108 年 國立成功大學工程科學系碩士班丁組《材料力學》

本題為概念題，主要在測試考生對材料力學基本名詞的理解程度。以下逐一解釋：

(a) Safety Factor (安全係數)
安全係數是指材料在承受載重時，其最大容許應力或強度與實際作用應力或強度之間的比例。它是一個無因次量，用來確保結構或元件在正常使用情況下，不會因為材料瑕疵、載重波動、製造誤差等因素而發生破壞。
$\text{SF} = \frac{\text{Ultimate Strength}}{\text{Allowable Stress}} \quad \text{或} \quad \text{SF} = \frac{\text{Yield Strength}}{\text{Allowable Stress}}$
其中，Ultimate Strength 為極限強度，Yield Strength 為降伏強度，Allowable Stress 為容許應力。

(b) Percent Elongation (伸長率)
伸長率是材料在拉伸試驗中，試樣斷裂後，其伸長量與原始標距長度之百分比。它是衡量材料延展性（ductility）的一個指標。
$\text{Percent Elongation} = \frac{L_f - L_0}{L_0} \times 100\%$
其中，$L_f$ 為斷裂後的試樣長度，$L_0$ 為原始標距長度。

(c) Dilatation (體積膨脹)
Dilatation 指的是物體在受力後體積的變化。對於均質、等向性材料，在彈性範圍內，體積變化與平均應力（壓力）有關。在三軸應力狀態下，體積膨脹率（volumetric strain）與平均應力 $\sigma_m = (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)/3$ 的關係為：
$\epsilon_v = \frac{\Delta V}{V} = \frac{1 - 2\nu}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1 - 2\nu}{E} (3\sigma_m)$
其中，$\nu$ 為蒲松比，$E$ 為楊氏模數。

(d) Plane Strain (平面應變)
平面應變是一種二維應力狀態的近似，假設在某一個方向（通常是 $z$ 方向）的應變為零，即 $\epsilon_z = 0$。這通常適用於長度遠大於寬度或厚度的結構，例如長管道的應力分析。在平面應變條件下，應力與應變的關係式為：
$\epsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$
$\epsilon_y = \frac{1}{E} [\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)]$
$\epsilon_z = 0 = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)] \implies \sigma_z = \nu(\sigma_x + \sigma_y)$
因此，平面應變下的應力-應變關係為：
$\sigma_x = \frac{E}{(1-\nu^2)} [ \epsilon_x + \frac{\nu}{1-2\nu} \epsilon_z ]$
$\sigma_y = \frac{E}{(1-\nu^2)} [ \epsilon_y + \frac{\nu}{1-2\nu} \epsilon_z ]$
在 $\epsilon_z = 0$ 的情況下，
$\sigma_x = \frac{E}{(1-\nu^2)} (\epsilon_x + \nu\epsilon_y)$

核心觀念

本題將 $ABC$ 視為剛性桿，利用：

1. 剛性桿 $ABC$ 的靜力平衡。
2. 軸向桿件變形公式
   $\delta=\frac{NL}{AE}$
3. 剛性桿的幾何相容條件。

圖中尺寸為 $AB=125\ \mathrm{mm}$、$BC=225\ \mathrm{mm}$、$BD=225\ \mathrm{mm}$、$CE=150\ \mathrm{mm}$。

解題方法

設 $BD$、$CE$ 皆受拉，軸力分別為 $N_{BD}$、$N_{CE}$。

對剛性桿 $ABC$ 取 $B$ 點力矩：

$$125P-225N_{CE}=0$$

因此

$$N_{CE}=\frac{125}{225}P=\frac{5}{9}P$$

再由鉛直方向力平衡：

$$N_{BD}-N_{CE}-P=0$$

得到

$$N_{BD}=P+\frac{5}{9}P=\frac{14}{9}P$$

將彈性模數換成 $\mathrm{N/mm^2}$：

$$E_{BD}=103000\ \mathrm{N/mm^2},\qquad E_{CE}=72000\ \mathrm{N/mm^2}$$

兩連桿的伸長量為

$$\delta_{BD} =\frac{(14P/9)(225)} {(258)(103000)} =1.3171\times10^{-5}P\ \mathrm{mm}$$ $$\delta_{CE} =\frac{(5P/9)(150)} {(322)(72000)} =3.5944\times10^{-6}P\ \mathrm{mm}$$

核心觀念

本題考查圓軸扭轉與齒輪傳動。圓軸的扭轉角為

$$\phi=\frac{TL}{GJ},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}$$

其中 $T$ 是軸內扭矩、$L$ 是軸段長度、$G$ 是剪變模數，$J$ 是實心圓軸的極慣性矩。兩齒輪嚙合時，切向力相同，因此齒輪扭矩與節圓半徑成正比；兩齒輪轉向相反。

