113 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

核心觀念

本題考查 LTI 系統的卷積積分，以及傅立葉轉換的尺度性質與卷積定理。

• 時域輸出為 $y(t)=x(t)*h(t)$；兩個矩形訊號卷積後，可用兩者的重疊長度求值。
• 頻域中，LTI 系統滿足 $Y(f)=X(f)H(f)$。依題目採用的定義，$\operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ 的傅立葉轉換為頻寬 $1$、支撐於 $|f|\le \frac12$ 的矩形函數。

解題方法

圖中 $h(t)$ 的高度為 $1$，範圍是 $2\le t\le4$；$x(t)$ 是兩個高度為 $1$ 的矩形脈波，範圍分別為 $0\le t\le1$ 與 $2\le t\le3$，其餘時間皆為 $0$。因此可先計算第一個矩形脈波與 $h(t)$ 的卷積，再把第二個脈波造成的平移結果相加。

(a) 以卷積積分求 $y(t)$

令

$$p(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

則 $x(t)=p(t)+p(t-2)$。先求 $q(t)=p(t)*h(t)$：

$$q(t)=\int_0^1 h(t-\tau)\,d\tau =\text{區間 }[0,1]\text{ 與 }[t-4,t-2]\text{ 的重疊長度}.$$

依兩區間的重疊情形，

$$q(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\ t-2, & 2\le t<3,\\ 1, & 3\le t<4,\\ 5-t, & 4\le t<5,\\ 0, & t\ge5. \end{cases}$$

第二個矩形脈波是第一個向右平移 $2$，所以

$$y(t)=x(t)*h(t)=q(t)+q(t-2).$$

在 $4\le t<5$ 時，兩段重疊長度相加為 $(5-t)+(t-4)=1$，因此平台在兩個卷積波形交接處仍連續。合併後，

$$y(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\ t-2, & 2\le t<3,\\ 1, & 3\le t<6,\\ 7-t, & 6\le t<7,\\ 0, & t\ge7. \end{cases}$$

圖形由折線連接 $(2,0)$、$(3,1)$、$(6,1)$、$(7,0)$；在這些範圍之外，$y(t)=0$。

(b) 求 $Y(f)$ 與 $y(t)$

使用傅立葉轉換對偶關係

$$\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow \operatorname{rect}(f), \qquad \operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow \operatorname{tri}(f),$$

其中 $\operatorname{rect}(f)$ 在 $|f|<\frac12$ 時為 $1$，$\operatorname{tri}(f)=\max(1-|f|,0)$。

由尺度性質，

核心觀念

本題評量連續時間與離散時間系統的基本性質判斷，包含：

1. 線性度（Linearity）：
   設系統輸入為 $x(t)$，輸出為 $y(t) = \mathcal{T}\{x(t)\}$。系統為線性的充要條件為滿足重疊原理（Superposition Principle），即對任意常數 $a_1, a_2$ 及任意輸入 $x_1(t), x_2(t)$：

   $$\mathcal{T}\{a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)\} = a_1 \mathcal{T}\{x_1(t)\} + a_2 \mathcal{T}\{x_2(t)\}$$

   若系統滿足線性，則零輸入必對應零輸出，即 $x(t) = 0 \implies y(t) = 0$。

2. 非時變性（Time-Invariance）：
   若輸入延遲 $t_0$ 所產生的輸出，恰等於原輸出延遲 $t_0$，即：

   $$\mathcal{T}\{x(t - t_0)\} = y(t - t_0)$$

   則系統為非時變系統（Time-Invariant, TI）；反之則為時變系統（Time-Varying, TV）。

3. 因果性（Causality）：

   • 以輸入/輸出關係表示的系統：若系統在任一時間點的輸出 $y(t_0)$（或 $y[n_0]$）僅取決於當前與過去的輸入值（即 $t \le t_0$ 或 $n \le n_0$），與未來的輸入值無關，則該系統為因果系統（Causal）。
   • 線性非時變（LTI）系統：給定連續時間系統之脈衝響應 $h(t)$，系統具備因果性的充要條件為： $$h(t) = 0, \quad \forall t < 0$$ 其中符號 $u_{-1}(t)$ 在訊號與系統之標準文獻中代表單位階梯函數（Unit Step Function），亦即 $u(t)$。

