114 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《電子電路》

核心觀念

本題考查反相運算放大器，以及運算放大器的兩項輸出限制：

1. 線性負回授時，$V^- \approx V^+ = 0$，稱為虛接地。
2. 輸入端電流近似為零：$I^- \approx 0$。
3. 輸出電壓受電源軌 $\pm 15\text{ V}$ 限制。
4. 輸出電流受限於
   $-20\text{ mA}\le i_o\le 20\text{ mA}.$

圖中非反相端接地，因此 $V^+=0$。在線性工作區：

$V^-\approx 0$

由反相端節點套用 KCL：

$\frac{V_i-V^-}{R_1}=\frac{V^- -V_o}{R_2}$

因此

$V_o=-\frac{R_2}{R_1}V_i.$

依圖中箭頭方向，輸出電流為

$i_o=\frac{V_o-V^-}{R_2}=-\frac{V_i}{R_1}.$

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解題方法與各小題計算

（1）電路名稱

輸入訊號經由 $R_1$ 接至運算放大器的反相端，並由 $R_2$ 形成負回授，因此為：

$\boxed{\text{反相運算放大器（反相放大器）}}$

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（2）$R_1=1\text{ k}\Omega$、$R_2=10\text{ k}\Omega$

理想線性輸出為

$V_o=-\frac{10\text{ k}\Omega}{1\text{ k}\Omega}(1\text{ V})=-10\text{ V}.$

輸出電流為

$i_o=-\frac{1\text{ V}}{1\text{ k}\Omega}=-1\text{ mA}.$

其電流大小小於 $20\text{ mA}$，且 $-10\text{ V}$ 位於電源範圍 $\pm15\text{ V}$ 內，因此電路可正常線性工作。

$\boxed{V_o=-10\text{ V}}$

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（3）$R_1=1\text{ k}\Omega$、$R_2=100\text{ k}\Omega$

理想線性計算為

$V_o=-\frac{100\text{ k}\Omega}{1\text{ k}\Omega}(1\text{ V})=-100\text{ V}.$

但運算放大器的負電源為 $-15\text{ V}$，輸出不可能低於此電壓，因此輸出發生負向飽和：

$\boxed{V_o=-15\text{ V}}$

飽和後不再能使用 $V^-\approx0$。驗算反相端電壓：

核心觀念

此電路利用三顆匹配 BJT 製成威爾遜電流鏡（Wilson current mirror），藉由負回授降低電晶體基極電流造成的鏡像誤差。

匹配電晶體且工作於主動區時：

$$I_{C1}=I_{C2}$$

且每顆電晶體皆滿足：

$$I_B=\frac{I_C}{\beta},\qquad I_E=I_C+I_B=I_C\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$$

解題方法

圖中 $Q_1$、$Q_2$ 的 $V_{BE}$ 相同，因此

$$I_{C1}=I_{C2}=I_C$$

由 $Q_2$ 集極與 $Q_3$ 射極相連，該節點無其他支路，故：

$$I_{C2}=I_{E3}$$

令輸出電流為 $I_o=I_{C3}$，則

$$I_{E3}=I_o\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$$

因此：

$$I_C=I_{C2}=I_o\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$$

整理得：

$$I_o=\frac{\beta}{\beta+1}I_C$$

輸入節點的參考電流分流至 $Q_1$ 集極、$Q_1$ 基極、$Q_2$ 基極與 $Q_3$ 基極，因此：

$$I_{ref} =I_{C1}+I_{B1}+I_{B2}+I_{B3}$$

代入各基極電流：

$$I_{ref} =I_C+\frac{I_C}{\beta}+\frac{I_C}{\beta} +\frac{I_o}{\beta}$$

又因為 $I_o=\dfrac{\beta}{\beta+1}I_C$，所以：

$$I_{ref} =I_C\left(1+\frac{2}{\beta}+\frac{1}{\beta+1}\right)$$

化簡可得：

$$I_{ref} =I_C\frac{\beta^2+4\beta+2}{\beta(\beta+1)}$$

而

核心觀念

本題是「反相運算放大器搭配 T 型回授網路」。理想運算放大器具有：

$$v_+=v_-,\qquad i_+=i_-=0$$

因為正相端接地，所以反相端為虛地：

$$v_-=0$$

設 $R_a$、$R_b$、$R_c$ 的交會節點電壓為 $v_x$。

解題方法與推導

在反相端節點套用 KCL：

$$\frac{v_i-v_-}{R_i}+\frac{v_x-v_-}{R_a}=0$$

代入 $v_-=0$：

$$\frac{v_i}{R_i}+\frac{v_x}{R_a}=0$$

因此：

$$v_x=-\frac{R_a}{R_i}v_i$$

再對 $v_x$ 節點套用 KCL：

$$\frac{v_x}{R_a}+\frac{v_x-v_o}{R_b}+\frac{v_x}{R_c}=0$$

整理得：

$$\frac{v_x-v_o}{R_b} =-v_x\left(\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_c}\right)$$

所以：

$$v_o =v_x\left(1+\frac{R_b}{R_a}+\frac{R_b}{R_c}\right)$$

代入 $v_x=-\dfrac{R_a}{R_i}v_i$：

$$v_o =-\frac{R_a}{R_i}v_i \left(1+\frac{R_b}{R_a}+\frac{R_b}{R_c}\right)$$

故電壓增益為：

核心觀念

全橋整流利用二極體的單向導電性，使輸入正、負半週流經負載的方向相同。每個半週都有兩顆二極體導通，因此理想二極體時輸出為輸入的絕對值；每顆二極體有導通壓降 $V_p$ 時，導通路徑的總壓降為 $2V_p$。

解題方法

令輸入源接在 $A、B$ 兩端，且 $v_i=v_A-v_B$。以「陽極 $\to$ 陰極」表示二極體正向電流，全橋按下列方式連接：

• $D_1$：陽極接 $A$，陰極接輸出正端。
• $D_2$：陽極接 $B$，陰極接輸出正端。
• $D_3$：陽極接輸出負端，陰極接 $A$。
• $D_4$：陽極接輸出負端，陰極接 $B$。
• 負載電阻 $R$ 接在輸出正、負端之間。

這種連接使負載電流在兩個半週都由輸出正端流向輸出負端。

(1) 全橋整流電路

按上述方式連接四顆二極體：輸出正端是 $D_1、D_2$ 的陰極共接點；輸出負端是 $D_3、D_4$ 的陽極共接點。輸入源接 $A、B$，負載 $R$ 接於輸出正、負端之間。

(2) 理想二極體

當 $v_i>0$、$v_A>v_B$ 時，電流路徑為 $A\to D_1\to R\to D_4\to B$。

當 $v_i<0$、$v_B>v_A$ 時，電流路徑為 $B\to D_2\to R\to D_3\to A$。

兩種情況下，負載電流方向相同。理想二極體沒有壓降，因此：

$$v_o(t)=|v_i(t)|$$