114 年 國立成功大學工程科學系碩士班丁組《材料力學》

本題主要在於檢測考生對材料力學基本名詞的理解程度。

(a) yield point (降伏點)：
材料在承受外力時，當應力達到某個特定值時，材料會開始發生顯著的永久變形，而應力-應變曲線的斜率會急劇下降。這個點稱為降伏點。在降伏點之後，材料即使在應力減小後，仍會保持部分永久變形。對於某些材料，如低碳鋼，降伏點會比較明顯，表現為一個平台區；而對於其他材料，如鋁合金，降伏點可能不明顯，通常會定義一個 0.2% 應變的降伏強度作為替代。

(b) residual strain (殘留應變)：
當材料承受外力，使其應力超過降伏點，產生了永久變形後，即使移除外力，材料仍然會保有部分變形，這個未恢復的變形稱為殘留應變。殘留應變是材料發生塑性變形後的結果。

本題考驗考生對應力轉換（stress transformation）及莫爾圓（Mohr's Circle）的應用，以找出最大剪應力與最大正向應力及其作用面。

題目描述一個承受軸向載荷 $P$ 的柱體，其截面為邊長為 $a$ 的正方形。載荷 $P$ 作用於截面的中心。

1. 建立應力狀態：
由於載荷 $P$ 僅沿著柱體軸線方向施加，且為均勻分佈在截面上，因此在截面上的正向應力 $\sigma_z$ 為常數，剪應力為零。
$\sigma_x = 0$
$\sigma_y = 0$
$\sigma_z = \frac{P}{a^2}$
$\tau_{xy} = \tau_{yz} = \tau_{zx} = 0$

2. 找出最大正向應力與作用面：
在此情況下，應力狀態為單軸拉伸。最大正向應力即為 $\sigma_z$。
最大正向應力：$\sigma_{max} = \sigma_z = \frac{P}{a^2}$
作用面：此應力作用於垂直於 $z$ 軸的截面上。

本題考驗考生對平面應力狀態下材料應變的計算，特別是利用虎克定律（Hooke's Law）來分析雙軸應力對不同方向長度的影響。

題目給定一個薄板受到雙軸應力 $\sigma_x = 100 \, \text{MPa}$ 和 $\sigma_y = 120 \, \text{MPa}$。材料的彈性模數 $E = 70 \, \text{GPa}$，蒲松比 $\nu = 0.33$。薄板的尺寸為 $AB=CD=80 \, \text{mm}$ 且 $BC=AD=60 \, \text{mm}$。

在平面應力狀態下，材料的應變與應力關係由虎克定律給出：
$\epsilon_x = \frac{\sigma_x - \nu \sigma_y}{E}$
$\epsilon_y = \frac{\sigma_y - \nu \sigma_x}{E}$
$\epsilon_z = \frac{-\nu (\sigma_x + \sigma_y)}{E}$

其中 $\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z$ 分別為沿 $x, y, z$ 方向的應變。由於是薄板，通常假設 $z$ 方向的應力為零 ($\sigma_z = 0$)，但 $z$ 方向的應變不為零。

給定值：
$\sigma_x = 100 \, \text{MPa} = 100 \times 10^6 \, \text{Pa}$
$\sigma_y = 120 \, \text{MPa} = 120 \times 10^6 \, \text{Pa}$
$E = 70 \, \text{GPa} = 70 \times 10^9 \, \text{Pa}$
$\nu = 0.33$

計算應變：
$\epsilon_x = \frac{100 \times 10^6 \, \text{Pa} - 0.33 \times 120 \times 10^6 \, \text{Pa}}{70 \times 10^9 \, \text{Pa}} = \frac{100 - 39.6}{70 \times 10^3} = \frac{60.4}{70 \times 10^3} \approx 0.86286 \times 10^{-3}$
$\epsilon_y = \frac{120 \times 10^6 \, \text{Pa} - 0.33 \times 100 \times 10^6 \, \text{Pa}}{70 \times 10^9 \, \text{Pa}} = \frac{120 - 33}{70 \times 10^3} = \frac{87}{70 \times 10^3} \approx 1.24286 \times 10^{-3}$

計算長度變化：
長度變化 $\Delta L$ 可以通過 $\Delta L = L \times \epsilon$ 計算，其中 $L$ 是初始長度，$\epsilon$ 是沿該方向的應變。

(a) AB 的長度變化：
邊 AB 沿 $y$ 方向，其初始長度為 $L_{AB} = 60 \, \text{mm}$。
沿 $y$ 方向的應變為 $\epsilon_y$。
$\Delta L_{AB} = L_{AB} \times \epsilon_y = 60 \, \text{mm} \times 1.24286 \times 10^{-3} \approx 0.07457 \, \text{mm}$

(b) BC 的長度變化：
邊 BC 沿 $x$ 方向，其初始長度為 $L_{BC} = 80 \, \text{mm}$。
沿 $x$ 方向的應變為 $\epsilon_x$。
$\Delta L_{BC} = L_{BC} \times \epsilon_x = 80 \, \text{mm} \times 0.86286 \times 10^{-3} \approx 0.06903 \, \text{mm}$

(c) BD 的長度變化：
邊 BD 是對角線。要計算 BD 的長度變化，我們需要先知道 BD 的初始長度，然後計算 BD 方向的應變。
初始長度 $L_{BD} = \sqrt{L_{AB}^2 + L_{BC}^2} = \sqrt{(60 \, \text{mm})^2 + (80 \, \text{mm})^2} = \sqrt{3600 + 6400} \, \text{mm} = \sqrt{10000} \, \text{mm} = 100 \, \text{mm}$。

