}$$

輸出端的電阻電流為

$$i_R=\frac{v_o}{10\ \text{k}\Omega} =0.1v_o\ \text{mA}$$

圖中兩個汲極電流皆以向下為正，故輸出節點滿足

$$i_{DN}=i_{DP}+i_R$$

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(a) $v_i=0\ \text{V}$

若 $v_o=0$，則

$$V_{GS,N}=0-0=0<1\ \text{V}$$

所以 NMOS 截止；PMOS 則有

$$V_{SG,P}=0-0=0<1\ \text{V}$$

所以 PMOS 也截止。

此時輸出電阻沒有電流：

$$i_R=\frac{0}{10\ \text{k}\Omega}=0$$

因此

$$i_{DN}=0,\qquad i_{DP}=0$$

且

$$v_o=0\ \text{V}$$

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(b) $v_i=+2.5\ \text{V}$

此時 NMOS 可能導通，PMOS 的源極接在輸出端。由於輸出電壓不會高於 $2.5\ \text{V}$，PMOS 有

$$V_{SG,P}=v_o-2.5<1\ \text{V}$$

因此 PMOS 截止：

$$i_{DP}=0$$

NMOS 導通後，輸出節點的電流由 NMOS 流經 $10\ \text{k}\Omega$ 電阻至地，所以

$$i_{DN}=i_R=0.1v_o\ \text{mA}$$

NMOS 的閘源電壓為

核心觀念

本題包含兩部分：

1. 由 $Q_1$ 的直流汲極電流，求出其閘極、汲極電壓，再利用 $Q_2$ 集極電路的 KVL 求 $Q_2$ 的偏壓電流。
2. 進行中頻小訊號分析：耦合電容視為短路，$R_G$ 依題意忽略，並以 MOSFET 的 $g_{m1}$ 與 BJT 的 $g_{m2}$ 求電壓增益。

圖中 $Q_1$ 為 NMOS，$Q_2$ 為 NPN BJT。

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(a) 直流偏壓電流

已知

$$I_{D1}=100~\mu\text{A}$$

且

$$\mu_n C_{ox}\left(\frac WL\right)=2~\text{mA/V}^2, \qquad V_{tn}=0.7~\text{V}$$

1. 求 $Q_1$ 的 $V_{GS1}$

忽略通道長度調變時，

$$I_{D1} = \frac12 \mu_n C_{ox}\left(\frac WL\right) (V_{GS1}-V_{tn})^2$$

因此

$$V_{GS1}-V_{tn} = \sqrt{\frac{2I_{D1}}{\mu_n C_{ox}(W/L)}}$$ $$= \sqrt{\frac{2(0.1~\text{mA})}{2~\text{mA/V}^2}} = 0.316~\text{V}$$

所以

$$V_{GS1}=0.7+0.316=1.016~\text{V}$$

2. 求 $Q_1$ 汲極電壓

由於 $Q_2$ 的基極電流忽略不計，$6.8~\text{k}\Omega$ 電阻上的電流就是 $Q_1$ 的源極電流：

$$I_{S1}\simeq I_{D1}=100~\mu\text{A}$$

因此 $Q_1$ 源極電壓為

$$V_{S1}=I_{D1}(6.8~\text{k}\Omega) =0.1~\text{mA}\times6.8~\text{k}\Omega =0.68~\text{V}$$

此電壓即為 $Q_2$ 的基極電壓，與題目給定的 $V_{BE2}=0.7~\text{V}$ 相符。

所以

$$V_{G1}=V_{S1}+V_{GS1} =0.68+1.016 =1.696~\text{V}$$

直流時 $R_G$ 沒有電流，因此 $Q_1$ 的汲極電壓等於閘極電壓：

$$V_{D1}=1.696~\text{V}$$

3. 求 $Q_2$ 的集極電流

$3~\text{k}\Omega$ 電阻中的電流為

$$I_{R_D} = \frac{5-1.696}{3~\text{k}\Omega} = 1.101~\text{mA}$$

在輸出節點套用 KCL：

$$I_{R_D}=I_{D1}+I_{C2}$$

因此

$$I_{C2} = 1.101-0.100 = 1.001~\text{mA}$$

故 $Q_2$ 的直流偏壓電流約為

$$\boxed{I_{C2}\simeq1.00~\text{mA}}$$

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(b) 電壓增益 $A_v=v_o/v_i$

1. 小訊號參數

$Q_1$ 的跨導為

$$g_{m1} = \sqrt{2\mu_n C_{ox}(W/L)I_{D1}}$$ $$g_{m1} = \sqrt{2(2~\text{mA/V}^2)(0.1~\text{mA})} = 0.632~\text{mS}$$

$Q_2$ 的跨導為

這是一題關於 CMOS 差動放大器（或共源級放大器）的電壓增益計算題。題目給定了兩個 NMOS 電晶體 $Q_1$ 和 $Q_2$ 的跨導 $g_m$，並要求忽略輸出電阻 $r_o$，計算整體電壓增益 $v_o/v_i$。

電路是一個兩級放大器。第一級是共源級放大器，由 $Q_1$ 和其負載電阻 $R_{in}$ 構成（這裡 $R_{in}$ 是一個電阻，而不是通常的電流源負載）。第二級也是一個共源級放大器，由 $Q_2$ 和其負載電阻 $R_{load}$ (圖中標示為 $R_{out}$，但單位是 $2k\Omega$) 構成。輸入訊號 $v_i$ 加到 $Q_1$ 的閘極。輸出訊號 $v_o$ 是 $Q_2$ 的汲極電壓。

【分析第一級放大器】
第一級是由 NMOS 電晶體 $Q_1$ 和電阻 $R_{in}$ 構成的共源級放大器。
輸入電壓 $v_i$ 加到 $Q_1$ 的閘極。
$Q_1$ 的源極接地。
$Q_1$ 的汲極連接到電阻 $R_{in}$，然後連接到電源 $V_{DD}$。
輸出訊號 $v_o$ 是 $Q_2$ 的汲極電壓。
然而，圖示顯示 $v_o$ 是 $Q_2$ 的汲極電壓，而 $Q_1$ 的汲極連接到 $Q_2$ 的閘極。
這意味著 $Q_1$ 的輸出作為 $Q_2$ 的輸入。

【第一級的電壓增益 $A_{v1}$】
第一級是共源級放大器，負載是電阻 $R_{in} = 10$ k$\Omega$。
$Q_1$ 的跨導是 $g_{m1} = 5$ mA/V。
忽略 $r_{o1}$。
第一級的輸出電壓 $v_{x}$ 是 $Q_1$ 的汲極電壓。
$v_x = -g_{m1} v_i R_{in}$。
$A_{v1} = v_x / v_i = -g_{m1} R_{in}$。
$A_{v1} = -(5 \text{ mA/V}) \times (10 \text{ k}\Omega) = -(5 \times 10^{-3} \text{ A/V}) \times (10 \times 10^3 \Omega) = -50$。

【分析第二級放大器】
第二級是由 NMOS 電晶體 $Q_2$ 和負載電阻 $R_{out} = 2$ k$\Omega$ 構成的共源級放大器。
輸入訊號 $v_x$ 加到 $Q_2$ 的閘極。
$Q_2$ 的源極接地。