113 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

第 1 題

核心觀念

本題考查：

1. AM 調變訊號中，載波與邊帶頻率、振幅的判讀。
2. DSB-SC 調變的頻域平移性質。
3. Fourier transform 基本對偶：

$$\operatorname{sinc}(t) \longleftrightarrow \operatorname{rect}(f)$$

以及時間域相乘對應頻域摺積。

以下採用通信系統常用定義：

$$\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$$

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a) 求訊息訊號 $m(t)$ 與載波 $c(t)$

已知 AM 輸出為

$$u(t)=4\cos(160\pi t)+8\cos(200\pi t)+4\cos(240\pi t)$$

解題方法

AM 訊號的一般形式為

$$u(t)=\left[1+m(t)\right]c(t)$$

若載波為

$$c(t)=A_c\cos(2\pi f_c t)$$

而訊息為單一餘弦訊號

$$m(t)=A_m\cos(2\pi f_m t)$$

則

$$u(t)=A_c\cos(2\pi f_c t) +A_cA_m\cos(2\pi f_m t)\cos(2\pi f_c t)$$

利用積化和差公式：

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right]$$

可得

$$u(t)=A_c\cos(2\pi f_c t) +\frac{A_cA_m}{2} \cos\left[2\pi(f_c+f_m)t\right] +\frac{A_cA_m}{2} \cos\left[2\pi(f_c-f_m)t\right]$$

判讀載波

三個角頻率分別為：

$$160\pi,\qquad 200\pi,\qquad 240\pi$$

其中中央頻率 $200\pi$ 為載波角頻率，因此

$$\omega_c=200\pi$$

載波振幅為 $8$，所以

$$c(t)=8\cos(200\pi t)$$

判讀訊息頻率

邊帶角頻率與載波角頻率的差為

$$\omega_m=240\pi-200\pi=40\pi$$

亦可由

$$200\pi-160\pi=40\pi$$

得到。因此

$$f_m=\frac{\omega_m}{2\pi}=20\text{ Hz}$$

判讀訊息振幅

每一個邊帶的振幅為 $4$，而邊帶振幅為

$$\frac{A_cA_m}{2}$$

因此

$$\frac{8A_m}{2}=4$$

解得

$$A_m=1$$

故訊息訊號為

$$m(t)=\cos(40\pi t)$$

驗算：

$$\begin{aligned} [1+\cos(40\pi t)]8\cos(200\pi t) &=8\cos(200\pi t) \\ &\quad+8\cos(40\pi t)\cos(200\pi t)\\ &=8\cos(200\pi t)\\ &\quad+4\cos(240\pi t)+4\cos(160\pi t) \end{aligned}$$

與題目完全相同。

解題技巧

AM 頻譜通常呈現：

• 中央最大或獨立的一條線：載波；
• 左右對稱兩條線：上、下邊帶；
• 載波與邊帶的角頻率差：訊息角頻率；
• 邊帶振幅是 $A_cA_m/2$。

因此本題可直接由三條頻率線判斷：

$$200\pi:\text{載波},\qquad 40\pi:\text{訊息角頻率}$$

若採用未標準化的乘法形式 $u(t)=m(t)c(t)$，則可將直流項併入訊息寫成 $m(t)=1+\cos(40\pi t)$；本題依一般 AM 標準形式 $u(t)=[1+m(t)]c(t)$，答案為 $m(t)=\cos(40\pi t)$。

【答案】

$$\boxed{m(t)=\cos(40\pi t)}$$ $$\boxed{c(t)=8\cos(200\pi t)}$$

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b) DSB-SC 訊號的頻譜與頻寬

已知載波為

這題主要考察調頻 (FM) 的基本概念，包括調頻訊號的表示、調變指數的計算、載波功率以及調頻訊號的頻寬估計。第二部分則考驗對超外差接收機工作原理的理解，特別是本地振盪器頻率的範圍。

(a) FM 調變訊號與參數計算

調頻 (FM) 的輸出訊號 $u(t)$ 可以表示為：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$
其中，調頻訊號的瞬時頻率為 $f_i(t) = f_c + k_f m(t)$。
由瞬時頻率與相位 $\phi(t)$ 的關係 $f_i(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt} + f_c$，我們可以得到 $\phi(t)$：
$\frac{d\phi(t)}{dt} = 2\pi k_f m(t)$
$\phi(t) = 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$