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解題方法與詳細推導

Part A

判斷系統是否為線性（Linear / Non-linear）與非時變（Time-invariant / Time-varying）。

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(a) $y(t) = x^2(t) + e^{-|x(0.5-t)|}$

1. 線性度判斷：

   • 令輸入為零訊號 $x(t) = 0$： $$y(t) = 0^2 + e^{-|0|} = 0 + 1 = 1 \ne 0$$
   • 零輸入時系統輸出不為零，違反線性的必要條件（$\mathcal{T}\{0\} = 0$）。
   • 因此，此系統為非線性（Non-linear）。

2. 時變性判斷：

   • 先求原輸出訊號的時間延遲 $t_0$： $$y(t - t_0) = x^2(t - t_0) + e^{-|x(0.5 - (t - t_0))|} = x^2(t - t_0) + e^{-|x(0.5 - t + t_0)|}$$
   • 再求輸入先延遲 $t_0$ 時的系統響應，令 $x_1(t) = x(t - t_0)$： $$y_1(t) = \mathcal{T}\{x_1(t)\} = x_1^2(t) + e^{-|x_1(0.5-t)|} = x^2(t - t_0) + e^{-|x((0.5 - t) - t_0)|} = x^2(t - t_0) + e^{-|x(0.5 - t - t_0)|}$$
   • 比較兩者：$x(0.5 - t + t_0) \ne x(0.5 - t - t_0)$（除非 $t_0 = 0$ 或輸入為特定常數），因此 $y_1(t) \ne y(t - t_0)$。
   • 系統違反非時變條件，故為時變（Time-varying）。

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(b) $y(t) = t^2 x(2-t)$

1. 線性度判斷：
   • 設輸入為 $x(t) = a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)$，其中 $a_1, a_2$ 為任意純量常數。
   • 代入系統運算：

核心觀念

1. 時域摺積定理（Convolution Property）：
   時域的摺積對應頻域的相乘：
   $x_1(t) * x_2(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_1(f) \cdot X_2(f)$
2. 尺度縮放性質（Scaling Property）：
   $x(at) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{|a|} X\left(\frac{f}{a}\right)$
3. $\text{sinc}$ 函數與矩形脈衝（Rectangular Pulse）的傅立葉轉換對：
   在訊號與系統標準規範（以 Oppenheim 為代表）中，歸一化 $\text{sinc}$ 函數定義為：
   $\text{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \text{rect}(f) = \begin{cases} 1, & |f| < \frac{1}{2} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2} \end{cases}$
4. 三角恆等式（積化和差）與頻域積分性質：
   利用三角函數積化和差將高次正弦項化為一次項，並配合傅立葉轉換的對稱性質（實數且奇對稱之頻譜對應虛數且奇對稱之時域信號）：
   $\mathcal{F}^{-1}\left\{ \frac{\sin(a \omega)}{\omega^2} \right\} = \frac{j}{4} \left( |t+a| - |t-a| \right)$

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解題方法與詳細推導

(a) 計算 $\text{sinc}(x) * \text{sinc}(2x)$

令 $y(x) = \text{sinc}(x) * \text{sinc}(2x)$。

1. 求各訊號之傅立葉轉換：

   • 對於 $x_1(x) = \text{sinc}(x)$：
     $X_1(f) = \text{rect}(f) = \begin{cases} 1, & |f| < \frac{1}{2} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2} \end{cases}$
   • 對於 $x_2(x) = \text{sinc}(2x)$，應用尺度縮放性質：
     $X_2(f) = \frac{1}{2} X_1\left(\frac{f}{2}\right) = \frac{1}{2} \text{rect}\left(\frac{f}{2}\right) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & |f| < 1 \\ 0, & |f| > 1 \end{cases}$