BD 方向的應變 $\epsilon_{BD}$ 可以通過應變轉換公式計算，或者利用應變的定義來推導。
在平面應力狀態下，沿任意方向 $\theta$（從 $x$ 軸正方向測量）的應變 $\epsilon_\theta$ 為：
$\epsilon_\theta = \epsilon_x \cos^2 \theta + \epsilon_y \sin^2 \theta + \gamma_{xy} \sin \theta \cos \theta$
在此題中，$\gamma_{xy} = 0$。
對於 BD 方向，它與 $x$ 軸的夾角 $\theta$ 可以從圖中看出。如果 BC 沿 $x$ 軸，AB 沿 $y$ 軸，則 BD 的方向向量為 $(-80, 60)$。 BD 向量與 $x$ 軸的夾角 $\theta$ 滿足 $\tan \theta = \frac{60}{-80} = -\frac{3}{4}$。
然而，題目圖示中 $\sigma_x$ 作用在 $80 \, \text{mm}$ 邊上，$\sigma_y$ 作用在 $60 \, \text{mm}$ 邊上。
所以，邊 BC (長度 80mm) 沿 $x$ 方向，邊 AB (長度 60mm) 沿 $y$ 方向。
BD 連接點 B (x=80, y=0) 與點 D (x=0, y=60)。
BD 方向向量為 $(0-80, 60-0) = (-80, 60)$。

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁支承反力
• 剪力變號與最大彎矩位置
• 彎曲正應力公式

矩形截面的最大彎曲正應力為

$$\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}$$

其中

$$I=\frac{bh^3}{12},\qquad c=\frac{h}{2}$$

因此

$$\sigma_{\max}=\frac{6M}{bh^2}$$

圖中梁長為 $6\text{ m}$，矩形截面寬度 $b=100\text{ mm}$，高度為 $h$。

解題方法

1. 求支承反力

均布載重 $50\text{ kN/m}$ 作用於左側 $3\text{ m}$，其合力為

$$W=50(3)=150\text{ kN}$$

作用位置距離 $A$ 點

$$\frac{3}{2}=1.5\text{ m}$$

以 $A$ 點取力矩：

$$B_y(6)-150(1.5)-100(4)-100(5)=0$$ $$B_y=\frac{225+400+500}{6}=187.5\text{ kN}$$

由鉛直力平衡：

$$A_y+B_y-150-100-100=0$$ $$A_y=162.5\text{ kN}$$

2. 判斷最大彎矩位置

在 $0\leq x\leq 3\text{ m}$ 的區段，

$$V(x)=162.5-50x$$

在 $x=3\text{ m}$ 處，

$$V(3)=162.5-150=12.5\text{ kN}$$

因此均布載重區間內剪力仍為正，彎矩持續增加。

在 $x=3\text{ m}$ 至 $x=4\text{ m}$ 之間沒有載重，剪力為 $12.5\text{ kN}$，故

$$M(4)=M(3)+12.5(1)$$

先求

$$M(3)=162.5(3)-\frac{50(3)^2}{2} =487.5-225=262.5\text{ kN}\cdot\text{m}$$

所以

$$M(4)=262.5+12.5=275\text{ kN}\cdot\text{m}$$

在 $x=4\text{ m}$ 處受到第一個 $100\text{ kN}$ 集中載重，剪力由

$$+12.5\text{ kN}$$

跳變為

核心觀念

本題考查圓管截面承受下列內力時的應力：

• 軸力 $P$：產生均勻正應力
  $\sigma_P=\frac{P}{A}$
• 彎矩 $M_y、M_z$：產生彎曲正應力
  $\sigma_b=\frac{M c}{I}$
• 扭矩 $T$：產生扭轉剪應力
  $\tau_T=\frac{Tc}{J}$

其中，圓管截面之外半徑與內半徑分別為

$$r_o=22\ \text{mm},\qquad r_i=20\ \text{mm}$$

外表面到圓心的距離為 $c=22\ \text{mm}$。

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解題方法：先求截面內力

依圖對截面取右側管件作自由體圖，可得截面內力結果：

$$P=600\ \text{N}$$ $$T=(800)(0.25)=200\ \text{N}\cdot\text{m}$$ $$M_z=(600)(0.25)=150\ \text{N}\cdot\text{m}$$ $$M_y=(800-200)(0.25)-(600)(0.10) =90\ \text{N}\cdot\text{m}$$

此外，橫向剪力互相抵消：

$$V_y=V_z=0$$

因此，H、K 兩點的剪應力只需考慮扭轉剪應力。

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圓管截面性質

截面面積：

$$A=\pi(r_o^2-r_i^2) =\pi(22^2-20^2) =263.9\ \text{mm}^2$$

截面慣性矩：

$$I=\frac{\pi}{4}(r_o^4-r_i^4) =\frac{\pi}{4}(22^4-20^4) =5.832\times10^4\ \text{mm}^4$$

極慣性矩：

$$J=2I=1.1664\times10^5\ \text{mm}^4$$

計算時統一使用 $\text{N}$、$\text{mm}$：

$$M_z=150000\ \text{N}\cdot\text{mm}$$ $$M_y=90000\ \text{N}\cdot\text{mm}$$ $$T=200000\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

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(a) 點 H

H 點的軸力正應力為

$$\sigma_P=\frac{600}{263.9} =2.27\ \text{MPa}$$

H 點由 $M_z$ 造成的彎曲正應力為