114 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

這題主要在考察通信系統的基本架構、性能指標、以及不同調變方式與接收機的特性。

(a) 通信系統的三個主要功能區塊是：發送端 (Transmitter)、通道 (Channel) 和接收端 (Receiver)。
在一個點對點的通信系統中，沒有哪一個區塊是絕對「最重要」的，因為它們是互相依存、缺一不可的。然而，若必須選擇一個，通道 (Channel) 可以被認為是系統中最重要的部分，因為它代表了訊號傳輸的「瓶頸」與「挑戰」。
原因如下：

• 資訊的傳遞媒介： 通道是訊號從發送端傳遞到接收端的物理媒介，例如空氣、電纜、光纖等。通道的特性（如頻寬、雜訊、失真、衰減、干擾等）直接決定了訊號能否成功、準確地被傳輸。
• 系統設計的約束： 大部分的通信系統設計都受到通道特性的限制。例如，有限的頻寬會限制資料傳輸速率，而雜訊則限制了訊號的信噪比 (SNR)。設計師必須針對通道的缺點來設計發送端和接收端。
• 解決挑戰的關鍵： 發送端和接收端的設計目標，很大程度上是為了克服通道帶來的限制和挑戰。例如，調變技術是為了讓訊號更好地適應通道特性，而錯誤控制碼則是為了抵抗通道中的雜訊和干擾。

總結來說，雖然發送端和接收端負責訊號的產生和解調，但通道是資訊傳遞的根本介質，其本身的限制和傳輸過程中的損耗是通信系統設計面臨的核心問題。

(b) 衡量通信系統效率的三個基本性能指標通常是：

1. 頻寬效率 (Bandwidth Efficiency)： 指在單位頻寬內可以傳輸的資訊量。通常用 bits/sec/Hz 來表示。高頻寬效率意味著在有限的頻寬內可以傳輸更多資料，這在頻譜資源有限的通信系統中尤為重要。
2. 功率效率 (Power Efficiency)： 指在給定的訊號功率下，可以達到的資訊傳輸速率或錯誤率。通常與所需的信噪比 (SNR) 有關。低功率效率意味著需要更高的發射功率來達到相同的性能，這會增加功耗和成本。
3. 可靠性 (Reliability) 或錯誤率 (Error Rate)： 指系統傳輸資訊的準確程度，通常用錯誤位元率 (Bit Error Rate, BER) 或封包錯誤率 (Packet Error Rate, PER) 來衡量。高可靠性意味著較低的錯誤率，確保傳輸的資訊是正確的。

(c) 不能。Envelope detector (包封檢波器) 只能用來檢測標準調幅 (AM) 訊號，而不能直接用來檢測雙邊帶抑制載波 (DSB-SC) 訊號。

原因：
標準 AM 訊號的輸出可以表示為：
$s_{AM}(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$
其中 $A_c$ 是載波振幅，$k_a$ 是調變指數，$m(t)$ 是基頻訊號，$f_c$ 是載波頻率。
這個訊號可以看作是兩個部分的和：一個是載波 $A_c \cos(2\pi f_c t)$，另一個是調變訊號 $A_c k_a m(t) \cos(2\pi f_c t)$。
包封檢波器（通常包含一個二極體和一個低通濾波器）能夠正確恢復 $m(t)$ 的前提是，調變訊號 $1 + k_a m(t)$ 必須始終為正值，也就是 $|k_a m(t)| < 1$ (或更精確地說，調變後的包絡 $A_c [1 + k_a m(t)]$ 始終為正)。在這種情況下，包絡的形狀就包含了 $1 + k_a m(t)$ 的資訊。

DSB-SC 訊號的輸出表示為：
$s_{DSB-SC}(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$
這個訊號沒有載波成分。如果將 DSB-SC 訊號直接輸入到包封檢波器，其輸出訊號的包絡是 $|A_c m(t)|$。
包封檢波器無法區分 $m(t)$ 的正負號，它只能恢復 $|m(t)|$ 的包絡。因此，無法從 $|m(t)|$ 恢復原始的 $m(t)$。
要檢測 DSB-SC 訊號，需要使用相干檢波 (Coherent Detection)，也就是將接收到的訊號與一個與原始載波同步的本地載波相乘以實現解調。

(d) FM 廣播提供比 AM 廣播更好的訊號保真度 (fidelity) 主要有以下幾個原因：

1. 較寬的頻寬： FM 訊號的頻寬通常比 AM 訊號寬得多。

核心觀念

本題考查：

1. 平方律非線性元件的輸入輸出關係。
2. 三角恆等式
   $\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$
3. AM 訊號經平方律偵測器後，會產生基頻、載波頻率與兩倍載波頻率成分。
4. 利用理想低通濾波器保留基頻成分，並由平方後的包絡恢復訊息訊號。