2. 利用摺積定理於頻域相乘：
   $Y(f) = X_1(f) \cdot X_2(f) = \text{rect}(f) \cdot \left[ \frac{1}{2} \text{rect}\left(\frac{f}{2}\right) \right]$
   由於 $\text{rect}(f)$ 的非零區間落在 $|f| < \frac{1}{2}$，在此區間內 $\text{rect}\left(\frac{f}{2}\right) = 1$，兩者交集乘積為：
   $Y(f) = \frac{1}{2} \text{rect}(f)$

3. 取逆傅立葉轉換：
   $y(x) = \mathcal{F}^{-1}\{Y(f)\} = \frac{1}{2} \mathcal{F}^{-1}\{\text{rect}(f)\} = \frac{1}{2} \text{sinc}(x)$

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(b) 求脈衝響應 $h(t)$

給定系統頻率響應：
$H(f) = \frac{\sin(2\pi f)\sin^2(6\pi f)}{(2\pi f)^2}$

1. 以角頻率變數 $\omega = 2\pi f$ 改寫：
   $H\left(\frac{\omega}{2\pi}\right) = \frac{\sin(\omega)\sin^2(3\omega)}{\omega^2}$

2. 分子應用三角函數積化和差化簡：
   利用半角公式 $\sin^2(3\omega) = \frac{1 - \cos(6\omega)}{2}$：
   $\sin(\omega)\sin^2(3\omega) = \sin(\omega) \left[ \frac{1 - \cos(6\omega)}{2} \right] = \frac{1}{2}\sin(\omega) - \frac{1}{2}\sin(\omega)\cos(6\omega)$
   再利用積化和差公式 $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$：
   $\frac{1}{2}\sin(\omega)\cos(6\omega) = \frac{1}{4}[\sin(7\omega) + \sin(-5\omega)] = \frac{1}{4}\sin(7\omega) - \frac{1}{4}\sin(5\omega)$
   整理可得：
   $\sin(\omega)\sin^2(3\omega) = \frac{1}{2}\sin(\omega) + \frac{1}{4}\sin(5\omega) - \frac{1}{4}\sin(7\omega)$
   因此頻率響應可拆解為：
   $H(f) = \frac{1}{2} \frac{\sin(\omega)}{\omega^2} + \frac{1}{4} \frac{\sin(5\omega)}{\omega^2} - \frac{1}{4} \frac{\sin(7\omega)}{\omega^2}, \quad \text{其中 } \omega = 2\pi f$

3. 求基本項 $\frac{\sin(a\omega)}{\omega^2}$ 的逆傅立葉轉換：
   設 $g_a(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{ \frac{\sin(a\omega)}{\omega^2} \right\}$：

核心觀念

本題旨在測驗連續時間訊號的分類、能量／功率計算，以及能量頻譜密度（Energy Spectral Density, ESD）與功率頻譜密度（Power Spectral Density, PSD）的定義。

1. 能量訊號（Energy Signal）與功率訊號（Power Signal）之定義：

   • 總能量 $E$ 定義為： $$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt$$
   • 平均功率 $P$ 定義為： $$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \, dt$$
   • 能量訊號：若 $0 < E < \infty$，則其平均功率 $P = 0$。
   • 功率訊號：若 $0 < P < \infty$，則其總能量 $E = \infty$。
   • 若 $E = \infty$ 且 $P = \infty$（如發散訊號），或兩者皆為 $0$（如零訊號），則兩者皆非。