題目給定：
載波訊號 $c(t) = 10 \cos (2\pi f_c t)$。從這裡我們知道載波幅度 $A_c = 10$ 且載波頻率為 $f_c$.
訊息訊號 $m(t) = 20 \cos(20\pi t)$。其頻率為 $f_m = \frac{20\pi}{2\pi} = 10$ Hz。
頻率偏差常數 $k_f = 100$ Hz/V (假設 $m(t)$ 的單位是 V)。

1. 調變訊號 $u(t)$

首先計算相位函數 $\phi(t)$:
$\phi(t) = 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau = 2\pi (100) \int_{-\infty}^{t} 20 \cos(20\pi \tau) d\tau$
$\phi(t) = 400\pi \left[ \frac{\sin(20\pi \tau)}{20\pi} \right]_{-\infty}^{t}$
$\phi(t) = 400\pi \times \frac{1}{20\pi} [\sin(20\pi \tau)]_{-\infty}^{t} = 20 [\sin(20\pi t) - \sin(-\infty)]$
由於 $\sin(-\infty)$ 是不確定的，我們通常假設訊號從 $t=-\infty$ 開始，且初始相位為 $0$。
或者，我們可以直接使用調頻訊號的另一種形式，當訊息訊號為單頻時：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta_f \sin(2\pi f_m t))$
其中調變指數 $\beta_f = \frac{k_f A_m}{f_m}$。

在這裡，訊息訊號的幅度 $A_m = 20$ (V)，訊息訊號頻率 $f_m = 10$ Hz。
所以，調變指數 $\beta_f$ 的計算如下：
$\beta_f = \frac{k_f A_m}{f_m} = \frac{100 \times 20}{10} = \frac{2000}{10} = 200$.

現在我們可以寫出調變訊號 $u(t)$：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta_f \sin(2\pi f_m t))$
$u(t) = 10 \cos(2\pi f_c t + 200 \sin(20\pi t))$.

2. 調變指數 $\beta_f$
我們已經計算出調變指數 $\beta_f = 200$.

3. 載波訊號 $c(t)$ 的平均功率 $P_c$
載波訊號為 $c(t) = 10 \cos(2\pi f_c t)$。
對於一個幅度為 $A$ 的餘弦波訊號 $A \cos(\omega t + \phi)$，其平均功率為 $P = \frac{A^2}{2}$.
在這裡，載波幅度 $A_c = 10$.
所以，載波訊號的平均功率 $P_c = \frac{A_c^2}{2} = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$ W (或 V$^2$，取決於功率單位)。

4. 調變訊號 $B_c$ 的頻寬
對於調頻訊號，其頻寬的估計通常使用 Carson's Rule：
$B_c \approx 2 (\Delta f + f_m)$
其中 $\Delta f$ 是頻率偏差，$\Delta f = k_f A_m = 100 \times 20 = 2000$ Hz。
$f_m$ 是訊息訊號的最高頻率，在這裡 $f_m = 10$ Hz。
所以，頻寬 $B_c \approx 2 (2000 + 10) = 2 (2010) = 4020$ Hz。

注意：調變指數 $\beta_f = 200$ 是一個非常大的值，這表示這是廣頻調頻 (Wideband FM)。對於廣頻調頻，Carson's Rule 的近似效果較好。

總結 (a) 小題：
調變訊號 $u(t) = 10 \cos(2\pi f_c t + 200 \sin(20\pi t))$.
調變指數 $\beta_f = 200$.
載波訊號 $c(t)$ 的平均功率 $P_c = 50$.
調變訊號 $B_c$ 的頻寬 $B_c \approx 4020$ Hz.

(b) 超外差接收機本地振盪器頻率範圍

超外差接收機的原理是將接收到的射頻訊號 (RF) 透過一個本地振盪器 (LO) 與一個固定頻率的如果頻訊號 (IF) 混合。
其關係為：$f_{IF} = |f_{LO} - f_{RF}|$.
或者，更常見的是 $f_{LO} = f_{RF} \pm f_{IF}$。

這題主要考察相位調變 (PM) 的基本形式、與調頻 (FM) 的關係、調變指數的計算，以及對 PM 訊號頻寬的估計。

首先，我們需要理解相位調變 (PM) 和調頻 (FM) 的關係。
相位調變訊號的形式為：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$
其中，相位 $\phi(t)$ 與訊息訊號 $m(t)$ 的關係為 $\phi(t) = k_p m(t)$。
所以，$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$。

題目給定的相位調變訊號為：
$u(t) = 10 \cos [2\pi f_c t + 4 \cos(200\pi t)]$.
其中，載波頻率 $f_c = 1$ MHz。
相位偏差常數 $k_p = 10$.

