108 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

本題主要考察傅立葉轉換的微分性質。
我們知道傅立葉轉換的微分性質為：若 $x(t)$ 的傅立葉轉換為 $X(j\omega)$，則 $\frac{dX(j\omega)}{d\omega}$ 對應到時域的訊號為 $j t x(t)$。
題目給定的 $Y(j\omega) = \frac{dX(j\omega)}{d\omega}$，我們可以利用傅立葉轉換的時域微分性質的反向應用。
根據傅立葉轉換的性質：
若 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$

本題考察傅立葉轉換的積分性質以及常見訊號的傅立葉轉換。
我們已知 $e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$。
題目要求計算 $Y(j\omega) = \frac{1}{(a + j\omega)^n}$ 的傅立葉反轉換。
我們可以利用傅立葉轉換的積分性質，或者將此形式看作是已知轉換訊號的重複積分。
傅立葉轉換的積分性質為：
若 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$，則 $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega} X(j\omega) + \pi X(0) \delta(\omega)$。
然而，題目給定的形式 $\frac{1}{(a+j\omega)^n}$ 似乎更適合使用時域的捲積性質或直接利用已知轉換的延展。

考慮到 $X(j\omega) = \frac{1}{a+j\omega}$ 對應的時域訊號是 $x(t) = e^{-at}u(t)$。
我們可以將 $\frac{1}{(a+j\omega)^n}$ 視為 $\frac{1}{a+j\omega}$ 這個轉換的 $n-1$ 次重複做傅立葉轉換的積分。
也就是說，如果我們有 $X_1(j\omega) = \frac{1}{a+j\omega}$, $x_1(t) = e^{-at}u(t)$。
那麼 $X_2(j\omega) = \frac{1}{(a+j\omega)^2} = X_1(j\omega) \cdot X_1(j\omega)$。
根據傅立葉轉換的捲積性質，時域的捲積對應頻域的乘積。
所以，$x_2(t) = x_1(t) * x_1(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau) x_1(t-\tau) d\tau$。
$x_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\tau}u(\tau) e^{-a(t-\tau)}u(t-\tau) d\tau$

本題考察矩形脈衝訊號的傅立葉轉換以及相關積分。

a. 求解 $x(t)$ 的傅立葉轉換 $X(j\omega)$。
訊號 $x(t)$ 是一個寬度為 2 的矩形脈衝，中心在 $t=0$，高度為 1。

其中 $u(t)$ 是單位階躍函數。
矩形脈衝訊號的傅立葉轉換公式為：

在本題中，矩形脈衝的寬度是 $2T = 2$，所以 $T=1$。
因此，

這個結果也可以寫成 $2 \text{sinc}(\omega/\pi)$ 的形式，如果我們定義 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。
或者，如果我們使用 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ 的定義，那麼 $X(j\omega) = 2 \text{sinc}(\omega)$.

b. 計算積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\omega)}{\omega} d\omega$。
這個積分是狄利克雷積分 (Dirichlet integral) 的一個變形。
我們從 part a 的結果 $X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$ 回推。
我們計算的是 $X(j\omega)$ 在 $\omega$ 上的積分。
從 part a 的計算結果，我們得到 $X(j\omega) = \frac{2 \sin(\omega)}{\omega}$。
為了計算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\omega)}{\omega} d\omega$，我們可以考慮 $X(j\omega)$ 在 $\omega=0$ 的值。
當 $\omega \to 0$ 時，$\frac{\sin(\omega)}{\omega} \to 1$。
所以 $X(j\omega)$ 在 $\omega=0$ 的值是 $2 \times 1 = 2$。

另外一個方法是利用傅立葉轉換的性質：
$X(j0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j0 \cdot t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) dt$。
對於本題的 $x(t)$，

核心觀念

本題考查三個傅立葉轉換觀念：

1. 單位階躍函數的傅立葉轉換：
   $U(j\omega)=\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$

2. 時域摺積對應頻域相乘：
   $x(t)*u(t)\ \longleftrightarrow\ X(j\omega)U(j\omega)$

3. 沖激函數的取樣性質：
   $X(j\omega)\delta(\omega)=X(0)\delta(\omega)$

其中 $\frac{1}{j\omega}$ 應理解為廣義函數形式。

解題方法

題目給定

由單位階躍函數 $u(t)$ 的定義，

因此可將 $y(t)$ 改寫為

這正是 $x(t)$ 與 $u(t)$ 的摺積：

根據摺積定理，

代入題目提供的 $U(j\omega)$：

核心觀念

令系統算子為

本題依序檢查有界輸入是否產生有界輸出、輸出是否依賴未來輸入、不同輸入能否產生相同輸出、是否符合線性疊加，以及輸入平移是否等同輸出平移。以下假設訊號為實數，且根號內的 $x(\tan^{-1}t)$ 非負。

解題方法與各小題分析

a. 穩定性

有界輸入代表存在有限常數 $M$，使得 $|x(t)|\le M$ 對所有 $t$ 成立。由於根號內非負，

因此有界輸入必定產生有界輸出，系統穩定。

b. 因果性

因果系統在時間 $t$ 的輸出只能依賴現在與過去的輸入，也就是輸入取樣時間必須滿足 $\tan^{-1}t\le t$。當 $t<0$ 時，$\tan^{-1}t>t$；例如 $t=-1$ 時，

所以輸出會依賴時間 $-1$ 之後的輸入，系統非因果。

c. 可逆性

由於 $\tan^{-1}t$ 的值域是 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，輸出只會取用輸入在此區間內的值。輸入在區間外如何變化，都不會改變輸出，因此不同輸入可能產生相同輸出，系統不可逆。

核心觀念

本題考查訊號的奇偶性與離散時間卷積的對稱性。

• 若訊號 $x[n]$ 滿足
  $x[-n]=-x[n]$
  則稱為奇訊號。
• 若訊號 $y[n]$ 滿足
  $y[-n]=-y[n]$
  則 $y[n]$ 也是奇訊號。
• 離散時間卷積定義為
  $z[n]=(x*y)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]y[n-k]$

題目要求判斷 $z[n]$ 的奇偶性。

解題方法

直接計算 $z[-n]$，並利用 $x[n]$、$y[n]$ 為奇訊號的條件。

由卷積定義，

令 $m=-k$，則 $k=-m$，因此

因為 $x[n]$ 與 $y[n]$ 都是奇訊號，

且

代入可得

核心觀念

本題考查離散時間卷積的「時間位移性質」。

若

則對任意位移量 $n_1,n_2$，有

也就是說，兩個訊號分別位移後進行卷積，總位移量等於兩者位移量的代數和。

解題方法

令

依離散時間卷積定義，

代入 $x_1[n]$ 與 $y_1[n]$：

令

核心觀念

離散時間傅立葉轉換（DTFT）定義為

由於離散時間訊號的時間索引 $n$ 為整數，DTFT 必須具有 $2\pi$ 週期性：

因此，判斷一個頻域表示是否可能是 DTFT，最直接的方法之一，就是檢查它是否為 $2\pi$ 週期函數。

題目給定

解題方法：檢查 $2\pi$ 週期性

將 $\omega$ 替換成 $\omega+2\pi$：

分別化簡分子與分母：

而

因此

此頻域函數具有反週期性：

而不是 DTFT 必須滿足的週期性：

所以，此函數不可能是任何離散時間訊號的 DTFT。

與矩形序列 DTFT 的比較

常見公式為

當 $N=10$ 時，