2. 能量頻譜密度（ESD）與功率頻譜密度（PSD）：

   • 對於能量訊號，其傅立葉轉換存在，由帕斯瓦爾定理（Parseval's Theorem）： $$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 \, d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 \, df$$ 其能量頻譜密度 $S_{xx}(\omega)$（或記作 $\Psi(\omega)$、$\mathcal{E}(\omega)$）定義為： $$S_{xx}(\omega) = |X(\omega)|^2$$ 若以頻率 $f$（單位 $\text{Hz}$）表示，則為 $|X(f)|^2$。

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解題方法與詳細步驟

題目給定訊號為因果指數衰減訊號：

$$x(t) = e^{-5t} u(t) = \begin{cases} e^{-5t}, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$$

(a) 判斷為能量訊號或功率訊號

計算其總能量 $E$：

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt = \int_{0}^{\infty} \left(e^{-5t}\right)^2 \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-10t} \, dt$$

進行積分：

$$E = \left[ \frac{e^{-10t}}{-10} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{10} = 0.1 < \infty$$

由於總能量 $0 < E < \infty$ 為有限非零值，因此平均功率為：

$$P = \lim_{T \to \infty} \frac{E}{T} = 0$$

故 $x(t)$ 為能量訊號（Energy-type signal）。

(b) 計算其功率（或能量）

核心觀念

本題主要測驗連續時間傅立葉級數（CTFS）的合成與對稱性，以及截斷訊號的功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）分析。

1. 實數週期訊號之傅立葉級數性質：

   • 週期為 $T$ 的連續時間週期訊號 $x(t)$，其基頻為 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。
   • 傅立葉級數合成公式為： $$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}$$
   • 當 $x(t)$ 為實數訊號時，其傅立葉級數係數滿足共軛對稱性：$a_{-k} = a_k^*$。
   • 歐拉公式（Euler's Formula）： $$\cos(\theta) = \frac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2}, \quad \sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}$$

2. 有限長度／截斷訊號之功率譜密度（PSD）：

   • 標準矩形函數（門函數）通常定義為寬度為 $1$、高度為 $1$ 的脈衝： $$\Pi(t) = \text{rect}(t) = \begin{cases} 1, & |t| < \frac{1}{2} \\ 0, & |t| > \frac{1}{2} \end{cases}$$ 其傅立葉轉換為 $\mathcal{F}\{\Pi(t)\} = \text{sinc}(f) = \frac{\sin(\pi f)}{\pi f}$。
   • 一般通訊系統與訊號處理中，訊號截斷在長度為 $T$ 的觀測區間時常表示為 $\Pi(t/T)$。當截斷區間為寬度 $T$ 的視窗時，功率譜密度（PSD）定義為單位時間內的能量譜密度在 $T \to \infty$ 時的極限： $$S_y(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} |Y_T(f)|^2$$ 其中 $Y_T(f) = \mathcal{F}\{y_T(t)\} = \mathcal{F}\{\Pi(t/T) x(t)\}$。
   • 題目給定提示： $$\delta(f) = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\left(\frac{\sin(\pi T f)}{\pi f}\right)^2$$ 此式對應於長度為 $T$ 的矩形截斷視窗 $\Pi(t/T)$ 在時間趨近於無限長時，用以求得定態訊號 $x(t)$ 的功率譜密度。

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解題方法

(a) 由傅立葉級數係數重構時域正弦訊號

1. 基本參數計算：

   • 週期 $T = 8$，故角基頻為： $$\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}$$

2. 確認所有非零係數：

   • 題目已知非零係數為 $a_1, a_{-1}, a_5, a_{-5}$：
     • $a_1 = j \implies a_{-1} = a_1^* = -j$
     • $a_5 = 2 \implies$ 題目給定 $a_{-5} = a_5 = 2$（滿足實數且為偶諧波係數之條件）
     • 其餘所有 $k$ 的 $a_k = 0$。

3. 展開並化簡為正弦波形式：
   由合成公式代入非零項：

   $$x(t) = a_1 e^{j \omega_0 t} + a_{-1} e^{-j \omega_0 t} + a_5 e^{j 5\omega_0 t} + a_{-5} e^{-j 5\omega_0 t}$$

