113 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《控制系統》

核心觀念

本題考查閉迴路特徵方程與二階系統穩定性。圖中的放大器滿足 $v_o=k v_i$；輸出端經 $R_1$、$L$、$C$ 串聯後回到輸入節點，該節點再經 $R_2$ 接地，形成正回授。

二階特徵方程

$$a_2s^2+a_1s+a_0=0$$

在 $a_2,a_0>0$ 時，漸近穩定的條件是 $a_1>0$。

解題方法

令輸入節點電壓為 $v_i$。由分壓關係，輸出至接地的總阻抗為

$$Z_{\text{總}}=R_1+sL+\frac{1}{sC}+R_2$$

因此

$$\frac{v_i}{v_o} =\frac{R_2}{R_1+R_2+sL+\frac{1}{sC}}.$$

利用放大器關係 $v_o=k v_i$，自然響應須滿足

$$1=k\frac{R_2}{R_1+R_2+sL+\frac{1}{sC}}.$$

整理並乘上 $sC$，得到特徵方程

核心觀念

本題使用開迴路頻率響應

$$L(s)=G(s)H(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}$$

並依下列定義求取穩定裕度：

• Nyquist plot：繪出 $L(j\omega)$ 在複數平面上的軌跡。
• 增益餘裕：

$$GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$$

其中 $\omega_{pc}$ 為相位等於 $-180^\circ$ 的相位交越頻率。

• 相位餘裕：

$$PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$$

其中 $\omega_{gc}$ 為 $|L(j\omega_{gc})|=1$ 的增益交越頻率。

解題方法

令 $s=j\omega$，則

$$L(j\omega) =\frac{\omega_n^2}{j\omega(2\zeta\omega_n+j\omega)}$$

分母為

$$j\omega(2\zeta\omega_n+j\omega) =-\omega^2+j2\zeta\omega_n\omega$$

因此

$$L(j\omega) =\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+j2\zeta\omega_n\omega}$$

乘以分母共軛，得

$$L(j\omega) = -\frac{\omega_n^2}{\omega^2+4\zeta^2\omega_n^2} -j\frac{2\zeta\omega_n^3} {\omega(\omega^2+4\zeta^2\omega_n^2)}$$

故實部與虛部分別為

$$\operatorname{Re}\{L(j\omega)\} = -\frac{\omega_n^2} {\omega^2+4\zeta^2\omega_n^2}$$ $$\operatorname{Im}\{L(j\omega)\} = -\frac{2\zeta\omega_n^3} {\omega(\omega^2+4\zeta^2\omega_n^2)}$$

對 $\omega>0$ 而言，實部與虛部皆為負，因此軌跡位於第三象限。

(1) Nyquist plot

當 $\omega\to 0^+$ 時，

$$\operatorname{Re}\{L(j\omega)\} \to -\frac{1}{4\zeta^2}$$ $$\operatorname{Im}\{L(j\omega)\} \to -\infty$$

所以正頻率分支由第三象限的無限遠處開始，靠近垂直線

$$\operatorname{Re}\{L\}=-\frac{1}{4\zeta^2}$$

當 $\omega\to\infty$ 時，

$$L(j\omega)\to 0$$

且由負虛部方向接近原點。

因此，$\omega>0$ 的 Nyquist 軌跡為第三象限曲線：

$$-\frac{1}{4\zeta^2}-j\infty \quad\longrightarrow\quad 0-j0$$

由於系統係數為實數，$\omega<0$ 的分支為上述軌跡對實軸的共軛鏡射，位於第二象限：

$$0+j0 \quad\longrightarrow\quad -\frac{1}{4\zeta^2}+j\infty$$

示意圖如下：

             Im
              ↑
       第二象限分支
              │       ↖
              │     ／
──────────────┼────────────→ Re
              │
              │     ＼
              │       ↘
       第三象限分支

整條 Nyquist plot 不會在有限頻率穿越負實軸，因為對所有有限的 $\omega>0$，虛部皆小於零。

(2) 增益餘裕

開迴路相位為

$$\angle L(j\omega) = -90^\circ-\tan^{-1} \left(\frac{\omega}{2\zeta\omega_n}\right)$$

核心觀念

本題考查負回授系統的閉迴路特性方程、根軌跡與二階系統步階響應。方塊圖的前向傳遞函數與回授傳遞函數為

$$G(s)=\frac{1}{s(s+1)},\qquad H(s)=k_p\left(1+\frac{s}{T_d}\right).$$

因此閉迴路傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{R(s)} =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{1}{s^2+\left(1+\frac{k_p}{T_d}\right)s+k_p}.$$

當 $k_p>0,\ T_d>0$ 時，二階特徵方程的係數皆為正，系統穩定。與標準二階形式比較，可得

$$\omega_n=\sqrt{k_p},\qquad \zeta=\frac{1+k_p/T_d}{2\sqrt{k_p}}.$$

解題方法與推導

(1) 設計 $k_p$ 與 $T_d$，使步階穩態輸出為 1

單位步階輸入為 $R(s)=1/s$。由終值定理，

$$\lim_{t\to\infty}y(t) =\lim_{s\to 0}sY(s) =\lim_{s\to 0}\frac{1}{s^2+\left(1+\frac{k_p}{T_d}\right)s+k_p} =\frac{1}{k_p}.$$