(a) 訊息訊號 $m(t)$

對照 PM 的標準形式 $u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$ 和題目給定的訊號 $u(t) = 10 \cos [2\pi f_c t + 4 \cos(200\pi t)]$,
我們可以識別出：
載波幅度 $A_c = 10$.
相位項 $k_p m(t) = 4 \cos(200\pi t)$.
已知 $k_p = 10$.
所以，$10 m(t) = 4 \cos(200\pi t)$.
$m(t) = \frac{4}{10} \cos(200\pi t) = 0.4 \cos(200\pi t)$.

訊息訊號 $m(t)$ 的最高頻率 $f_m = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$ Hz。

(b) 調變指數 $\beta_p$

相位調變的調變指數定義為 $\beta_p = k_p A_m$, 其中 $A_m$ 是訊息訊號的幅度。
從 $m(t) = 0.4 \cos(200\pi t)$，我們得到 $A_m = 0.4$.
所以，調變指數 $\beta_p = k_p A_m = 10 \times 0.4 = 4$.

重要提示： PM 和 FM 的調變指數定義不同。
FM 的調變指數 $\beta_f = \frac{k_f A_m}{f_m}$.
PM 的調變指數 $\beta_p = k_p A_m$.

PM 與 FM 的關係：
如果我們有一個相位調變訊號 $u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + k_p m(t))$,
那麼其瞬時頻率為 $f_i(t) = f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt} [k_p m(t)] = f_c + \frac{k_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt}$.
如果我們將此與 FM 訊號的瞬時頻率 $f_i(t) = f_c + k_f m_{FM}(t)$ 比較，
我們可以發現，相位調變可以看作是調頻的一種特殊情況，其中調頻訊號 $m_{FM}(t)$ 是原始訊息訊號 $m(t)$ 的時間導數，並且調頻的頻率偏差常數 $k_f$ 與相位調變的相位偏差常數 $k_p$ 有關：$k_f = \frac{k_p}{2\pi}$.

在此題中，
$m(t) = 0.4 \cos(200\pi t)$.
$\frac{dm(t)}{dt} = 0.4 (-200\pi \sin(200\pi t)) = -80\pi \sin(200\pi t)$.
則調頻訊號的瞬時頻率變化為 $\frac{k_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt} = \frac{10}{2\pi} (-80\pi \sin(200\pi t)) = -400 \sin(200\pi t)$.
這對應的調頻訊號是 $m_{FM}(t) = -400 \sin(200\pi t)$.
此時的調頻調變指數為 $\beta_f = \frac{k_f A_{m_{FM}}}{f_m} = \frac{(k_p/2\pi) A_{m_{FM}}}{f_m}$.
在此情況下，$A_{m_{FM}} = 400$, $f_m = 100$.
$\beta_f = \frac{(10/2\pi) \times 400}{100} = \frac{5/\pi \times 400}{100} = \frac{2000/\pi}{100} = \frac{20}{\pi} \approx 6.37$.
注意，PM 和 FM 的調變指數是不同的。題目問的是 PM 的調變指數 $\beta_p$.

這題考察調頻 (FM) 訊號的窄頻近似以及透過混波器進行解調的原理。

(a) FM 訊號的窄頻近似

調頻訊號的標準形式為：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$, 其中 $\phi(t) = 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$.
我們使用三角函數的展開式 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
令 $A = 2\pi f_c t$ 且 $B = \phi(t) = 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$.
所以，$u(t) = A_c [\cos(2\pi f_c t) \cos(\phi(t)) - \sin(2\pi f_c t) \sin(\phi(t))]$.

題目給定的條件是 $| \phi(t) | = | 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau | < 1$.
這表示 $\phi(t)$ 是一個小角度 (單位為弧度)。
對於小角度 $\theta$, 我們有近似 $\cos(\theta) \approx 1$ 且 $\sin(\theta) \approx \theta$.
將此近似應用到 $u(t)$ 中：
$\cos(\phi(t)) \approx 1$
$\sin(\phi(t)) \approx \phi(t) = 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$.