令

$$\omega_c=2\pi f_c$$

則輸入訊號為

$$v_1(t)=A_c[1+k_a m(t)]\cos\omega_c t.$$

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解題方法

將 $v_1(t)$ 直接代入非線性轉移特性

$$v_2(t)=a_1v_1(t)+a_2v_1^2(t),$$

再利用 $\cos^2\theta$ 恆等式展開。平方後的訊號會包含：

• 位於載波頻率 $f_c$ 的成分；
• 位於基頻的包絡平方成分；
• 位於 $2f_c$ 的高頻成分。

因此，低通濾波器可以移除載波及其倍頻成分。

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(a) 平方律偵測器輸出 $v_2(t)$

先計算一次項：

$$a_1v_1(t) = a_1A_c[1+k_a m(t)]\cos\omega_c t.$$

再計算平方項：

$$v_1^2(t) = A_c^2[1+k_a m(t)]^2\cos^2\omega_c t.$$

利用

$$\cos^2\omega_c t = \frac{1+\cos 2\omega_c t}{2},$$

可得

$$v_1^2(t) = \frac{A_c^2}{2}[1+k_a m(t)]^2 \left[1+\cos 2\omega_c t\right].$$

因此平方律偵測器輸出為

$$\boxed{ v_2(t) = a_1A_c[1+k_a m(t)]\cos\omega_c t + \frac{a_2A_c^2}{2}[1+k_a m(t)]^2 \left[1+\cos 2\omega_c t\right] }$$

若進一步展開包絡平方：

$$[1+k_a m(t)]^2 = 1+2k_a m(t)+k_a^2m^2(t).$$

故亦可寫成

$$\begin{aligned} v_2(t) ={}&a_1A_c[1+k_a m(t)]\cos\omega_c t\\ &+\frac{a_2A_c^2}{2} \left[1+2k_a m(t)+k_a^2m^2(t)\right]\\ &+\frac{a_2A_c^2}{2} \left[1+2k_a m(t)+k_a^2m^2(t)\right]\cos2\omega_c t. \end{aligned}$$

其中第一項位於 $f_c$ 附近，最後一項位於 $2f_c$ 附近，中間一項為基頻及直流成分。

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(b) 加入理想低通濾波器後的輸出 $y(t)$

若理想低通濾波器的截止頻率足以通過 $m(t)$ 與 $m^2(t)$ 的頻譜，則：

• $a_1A_c[1+k_a m(t)]\cos\omega_c t$ 位於載波頻率，會被濾除；
• 含有 $\cos2\omega_c t$ 的項目位於兩倍載波頻率，會被濾除；
• 只保留平方項產生的基頻部分。

因此

$$\boxed{ y(t)=\frac{a_2A_c^2}{2}[1+k_a m(t)]^2 }$$

展開後：

$$\boxed{ y(t) = \frac{a_2A_c^2}{2} + a_2A_c^2k_a m(t) + \frac{a_2A_c^2k_a^2}{2}m^2(t) }$$

其中：

• $\dfrac{a_2A_c^2}{2}$ 為直流成分；
• $a_2A_c^2k_a m(t)$ 為與訊息成正比的成分；
• $\dfrac{a_2A_c^2k_a^2}{2}m^2(t)$ 為平方失真成分。

若再接直流阻隔電路，且 $m(t)$ 為零平均訊號，則可移除主要的直流項，但 $m^2(t)$ 仍可能造成非線性失真。

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(c) 恢復訊息訊號 $m(t)$ 的條件

1. 平方律元件必須確實產生平方項

必須有

$$\boxed{a_2\neq 0}$$

且載波振幅不可為零：

$$\boxed{A_c\neq 0}.$$

否則低通後不會產生可供偵測的包絡平方成分。

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2. 調變必須存在

必須有

$$\boxed{k_a\neq 0}.$$

若 $k_a=0$，則輸入只有未調變載波：

$$v_1(t)=A_c\cos\omega_c t,$$

低通後只剩直流，無法恢復 $m(t)$。

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核心觀念

本題考查 DSB-SC 調變與同步解調的頻譜平移特性。

訊息頻譜限制在

$$|f|\le W,\qquad W=1\ \text{kHz}.$$

DSB-SC 調變信號為

$$s(t)=A_c m(t)\cos(2\pi f_ct).$$

利用傅立葉轉換中的調變性質：

$$S(f)=\frac{A_c}{2}\left[M(f-f_c)+M(f+f_c)\right].$$

接收端以同步載波 $\frac{2}{A_c}\cos(2\pi f_ct)$ 解調，得到

$$y(t)=m(t)\left[1+\cos(4\pi f_ct)\right].$$

因此解調器乘法器輸出頻譜為

$$Y(f)=M(f)+\frac{1}{2}M(f-2f_c)+\frac{1}{2}M(f+2f_c).$$

理想低通濾波器保留 $|f|\le W$，所以是否失真取決於位移後的頻譜 $M(f\pm 2f_c)$ 是否進入基頻帶。

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解題方法

原訊息頻譜 $M(f)$ 的支撐範圍為 $[-W,W]$。位移頻譜的範圍為

$$M(f-2f_c):\quad [2f_c-W,\ 2f_c+W],$$ $$M(f+2f_c):\quad [-2f_c-W,\ -2f_c+W].$$

若這兩個位移頻譜不進入 $[-W,W]$，低通濾波後即可完整恢復 $M(f)$；若進入，便會與基頻頻譜重疊而造成失真。

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(a) $f_c=1.25\ \text{kHz}$

此時

$$2f_c=2.5\ \text{kHz}.$$

位移後的兩個頻譜範圍為

$$M(f-2f_c):\quad [1.5,\ 3.5]\ \text{kHz},$$ $$M(f+2f_c):\quad [-3.5,\ -1.5]\ \text{kHz}.$$

