114 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《流體力學》

核心觀念

本題考查流體靜力學中的**阿基米德原理（Archimedes' Principle）與浮力（Buoyant Force）**的物理本質。

浮力的定義為：當一物體完全或部分浸沒於靜止流體中時，流體作用於該物體表面各處之靜壓力合力，其方向垂直向上，且其大小等於物體所排開流體的重量。

浮力公式表達為：
$F_B = \rho_f \cdot g \cdot V_{\text{disp}}$

其中：

• $F_B$ 為浮力大小（$\text{N}$）
• $\rho_f$ 為流體的密度（$\text{kg/m}^3$）
• $g$ 為當地的重力加速度（$\text{m/s}^2$）
• $V_{\text{disp}}$ 為物體排開流體的體積（即物體浸沒在流體中的體積，$\text{m}^3$）

解題方法

根據題目要求，對於是非題需進行正誤判斷：若為錯誤敘述，必須於答案卷中將其訂正為正確敘述並說明原因。

1. 判斷正誤：分析浮力公式 $F_B = \rho_f \cdot g \cdot V_{\text{disp}}$ 的物理變數。
2. 找出錯誤關鍵：公式中決定浮力大小的因素包含「流體密度 $\rho_f$」、「重力加速度 $g$」以及「物體排開流體的體積 $V_{\text{disp}}$」，與物體本身的密度 $\rho_s$ 無關。
3. 訂正與原因說明：將題目敘述中的「物體的密度」修正為「流體的密度」或「物體排開流體的體積」，並補充流體靜壓力差導出浮力的物理本質。

選項（題目敘述）分析

• 原敘述：「物體浸沒於流體中所受的浮力大小與物體的密度有關。」
• 判斷結果：錯誤 (X)
• 原因說明：

【正確 / 錯誤判斷】：錯誤 (X)

核心觀念

本題考驗對於「流體連續性方程式（Continuity Equation）」與「不可壓縮流（Incompressible Flow）」條件的理解。
連續性方程式是質量守恆定律（Conservation of Mass）在流體力學中的數學表達式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0$

對於定常（Steady）且通過單一入口與單一出口的流道系統，質量守恆可簡化為質量流量（Mass Flow Rate, $\dot{m}$）守恆：
$\dot{m} = \rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2 = \text{常數}$

其中：

• $\rho$ 為流體密度（Density）
• $A$ 為管路截面積（Cross-sectional Area）
• $V$ 為截面上之平均流速（Average Velocity）

只有在**不可壓縮流體（Incompressible Flow, $\rho = \text{常數}$）**的前提下，體積流量（Volumetric Flow Rate, $Q$）才會守恆：
$Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 = \text{常數} \implies V_2 = V_1 \left(\frac{A_1}{A_2}\right)$

此時，若管徑減小（截面積 $A_2 < A_1$），流速 $V_2$ 才會必定增加。若流體為可壓縮流體（Compressible Flow）（如高壓或高速氣體），流速變化還須考慮密度的劇烈變化，甚至在超音速流動中，截面積縮小反而會使流速降低（如噴嘴效應）。

解題方法與訂正

1. 題目敘述瑕疵分析

題幹僅說明「根據連續性方程式，管流管徑減小時，流速會增加」，並未指定流體是否為「不可壓縮流體（$\rho = \text{常數}$）」。

• 若流體為不可壓縮（如水）：$\rho_1 = \rho_2 \implies A_1 V_1 = A_2 V_2$，管徑減小（$A_2 < A_1$）時，流速必定增加（$V_2 > V_1$）。
• 若流體為可壓縮（如超音速氣流）：質量流量 $\rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2$ 中，當管徑減小（$A_2 < A_1$）且流體為超音速（Mach number $Ma > 1$）時，密度與面積的變化會導致流速 $V$ 減小。

【判斷結果】：(X) 錯誤

核心觀念

本題考查**伯努利方程式（Bernoulli's Equation）**中沿流線（Along a Streamline）的能量守恆關係。

對於**不可壓縮（Incompressible）、無黏性/無摩擦（Inviscid）、穩態（Steady）且沿同一條流線（Along a streamline）**的流體運動，伯努利方程式可表示為：

或以水頭（Head）形式表示為：

其中：

• $P$ 為靜壓（Static Pressure）
• $\rho$ 為流體密度（Fluid Density）
• $V$ 為流體速度（Fluid Velocity）
• $\gamma = \rho g$ 為流體重度（Specific Weight）
• $z$ 為高程（Elevation）

在**高程變化可忽略（$z$ 為常數）**的情況下，能量守恆簡化為：

由上述關係可知，當流速 $V$ 增加時，動壓（Dynamic Pressure, $\frac{1}{2}\rho V^2$）會隨之增加；在總能量保持常數的的前提下，靜壓 $P$ 必須降低。

解題方法

1. 分析變數關係：透過高程不變（或同一水平面）的伯努利方程式 $P + \frac{1}{2}\rho V^2 = \text{Constant}$ 進行微分或代數分析。
2. 導數推導：對流速 $V$ 微分：