代入 $u(t)$ 的表達式：
$u(t) \approx A_c [\cos(2\pi f_c t) \times 1 - \sin(2\pi f_c t) \times (2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau)]$.
$u(t) \approx A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c 2\pi k_f \sin(2\pi f_c t) \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$.

這就是題目要求證的近似表達式。這個近似稱為窄頻調頻 (Narrowband FM)。

(b) 混波解調器輸出訊號 $y(t)$

題目指出，FM 訊號可以改寫為：
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c m(t) \sin(2\pi f_c t)$.
請注意： 這一個改寫形式與 (a) 小題的近似結果不同。
(a) 的近似結果是 $u(t) \approx A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c (2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau) \sin(2\pi f_c t)$.
而題目 (b) 的形式是 $u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c m(t) \sin(2\pi f_c t)$.
這兩個形式的差別在於：
近似 (a) 的調變項是 $A_c (2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau) \sin(2\pi f_c t)$.
形式 (b) 的調變項是 $A_c m(t) \sin(2\pi f_c t)$.

這暗示著，在 (b) 的情境下，訊號 $u(t)$ 並非嚴格的 FM 訊號，而是經過簡化或修改的。
如果我們假設題目 (b) 所給的 $u(t)$ 是正確的輸入訊號，那麼它實際上是一個 AM 訊號，其中載波是 $\cos(2\pi f_c t)$，而調變訊號是 $A_c [1 - \frac{m(t)}{A_c} \tan(2\pi f_c t)]$ 這種形式，這不是標準的 AM。
更常見的解釋是，題目 (b) 的 $u(t)$ forms 實際上是另一種調變訊號，或者題目 (a) 的近似被用來推導 (b) 的形式，但其中 $2\pi k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau$ 被替換成了 $m(t)$，這是不一致的。

讓我們假設題目 (b) 給出的 $u(t)$ 是正確的輸入訊號，即使它的形式有點奇怪。
$u(t) = A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c m(t) \sin(2\pi f_c t)$.
這個訊號通過一個混波器 (mixer)，其本地載波是 $-2 \sin(2\pi f_c t)$.
混波器輸出的訊號 $y(t)$ 是輸入訊號 $u(t)$ 與本地載波的乘積。
$y(t) = u(t) \times (-2 \sin(2\pi f_c t))$
$y(t) = [A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c m(t) \sin(2\pi f_c t)] \times (-2 \sin(2\pi f_c t))$

這題考察雙邊帶抑制載波 (DSB-SC) 調變訊號的相干接收解調過程，包括訊號的恢復、濾波器的作用以及輸出訊噪比 (SNR) 的計算。

接收機結構分析：
接收機包含一個帶通濾波器 (Band-pass filter)，然後是相干解調器 (Amplitude demodulation，雖然這裡用 "Amplitude demodulation" 稱呼，但對於 DSB-SC 訊號，相干解調是正確的)，最後是低通濾波器 (Low-pass filter)。
輸入訊號是 $u(t) + n(t)$，其中 $u(t)$ 是 DSB-SC 訊號，$n(t)$ 是白高斯雜訊。

已知條件：
DSB-SC 訊號 $u(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$。
接收訊號 $x_{in}(t) = u(t) + n(t)$.
帶通濾波器 (BPF) 頻寬 $B_T$.
低通濾波器 (LPF) 頻寬 $B_L$.
接收訊號頻寬 $2W$.
$B_T > 2W$ (表示 BPF 能通過整個 DSB-SC 訊號頻寬)。
$B_L > W$ (表示 LPF 能通過基頻訊號 $m(t)$ 的頻寬)。
基頻訊號 $m(t)$ 的功率 $P_M$.
白高斯雜訊功率譜密度 $N_0$.