解題方法

由圖可讀出，大齒輪 $E$ 的尺寸為 $100\text{ mm}$，小齒輪 $B$ 的尺寸為 $75\text{ mm}$，兩軸直徑皆為 $20\text{ mm}$。固定端 $F$ 到齒輪 $E$ 的軸長為 $200\text{ mm}$；從齒輪 $B$ 到端點 $A$，軸長為 $150+125=275\text{ mm}$。軸承 $D$ 支承軸，但不限制軸的轉動。

先由齒輪的切向力相等求出大齒輪上的扭矩：

$$T_E=T\frac{r_E}{r_B} =85\frac{100}{75} =113.33\text{ N}\cdot\text{m}$$

兩齒輪的轉角大小滿足

$$|\theta_B|=\frac{r_E}{r_B}|\theta_E|$$

而大齒輪 $E$ 連接的軸以 $F$ 為固定端，因此

$$|\theta_E| =\frac{T_E L_E}{GJ}$$

端點 $A$ 相對於齒輪 $B$ 的扭轉角為

$$|\theta_{A/B}|=\frac{T L_{BA}}{GJ}$$

本題考驗學生對壓力容器內應力分析的理解，特別是環向應力、軸向應力以及斜向應力在焊縫上的分量。題目要求計算焊縫上的剪應力，並根據容許值來確定焊縫角度 $\beta$ 的範圍。

核心觀念：

1. 壓力容器應力： 圓柱形壓力容器在內部壓力作用下的環向應力（hoop stress）和軸向應力（longitudinal stress）。
2. 應力轉換： 將壓力容器內的應力轉換到斜向的焊縫平面上，計算其中的正向應力（normal stress）和剪應力（shear stress）。
3. 許容應力： 根據題目給定的最大容許剪應力，反推焊縫角度的範圍。

已知條件：

• 壓力容器壁厚 $t = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m}$。
• 壓力容器長度 $L = 4.5 \text{ m}$。
• 壓力容器直徑 $D = 1.5 \text{ m}$。
• 內部表壓（gage pressure）$p = 580 \text{ kPa} = 580 \times 10^3 \text{ Pa}$。
• 焊縫上的剪應力 $\tau_{\beta} \le 9 \text{ MPa} = 9 \times 10^6 \text{ Pa}$。
• 焊縫角度 $\beta$ 與橫截面（transverse plane，即垂直於軸向的平面）的夾角。

步驟一：計算壓力容器內的環向應力和軸向應力

對於薄壁圓柱形壓力容器，環向應力（或稱圓周應力）和軸向應力（或稱縱向應力）分別為：

• 環向應力 $\sigma_h = \frac{pD}{2t}$
• 軸向應力 $\sigma_l = \frac{pD}{4t}$

代入數值：

• $p = 580 \times 10^3 \text{ Pa}$

• $D = 1.5 \text{ m}$

• $t = 0.01 \text{ m}$

• $\sigma_h = \frac{(580 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (1.5 \text{ m})}{2 \times (0.01 \text{ m})} = \frac{870 \times 10^3}{0.02} = 43.5 \times 10^6 \text{ Pa} = 43.5 \text{ MPa}$。

• $\sigma_l = \frac{pD}{4t} = \frac{\sigma_h}{2} = \frac{43.5 \text{ MPa}}{2} = 21.75 \text{ MPa}$。

步驟二：計算焊縫上的應力

焊縫與橫截面（垂直於軸向的平面）的夾角為 $\beta$。

• 橫截面上的應力是軸向應力 $\sigma_l$。
• 與軸向垂直的平面（即環向平面）上的應力是環向應力 $\sigma_h$。

我們需要將 $\sigma_l$ 和 $\sigma_h$ 轉換到焊縫平面。
設焊縫平面法線與容器軸向的夾角為 $\theta$。從圖示看，$\beta$ 是焊縫與橫截面（軸向應力 $\sigma_l$ 所在的平面）的夾角。
那麼，焊縫平面的法線與容器軸向的夾角 $\theta$ 與 $\beta$ 的關係是：$\theta = 90^\circ - \beta$。

在焊縫平面上，正向應力（normal stress）$\sigma_{\beta}$ 和剪應力（shear stress）$\tau_{\beta}$ 為：

• $\sigma_{\beta} = \sigma_l \cos^2 \theta + \sigma_h \sin^2 \theta$
• $\tau_{\beta} = (\sigma_h - \sigma_l) \sin \theta \cos \theta$