   代入各係數與 $\omega_0 = \frac{\pi}{4}$：

   $$x(t) = j e^{j \frac{\pi}{4} t} - j e^{-j \frac{\pi}{4} t} + 2 e^{j \frac{5\pi}{4} t} + 2 e^{-j \frac{5\pi}{4} t}$$

   利用歐拉公式分組整理：

   • 第一組： $$j(e^{j \frac{\pi}{4} t} - e^{-j \frac{\pi}{4} t}) = j \cdot 2j \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$$
   • 第二組： $$2(e^{j \frac{5\pi}{4} t} + e^{-j \frac{5\pi}{4} t}) = 4 \cos\left(\frac{5\pi}{4} t\right)$$

   因此：

   $$x(t) = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) + 4 \cos\left(\frac{5\pi}{4} t\right)$$

   （亦可將負號納入相位寫為 $2 \sin\left(\frac{\pi}{4} t + \pi\right) + 4 \cos\left(\frac{5\pi}{4} t\right)$ 或全以餘弦表示）。

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(b) 計算截斷訊號 $y(t)$ 的功率譜密度 $S_y(f)$

1. 題意分析與截斷視窗：
   題目定義 $y(t) = \Pi(t)x(t)$，並給定提示：

   $$\delta(f) = \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\left(\frac{\sin(\pi T f)}{\pi f}\right)^2$$

   提示中的矩形視窗取樣長度為 $T$，即時間有限截斷訊號 $y_T(t) = \Pi\left(\frac{t}{T}\right) x(t)$，定義其功率譜密度為：

   $$S_y(f) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} |Y_T(f)|^2$$

2. 推導截斷訊號的傅立葉轉換 $Y_T(f)$：

   • 視窗函數 $\Pi\left(\frac{t}{T}\right)$ 之傅立葉轉換為：

核心觀念

本題評量連續時間傅立葉轉換（Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）的常用轉換對與運算性質，以及利用傅立葉轉換求解線性非時變（LTI）系統的脈衝響應（Impulse Response）：

1. 基本傅立葉轉換對：
   • 單邊指數衰減訊號：
     $e^{-at}u(t) \iff \frac{1}{a + j\omega},\quad a > 0$
     （註：題目以 $u_{-1}(t)$ 表示單位步階函數 $u(t)$）
2. 頻域微分性質（Differentiation in Frequency Domain / Multiplication by $t$）：
   $t x(t) \iff j \frac{d}{d\omega}X(\omega)$
   推廣至 $n$ 次乘積可得高階性質：
   $t^n x(t) \iff j^n \frac{d^n}{d\omega^n}X(\omega)$
3. 時域微分性質（Differentiation in Time Domain）：
   $\frac{d}{dt}x(t) \iff j\omega X(\omega)$
4. 時移性質（Time-Shifting Property）：
   $x(t - t_0) \iff e^{-j\omega t_0} X(\omega)$
5. LTI 系統的頻率響應與脈衝響應：
   若系統輸入為 $v(t)$、輸出為 $w(t)$，且其傅立葉轉換分別為 $V(\omega)$ 與 $W(\omega)$，則系統轉移函數（頻率響應）定義為：
   $H(\omega) = \frac{W(\omega)}{V(\omega)}$
   其逆傅立葉轉換（IDFT）即為系統脈衝響應 $h(t) = \mathcal{F}^{-1}\{H(\omega)\}$。

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解題方法

(a) 求 $X(\omega) = \frac{1}{(2 + j\omega)^3}$ 的逆傅立葉轉換

1. 設定基本對應關係：
   令 $x_1(t) = e^{-2t}u_{-1}(t)$，由已知公式：
   $X_1(\omega) = \frac{1}{2 + j\omega}$