核心觀念

本題旨在考驗對「層流（Laminar Flow）」的速度分佈（Velocity Profile）與速度梯度（Velocity Gradient）特性的理解。

1. 層流定義與速度分佈：
   流體在層流狀態下，流線（Streamlines）相互平行且分層流動，層與層之間無劇烈的混流現象。速度分佈並非「均勻（Uniform）」，而是受邊界條件（如壁面無滑移條件 No-slip condition）與流體黏滯力（Viscosity）的影響，呈現非均勻分佈。例如：

   • 平板間的庫埃特流（Couette Flow）：速度分佈為線性（$u(y) = \frac{U}{h}y$）。
   • 圓管內的泊肅葉流（Hagen-Poiseuille Flow）或平行板間的壓力驅動流：速度分佈為拋物線（Parabolic Profile, $u(r) = U_{\max} \left[1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2\right]$）。

2. 速度梯度（Velocity Gradient）：
   速度梯度定義為剪切方向上的速度變化率 $\frac{du}{dy}$ 或 $\frac{du}{dr}$。

   • 若速度分佈為非線性（如圓管層流的拋物線分佈），其速度梯度與位置有關（$\frac{du}{dr} \propto r$），並非均勻分佈。
   • 壁面處速度梯度最大，管軸中心處速度梯度為零。

解題方法

1. 題目敘述檢驗：
   題目主張「在任何層流條件下，速度分佈是均勻的，速度梯度也是均勻分佈的」。
2. 尋找反例（Counterexample）：
   只要舉出常見的層流流場（例如圓管內全發展層流），說明其速度分佈為拋物線分佈、速度梯度隨半徑位置變化，即可證明該敘述為錯誤（X）。
3. 訂正與說明：
   依據題意要求，將錯誤敘述訂正為正確敘述，並說明黏性邊界效應與速度分佈非均勻之原因。

選項／敘述分析

【判斷結果】：X（錯誤）

核心觀念

本題考驗伯努利方程式（Bernoulli's Equation）的適用條件與限制。

伯努利方程式是流體力學中由動態平衡（Euler 方程式）沿流線積分推導出的能量守恆式，其成立的四大基本假設為：

1. 無黏性流體（Inviscid Flow）：忽略流體黏性力造成的剪應力與能量耗損（$\tau = 0$）。
2. 穩態流場（Steady Flow）：流場中任意位置的流體性質不隨時間改變（$\frac{\partial}{\partial t} = 0$）。
3. 不可壓縮流體（Incompressible Flow）：流體密度為常數（$\rho = \text{constant}$）。
4. 沿同一條流線（Along a Streamline）：若流場非無旋流（Irrotational），則該方程式僅適用於同一條流線上兩點之間的分析。

解題方法與訂正

• 切入點：比對題目敘述與伯努利方程式的四大適用條件。
• 錯誤分析：題目提及「適用於黏性流體」，這違反了伯努利方程式「無黏性流體（Inviscid）」的基礎假設。當流體具有黏性時，流體微元之間會產生剪應力與摩擦力，導致機械能轉化為熱能（即產生水頭損失 / 黏性耗耗 Loss），因此伯努利常數不再維持恆定。
• 正確訂正：
  伯努利方程式適用於無黏性流體（或可忽略黏性效應處）的穩態流動分析。若為黏性流體，則必須使用包含水頭損失項（Head Loss, $h_L$）的**修正型伯努利方程式（修正能量方程式）**進行分析。

選項分析

核心觀念

本題考查**雷諾數（Reynolds number, $Re$）的物理意義及其在流體力學中對流態轉變（Laminar-to-Turbulent Transition）**的影響。

雷諾數定義為「慣性力（Inertial force）」與「黏滯力（Viscous force）」的比值：
$Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu}$
其中：

• $\rho$ 為流體密度
• $V$ 為特徵流速
• $L$ 為特徵長度
• $\mu$ 為動力黏滯係數
• $\nu = \mu / \rho$ 為運動黏滯係數

在物理機制上：

• 黏滯力具有耗散與衰減擾動作用（Damping effect），能抑制微小擾動的增長，維持層流（Laminar flow）。
• 慣性力具有放大擾動的作用，當流動受到不穩定擾動時，慣性力會使擾動逐漸增幅。

當雷諾數越大，代表慣性力相對於黏滯力越佔主導地位，黏滯耗散不足以消散微小的流動擾動，使得流動極易失去穩定性（Flow instability），進而引發紊流（Turbulent flow）。

解題方法

1. 是非判斷：根據雷諾數的物理意義與臨界雷諾數（Critical Reynolds number, $Re_{cr}$）的概念，評估敘述「雷諾數越大，流動越容易進入湍流狀態」是否符合流體力學定理。
2. 訂正與原因說明：