要使穩態輸出為 1，需令 $k_p=1$。此時 $T_d$ 不影響穩態值；任取 $T_d>0$，系統穩定。

(2) 用根軌跡設計安定時間小於 1 秒

採用常見的 2% 安定時間標準。根軌跡設計時，調整增益 $k_p$，並利用 $T_d$ 移動回授補償器的零點 $s=-T_d$，使閉迴路極點落在足夠靠左的位置。

選擇一組方便計算的目標極點 $s=-6,-6$。將特徵方程

$$s^2+\left(1+\frac{k_p}{T_d}\right)s+k_p=0$$

與 $(s+6)^2=s^2+12s+36$ 比較，得到

$$k_p=36,\qquad 1+\frac{k_p}{T_d}=12,$$

所以

$$T_d=\frac{36}{11}.$$

此時閉迴路傳遞函數為

$$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{(s+6)^2}.$$

此題考驗狀態空間表示法、可控性判準以及狀態回授極點配置。

(1) 寫出系統之 observability canonical form 的狀態空間表示式。

對於一個傳遞函數 $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_0}$，
Observability canonical form 的狀態空間表示法為：
$\dot{x} = A_o x + b_o u$
$y = c_o^T x$
其中
$A_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix}, \quad b_o = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad c_o = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$
（注意：這裡 $b_i$ 的定義可能因教科書而異，有時是 $c_o = [b_0, b_1, \dots, b_m]^T$ 或 $c_o = [b_m, \dots, b_0]^T$。）

給定的傳遞函數是 $G(s) = \frac{1}{s^2+4}$。
我們可以將其寫成 $G(s) = \frac{1}{s^2 + 0s + 4}$。
在這裡， $n=2$ (系統階數)。
$a_1 = 0$, $a_0 = 4$.
$b_0 = 1$, $b_1 = 0$ (分子是 $1 = 0s + 1$)。
所以，$m=0$。

Observability canonical form 的矩陣為：
$A_o = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix}$
$b_o = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$c_o = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
狀態空間表示式為：
$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u$
$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$

(2) 以 (1) 所得之狀態空間表示式，試證此系統為可控 (controllable)。

一個系統 $\dot{x} = Ax + bu$ 是可控的，如果可控性矩陣 $M_c = [b, Ab, A^2b, \dots, A^{n-1}b]$ 的秩 (rank) 為 $n$。
在這裡，$n=2$。
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
計算 $Ab$:
$Ab = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
可控性矩陣 $M_c = [b, Ab]$：
$M_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
計算 $M_c$ 的秩。
$\det(M_c) = (0)(0) - (1)(1) = -1$
由於 $\det(M_c) \ne 0$, $M_c$ 的秩為 $2$，等於系統的階數 $n=2$。
因此，系統是可控的。

核心觀念

本題考查單位回授系統的根軌跡：

$$1+G(s)=0$$

根軌跡繪製需使用：

• 實軸根軌跡判定
• 漸近線數量、交點與角度
• 實軸分離點
• 複數極點的分離角
• Routh–Hurwitz 判據判斷穩定範圍

開迴路極點與零點為

$$p_1=0,\qquad p_2=3,\qquad p_{3,4}=-1\pm j3$$ $$z_1=-1$$

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解題方法

閉迴路特徵方程為

$$1+\frac{k(s+1)}{s(s-3)(s^2+2s+10)}=0$$

因此

$$s(s-3)(s^2+2s+10)+k(s+1)=0$$

先展開：

$$s(s-3)(s^2+2s+10) =s^4-s^3+4s^2-30s$$

故閉迴路特徵方程為

$$s^4-s^3+4s^2+(k-30)s+k=0$$

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(1) 根軌跡資料

1. 根軌跡分支數與起終點

共有 $4$ 個開迴路極點，因此根軌跡共有 $4$ 條分支。

當 $k=0$ 時，分支由

$$0,\quad 3,\quad -1+j3,\quad -1-j3$$

出發。

其中一條分支終止於有限零點 $s=-1$，其餘三條分支沿漸近線趨向無限遠。

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2. 實軸根軌跡

實軸上的點若其右側「極點與零點總數」為奇數，則屬於根軌跡。

因此實軸根軌跡區段為

$$(-\infty,-1)\qquad\text{及}\qquad(0,3)$$

而

$$(-1,0),\qquad(3,\infty)$$

不屬於根軌跡。

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3. 漸近線數量

極點數 $n=4$，零點數 $m=1$，所以漸近線數量為

$$n-m=3$$

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4. 漸近線交點

漸近線交點為

$$\sigma_a= \frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$$

極點總和為

$$0+3+(-1+j3)+(-1-j3)=1$$

零點總和為

$$-1$$

因此

$$\sigma_a=\frac{1-(-1)}{3} =\frac{2}{3}$$

所以漸近線交點為

$$\boxed{s=\frac{2}{3}}$$

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5. 漸近線角度

漸近線角度為

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{n-m}, \qquad q=0,1,2$$

因此

$$\boxed{\theta=60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ}$$

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6. 實軸分離點

由根軌跡方程式可寫出

$$k=-\frac{s(s-3)(s^2+2s+10)}{s+1}$$

分離點滿足

$$\frac{dk}{ds}=0$$

計算得

$$3s^4+2s^3+s^2+8s-30=0$$

其中落在實軸根軌跡區段的兩個實根為

$$s\approx 1.397,\qquad s\approx -2.131$$

對應增益分別為

$$k(1.397)\approx 13.77$$ $$k(-2.131)\approx 99.4$$

所以：

• $s\approx1.397$：位於 $(0,3)$，為兩條實軸分支的分離點。
• $s\approx-2.131$：位於 $(-\infty,-1)$，為複數分支進入實軸後的分離／匯合點。

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7. 複數極點分離角

考慮上方極點

$$p=-1+j3$$

由零點 $-1$ 指向該極點的角度為

$$90^\circ$$

由其他極點指向該極點的角度為

$$\angle(0\to p)=108.435^\circ$$ $$\angle(3\to p)=143.130^\circ$$