(a) AM 解調後的訊號 $v(t)$

相干解調器 (Coherent Demodulator) 的工作原理是將接收到的訊號與本地產生的載波訊號相乘，然後通過低通濾波器。
在這裡，題目將其稱為 "Amplitude demodulation"，這通常是指 Envelope detector，但對於 DSB-SC，Envelope detector 無法正確恢復 $m(t)$。相干解調是 DSB-SC 的標準解調方式。
假設本地載波與原始載波 $c(t) = \cos(2\pi f_c t)$ 同頻同相。
相干解調器首先將 BPF 輸出訊號 $x(t)$ 與本地載波 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘。
BPF 的輸出是 $x(t) = u(t) + n_{BPF}(t)$，其中 $n_{BPF}(t)$ 是經過 BPF 濾波後的雜訊。
相乘結果為：
$x(t) \cos(2\pi f_c t) = [A_c m(t) \cos(2\pi f_c t) + n_{BPF}(t)] \cos(2\pi f_c t)$
$= A_c m(t) \cos^2(2\pi f_c t) + n_{BPF}(t) \cos(2\pi f_c t)$
使用恆等式 $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$:
$= A_c m(t) \left( \frac{1 + \cos(4\pi f_c t)}{2} \right) + n_{BPF}(t) \cos(2\pi f_c t)$
$= \frac{A_c}{2} m(t) + \frac{A_c}{2} m(t) \cos(4\pi f_c t) + n_{BPF}(t) \cos(2\pi f_c t)$.

然後，這個訊號通過一個低通濾波器 (LPF)。
LPF 的作用是濾除高頻成分。
高頻成分包括 $\frac{A_c}{2} m(t) \cos(4\pi f_c t)$ (頻率為 $2f_c$) 和雜訊項 $n_{BPF}(t) \cos(2\pi f_c t)$ (包含高頻分量)。
如果 LPF 的頻寬 $B_L$ 足夠寬以通過 $m(t)$ 的頻寬 $W$，但足夠窄以濾除 $2f_c$ 的頻率，則 LPF 的輸出 $v(t)$ 為：
$v(t) = \frac{A_c}{2} m(t)$.

題目中稱之為 "AM demodulation"，這有點誤導。對於 DSB-SC，相干解調是正確的，並且輸出是 $\frac{A_c}{2} m(t)$。

(b) 輸出訊號 $y(t)$

從圖示來看，BPF 後的訊號是 $x(t)$，然後與本地載波相乘得到 $x(t) \cos(2\pi f_c t)$。
之後通過 LPF 得到 $y(t)$.
所以，(a) 小題中的 $v(t)$ 實際上就是 LPF 的輸出，即 $y(t)$.
題目將 LPF 的輸出標記為 $y(t)$，而 (a) 小題問的是 "signal after AM demodulation $v(t)$"。
通常，相干解調包含乘法器和 LPF。如果 "AM demodulation" 指的是整個過程，那麼 $v(t) = y(t)$.
如果 "AM demodulation" 只指乘法器輸出，那麼 LPF 輸出才是 $y(t)$.
根據圖示，LPF 的輸出是 $y(t)$。所以，$v(t)$ 和 $y(t)$ 應該是 LPF 的輸出。
讓我們假設 $v(t)$ 和 $y(t)$ 指的是 LPF 的輸出。

所以，輸出訊號 $y(t) = \frac{A_c}{2} m(t)$.

雜訊分析：
我們需要計算雜訊的功率。
輸入的雜訊是白高斯雜訊 $n(t)$，功率譜密度為 $N_0$.
經過 BPF 後，雜訊的功率譜密度在頻寬 $B_T$ 內為 $N_0$，在其他地方為 $0$.
BPF 的輸出雜訊功率 $P_{n, BPF} = N_0 \times B_T$.
然後，這個雜訊訊號 $n_{BPF}(t)$ 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘。
$n_{BPF}(t) \cos(2\pi f_c t)$.
如果 $n_{BPF}(t)$ 是一個帶寬為 $B_T$ 的隨機過程，且 $B_T \gg f_c$ (通常 BPF 頻帶中心在 $f_c$)。
當 $n_{BPF}(t)$ 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘後，其頻譜會被搬移到 $\pm f_c$ 處。
經過 LPF (頻寬 $B_L$) 後，輸出的雜訊功率為：
對於白雜訊 $n(t)$，功率譜密度為 $N_0$.
經過 BPF (頻寬 $B_T$) 後，雜訊功率為 $N_0 B_T$.
當 $n_{BPF}(t)$ 與 $\cos(2\pi f_c t)$ 相乘時，頻譜會被搬移到 $\pm f_c$.
假設 BPF 的頻率響應為 $H_{BPF}(f)$.