2. 利用頻域微分性質進行一次推導：
   根據乘 $t$ 性質 $t x(t) \iff j \frac{d}{d\omega}X(\omega)$，取 $X_1(\omega)$ 對 $\omega$ 微分：
   $\frac{d}{d\omega}X_1(\omega) = \frac{d}{d\omega}\left((2 + j\omega)^{-1}\right) = -(2 + j\omega)^{-2} \cdot j = \frac{-j}{(2 + j\omega)^2}$
   等號兩邊同乘 $j$：
   $j \frac{d}{d\omega}X_1(\omega) = j \left(\frac{-j}{(2 + j\omega)^2}\right) = \frac{1}{(2 + j\omega)^2}$
   因此對應時域訊號為：
   $t e^{-2t}u_{-1}(t) \iff \frac{1}{(2 + j\omega)^2}$

3. 再次利用頻域微分性質推導三次項：
   令 $X_2(\omega) = \frac{1}{(2 + j\omega)^2}$，對 $\omega$ 微分：
   $\frac{d}{d\omega}X_2(\omega) = \frac{d}{d\omega}\left((2 + j\omega)^{-2}\right) = -2(2 + j\omega)^{-3} \cdot j = \frac{-2j}{(2 + j\omega)^3}$
   等號兩邊同乘 $j$：
   $j \frac{d}{d\omega}X_2(\omega) = j \left(\frac{-2j}{(2 + j\omega)^3}\right) = \frac{2}{(2 + j\omega)^3}$
   因此對應時域訊號為：
   $t \left(t e^{-2t}u_{-1}(t)\right) = t^2 e^{-2t}u_{-1}(t) \iff \frac{2}{(2 + j\omega)^3}$

4. 利用線性性質求得逆轉換：
   兩邊同除以 $2$：
   $\frac{1}{2} t^2 e^{-2t}u_{-1}(t) \iff \frac{1}{(2 + j\omega)^3}$
   故所求的逆傅立葉轉換為：
   $x(t) = \frac{1}{2} t^2 e^{-2t}u_{-1}(t)$

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(b) 求解系統的脈衝響應 $h(t)$

題目給定系統輸入為 $v(t) = \frac{d}{dt}x(t)$，輸出為 $w(t) = -3y(t) + e^{-2t}u(t)$。此處依訊號與系統標準微積分方程架構，輸入與系統輸出 $y(t)$ 滿足關係式：系統產生的輸出訊號為 $y(t)$，當輸入為 $\frac{d}{dt}x(t)$ 時，輸出響應之微分方程式關係即為 $y(t) = -3y(t) + e^{-2t}u(t)$ 抑或輸出定義為此組合。

為使關係完整明確，系統之輸出端訊號表示為 $y_{\text{sys}}(t)$，依題意系統響應為：
$y_{\text{sys}}(t) = -3y(t) + e^{-2t}u(t)$
在 LTI 輸入-輸出關係中，系統響應 $y(t)$ 滿足標準一階動態關係：
$y(t) + 3y(t) = e^{-2t}u(t) \quad \text{或表示輸出為} \quad w(t) = -3y(t) + e^{-2t}u(t)$
由標準系統描述，當輸入激勵為 $x_{\text{in}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$ 時，系統之微分方程式或輸入輸出頻域關係為：

1. 求輸入訊號的頻域表示 $V(\omega)$：
   已知 $x(t) = 2e^{-3t}u_{-1}(t - 1)$。
   利用時移性質，先改寫 $x(t)$ 使時間變數對齊時移量 $(t - 1)$：
   $x(t) = 2e^{-3(t - 1 + 1)}u_{-1}(t - 1) = 2e^{-3} e^{-3(t - 1)}u_{-1}(t - 1)$
   令 $g(t) = e^{-3t}u_{-1}(t) \iff G(\omega) = \frac{1}{3 + j\omega}$，則：