將 $\theta = 90^\circ - \beta$ 代入：

• $\cos \theta = \cos(90^\circ - \beta) = \sin \beta$

• $\sin \theta = \sin(90^\circ - \beta) = \cos \beta$

• $\sigma_{\beta} = \sigma_l \sin^2 \beta + \sigma_h \cos^2 \beta$

• $\tau_{\beta} = (\sigma_h - \sigma_l) \cos \beta \sin \beta$

題目要求焊縫上的剪應力 $\tau_{\beta}$ 不得超過 9 MPa。

• $\tau_{\beta} = (\sigma_h - \sigma_l) \sin \beta \cos \beta \le 9 \text{ MPa}$。

代入 $\sigma_h = 43.5 \text{ MPa}$ 和 $\sigma_l = 21.75 \text{ MPa}$：

• $\sigma_h - \sigma_l = 43.5 - 21.75 = 21.75 \text{ MPa}$。

• $21.75 \text{ MPa} \times \sin \beta \cos \beta \le 9 \text{ MPa}$。

• $\sin \beta \cos \beta \le \frac{9}{21.75}$。

使用三角恆等式 $2 \sin \beta \cos \beta = \sin(2\beta)$：

• $\frac{1}{2} \sin(2\beta) \le \frac{9}{21.75}$。
• $\sin(2\beta) \le \frac{18}{21.75} \approx 0.827586$。

步驟三：求解 $\beta$ 的範圍

我們需要找到使 $\sin(2\beta) \le 0.827586$ 的 $\beta$ 的範圍。

• 首先，計算 $2\beta$ 的值：
  • $2\beta = \arcsin(0.827586)$。
  • 計算器給出 $2\beta \approx 55.85^\circ$。

核心觀念

本題為「右端固定、左端加滾輪支承」的撐桿梁。梁為超靜定結構，利用：

1. A 點垂直位移為零；
2. 疊加原理；
3. 懸臂梁端點位移公式；
4. 彎矩函數繪製彎矩圖。

由圖可知，梁長為 $L$，三角形分布載重作用於 $C$ 至 $B$，其中 $AC=L/2$，且 $B$ 點載重強度為 $w_0$。

---

解題方法：求 A 點滾輪反力

取 $B$ 為固定端，將梁視為懸臂梁。設 A 點滾輪反力為 $R_A$，方向向上。

令 $u$ 為由固定端 $B$ 向左量測的距離，則三角形載重作用於 $0\leq u\leq L/2$，其強度為

$$w(u)=w_0\left(1-\frac{2u}{L}\right)$$

位於距固定端 $u$ 處的微小載重 $w(u)\,du$，造成自由端 A 的位移為

$$d\delta_A= \frac{w(u)\,du\;u^2(3L-u)}{6EI}$$

因此，三角形載重造成 A 點向下位移：

$$\delta_w= \frac{1}{6EI} \int_0^{L/2} w_0\left(1-\frac{2u}{L}\right)u^2(3L-u)\,du$$

積分得

$$\delta_w=\frac{3w_0L^4}{640EI}$$

A 點向上的滾輪反力造成端點位移：

$$\delta_{R_A}=\frac{R_A L^3}{3EI}$$

由 A 點為滾輪支承，垂直位移必須為零：

$$\frac{R_A L^3}{3EI} = \frac{3w_0L^4}{640EI}$$

因此

$$\boxed{R_A=\frac{9}{640}w_0L}$$

方向為向上。

---

彎矩函數

取 $x$ 由 A 向右量測，並採「下凹為正彎矩」 convention。

區段 $AC$：$0\leq x\leq L/2$

此區段沒有分布載重，因此剪力為常數：

$$V(x)=R_A$$

彎矩為

$$M(x)=R_Ax$$

代入 $R_A$：

$$\boxed{ M(x)=\frac{9w_0L}{640}x } \qquad \left(0\leq x\leq \frac{L}{2}\right)$$

在 $C$ 點：

$$M_C=R_A\frac{L}{2} =\frac{9w_0L^2}{1280}$$

---

區段 $CB$：$L/2\leq x\leq L$

從 $C$ 到截面 $x$ 的三角形載重合力為

$$W_x=\frac{1}{2}(x-L/2) \left[\frac{2w_0}{L}(x-L/2)\right] = \frac{w_0(x-L/2)^2}{L}$$

其作用線距截面 $x$ 為

$$\frac{x-L/2}{3}$$

故彎矩函數為

$$M(x)=R_Ax- \frac{w_0(x-L/2)^3}{3L}$$

即