它們完全位於基頻帶 $[-1,1]\ \text{kHz}$ 之外。因此經過截止頻率為 $W$ 的低通濾波器後：

$$Y_{\text{LPF}}(f)=M(f),\qquad |f|\le 1\ \text{kHz}.$$

頻譜圖形與原本的 $M(f)$ 完全相同：在 $-1$ kHz 到 $1$ kHz 之間保留原三角形頻譜，其他頻率為零。

因此：

$$\boxed{Y_{\text{LPF}}(f)=M(f)}$$

訊息可無失真恢復。

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(b) $f_c=0.75\ \text{kHz}$

此時

$$2f_c=1.5\ \text{kHz}.$$

位移後頻譜範圍為

$$M(f-2f_c):\quad [0.5,\ 2.5]\ \text{kHz},$$ $$M(f+2f_c):\quad [-2.5,\ -0.5]\ \text{kHz}.$$

因此，正頻率側的位移頻譜會進入 $0.5$ kHz 到 $1$ kHz 的基頻範圍；負頻率側則會進入 $-1$ kHz 到 $-0.5$ kHz。

低通濾波後的頻譜為

本題考察對調頻 (FM) 訊號的理解，包括瞬時頻率、頻率偏差、調變指數和頻寬的計算。

給定的 FM 訊號為：
$u(t) = 100 \cos \left[ 2\pi f_c t + 100 \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau \right]$
其中 $m(t)$ 是訊息訊號，如圖所示，是一個週期性的雙極方波，振幅為 $\pm 5$，週期 $T=2$ 秒。

(a) 繪製瞬時頻率隨時間變化的圖。

FM 訊號的標準形式為 $u(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + \phi(t)]$，其中 $\phi(t)$ 是瞬時相位。
給定訊號的瞬時相位是 $\phi(t) = 100 \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau$。
瞬時頻率 $f_i(t)$ 與瞬時相位 $\phi(t)$ 的關係為：
$f_i(t) = f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt}$
$\frac{d\phi(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( 100 \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau \right) = 100 m(t)$
所以，瞬時頻率為：
$f_i(t) = f_c + \frac{100 m(t)}{2\pi} = f_c + \frac{50}{\pi} m(t)$

訊息訊號 $m(t)$ 是週期性的雙極方波，振幅為 $\pm 5$，週期 $T=2$ 秒。
具體來說，在一個週期內（例如 $-1 \le t \le 1$）：
當 $m(t) = 5$ (例如，在 $-1 < t < 1$)，瞬時頻率 $f_i(t) = f_c + \frac{50}{\pi} (5) = f_c + \frac{250}{\pi}$。
當 $m(t) = -5$ (例如，在 $1 < t < 3$)，瞬時頻率 $f_i(t) = f_c + \frac{50}{\pi} (-5) = f_c - \frac{250}{\pi}$。

因此，瞬時頻率 $f_i(t)$ 也是一個週期性的方波，其值在 $f_c + \frac{250}{\pi}$ 和 $f_c - \frac{250}{\pi}$ 之間週期性地跳變。
跳變點發生在 $m(t)$ 發生跳變的時刻，即 $t = \dots, -1, 1, 3, 5, \dots$。
瞬時頻率的中心值是 $f_c$。
最大值是 $f_{max} = f_c + \frac{250}{\pi}$。
最小值是 $f_{min} = f_c - \frac{250}{\pi}$。

繪圖：
橫軸是時間 $t$。
縱軸是瞬時頻率 $f_i(t)$。
畫一條水平線在 $f_c$ 處作為中心頻率。
在 $f_c$ 的上方畫一條水平線在 $f_c + \frac{250}{\pi}$ 處，並標示為 $f_{max}$。
在 $f_c$ 的下方畫一條水平線在 $f_c - \frac{250}{\pi}$ 處，並標示為 $f_{min}$。
在 $t = \dots, -1, 1, 3, \dots$ 等時刻，頻率從 $f_{max}$ 跳變到 $f_{min}$，或者從 $f_{min}$ 跳變到 $f_{max}$。
例如，在 $t=-1$ 時，頻率跳變。在 $t=1$ 時，頻率再次跳變。

(b) FM 訊號的最大頻率偏差 ($\Delta f_{max}$)

頻率偏差定義為瞬時頻率與載波頻率之差的最大絕對值。
$\Delta f(t) = f_i(t) - f_c = \frac{50}{\pi} m(t)$
最大頻率偏差 $\Delta f_{max}$ 是 $|\Delta f(t)|$ 的最大值。