核心觀念

本題考查週期訊號的傅立葉轉換（Fourier Transform of a Periodic Signal）。涉及的核心觀念與定理如下：

1. 週期訊號的頻譜特性：週期訊號的傅立葉級數（Fourier Series, FS）與傅立葉轉換（Fourier Transform, FT）具備直接對應關係。若週期為 $T$、基頻為 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 的週期訊號 $x(t)$ 其複數指數傅立葉級數係數為 $a_k$：
   $x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k e^{j k \omega_0 t}$
   則其連續時間傅立葉轉換 $X(j\omega)$（或記為 $X(\omega)$）由一連串位於諧波頻率處的脈衝函數（Dirac delta functions）所組成：
   $X(j\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^\infty a_k \delta(\omega - k \omega_0)$
2. 單一週期脈衝與級數係數關係：若週期訊號 $x(t)$ 是由單一孤立脈衝 $p(t)$ 週期性重複展開而成，即：
   $x(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty p(t - nT)$
   （原題目中級數索引雖誤植寫為 $\sum_{k=-\infty}^\infty p(t-nT)$，顯係 $\sum_{n=-\infty}^\infty p(t-nT)$ 之筆誤），則傅立葉級數係數 $a_k$ 與 $p(t)$ 的非週期傅立葉轉換 $P(j\omega)$ 滿足採樣關係：
   $a_k = \frac{1}{T} P(jk\omega_0)$
3. 矩形脈衝的傅立葉轉換：寬度為 $\tau$、高度為 $1$ 的對稱矩形脈衝 $p(t) = \text{rect}(t/\tau)$，其傅立葉轉換為：
   $P(j\omega) = \tau \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega \tau}{2\pi}\right) = \frac{2}{\omega} \sin\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)$
   其中本題之 $\tau = \frac{T}{2}$。

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解題方法

方法一：先求傅立葉級數係數 $a_k$，再轉為傅立葉轉換

1. 求基頻與週期訊號特性：
   週期為 $T$，對應之角頻率基頻為：
   $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$
   在一個週期區間 $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ 內，訊號 $x(t) = p(t)$，其值為：
   $p(t) = \begin{cases} 1, & -\frac{T}{4} < t < \frac{T}{4} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

2. 計算傅立葉級數係數 $a_k$：
   依據指數型傅立葉級數公式：
   $a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-j k \omega_0 t} \, dt = \frac{1}{T} \int_{-T/4}^{T/4} 1 \cdot e^{-j k \omega_0 t} \, dt$

   • 當 $k = 0$ 時（直流成分）：
     $a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/4}^{T/4} dt = \frac{1}{T} \cdot \left(\frac{T}{4} - \left(-\frac{T}{4}\right)\right) = \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{1}{2}$
   • 當 $k \neq 0$ 時：
     $a_k = \frac{1}{T} \left[ \frac{e^{-j k \omega_0 t}}{-j k \omega_0} \right]_{-T/4}^{T/4} = \frac{1}{T} \cdot \frac{e^{-j k \omega_0 \frac{T}{4}} - e^{j k \omega_0 \frac{T}{4}}}{-j k \omega_0} = \frac{2}{k \omega_0 T} \sin\left(k \omega_0 \frac{T}{4}\right)$
     將 $\omega_0 T = 2\pi$ 代入：
     $a_k = \frac{2}{2\pi k} \sin\left(k \cdot \frac{2\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k\pi}$
     若以定義式 $\operatorname{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u}$ 表示，亦可寫成：
     $a_k = \frac{1}{2} \operatorname{sinc}\left(\frac{k}{2}\right)$
     （此式在 $k=0$ 時極限值亦為 $\frac{1}{2}$，公式完全相容）。

3. 轉換為傅立葉轉換 $X(j\omega)$：
   週期訊號的傅立葉轉換公式為：
   $X(j\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^\infty a_k \delta(\omega - k \omega_0)$
   將 $a_k$ 與 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ 代入：
   $X(j\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k\pi} \delta\left(\omega - \frac{2\pi k}{T}\right)$
   亦可等價表示為：