正誤判斷：✕（錯誤）

訂正：當流體通過收縮管段時，流速增加而壓力減小（對於不可壓縮流或次音速可壓縮流）。

核心觀念

本題考查流體力學中的連續方程式（Continuity Equation）與白努利方程式（Bernoulli's Equation）（或動量守恆與能量守恆觀念）：

1. 質量守恆（連續方程式）：對於不可壓縮流體（Incompressible Flow, $\rho = \text{constant}$），通過管道截面積 $A$ 與平均流速 $V$ 的體積流量 $Q = A \times V$ 保持常數。當管段收縮（截面積 $A$ 減小）時，流速 $V$ 必然增加。
2. 能量守恆（白努利方程式）：在沿著流線（Streamline）、無黏滯性（Inviscid）、穩態（Steady）且不可壓縮的流動中，動能與壓力能可相互轉換：
   $P + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho gz = \text{constant}$
   在水平管段上（$z = \text{constant}$），流速 $V$ 增加會導致動能頭（Kinetic Head）上升，進而使靜壓 $P$ 下降（即 Venturi 效應）。

解題方法

1. 分析幾何與流體運動關係：
   根據一維不可壓縮穩態管流連續方程式：
   $A_1 V_1 = A_2 V_2$
   若管段為收縮管（Contraction Section），則 $A_2 < A_1$，可導出：
   $V_2 = V_1 \left(\frac{A_1}{A_2}\right) > V_1$
   即流體通過收縮管段時，流速必然增加。

2. 分析壓力與流速變化的關係：
   假設流動為水平、穩態、理想（無黏性）且不可壓縮流，應用白努利方程式比較收縮前（位置 1）與收縮後（位置 2）：
   $P_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2$

核心觀念

本題旨在考查可壓縮流體（Compressible Flow）與不可壓縮流體（Incompressible Flow）簡化判定條件。

對於可壓縮流體（如氣體），當流體流動時，其密度變化率與流速（Mach Number, $Ma$）直接相關。在連續介質力學與工程流體力學中，通常利用可壓縮性影響判定準則：
當馬赫數滿足 $Ma < 0.3$ 時，流體因為流動所引起的相對密度變化量小於 $5\%$（即 $\frac{\Delta \rho}{\rho_0} < 5\%$），此時在工程分析上可將其密度的變化忽略，將流場簡化為**不可壓縮流動（Incompressible Flow）**進行處理。

解題方法

1. 是非判斷：依據流體力學中馬赫數與密度變化率的理論推導，判定敘述之正確性。
2. 定量推導說明：
   • 假設氣體流動為等熵流動（Isentropic Flow），由一維可壓縮流體力學能量方程式與狀態方程式可推導出滯止密度 $\rho_0$ 與局部密度 $\rho$ 之關係：
     $\frac{\rho_0}{\rho} = \left( 1 + \frac{\gamma - 1}{2} Ma^2 \right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$
     其中 $\gamma$ 為比熱比（對空氣而言 $\gamma = 1.4$）。
   • 將上式進行泰勒展開（Taylor Series Expansion）：
     $\frac{\rho_0}{\rho} = 1 + \frac{1}{2} Ma^2 + \frac{2 - \gamma}{8} Ma^4 + \dots$
   • 計算相對密度變化率：

核心觀念

本題旨在考驗流體力學中**管路流動（Pipe Flow）內部能量損失（Energy Loss / Head Loss）**的分類與物理機制。

在實際的管路系統中，流體流動所產生的總水頭損失（Total Head Loss, $h_L$）主要可分為兩大類：

1. 主要阻力／損失（Major Loss, $h_f$）：由流體與管壁之間的黏滯摩擦力（Viscous Shear Stress）所引起，發生於整段管路的直線均勻流動區段。其水頭損失由 Darcy-Weisbach 方程式計算：
   $h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g}$
   其中 $f$ 為 Darcy 摩擦因子（Darcy Friction Factor），$L$ 為管長，$D$ 為管徑，$V$ 為平均流速，$g$ 為重力加速度。

2. 局部阻力／損失（Minor Loss, $h_m$）：由管路幾何形狀劇烈變化（如彎頭、閥門、擴管、縮管、進出口等）導致流體發生流離（Flow Separation）、形成渦流（Eddy / Circulation）並引起二次流所產生的動能散失。其水頭損失表示為：
   $h_m = K_L \cdot \frac{V^2}{2g}$
   其中 $K_L$ 為局部損失係數（Minor Loss Coefficient）。

總壓力損失（或總水頭損失）即為兩者之和：
$\Delta P_L = \gamma h_L = \gamma (h_f + h_m) = \left( f \frac{L}{D} + \sum K_L \right) \frac{\rho V^2}{2}$

解題方法

核心觀念

本題考查**流體靜壓力（Static Pressure, $p$）**的物理定義及其在流體力學與熱力學中的基本特性。

1. 靜壓力（Static Pressure, $p$）：指流體在隨流移動的微觀分子熱運動下，作用於隨流座標系（或法向無剪應力平面）上的熱力學壓力（Thermodynamics Pressure）。它是流體狀態的熱力學性質（State Function），決定於流體的密度與溫度（如理想氣體狀態方程式 $p = \rho R T$），與流體的宏觀運動速度 $\mathbf{V}$ 無關。
2. 動壓力（Dynamic Pressure, $p_d$）：定義為 $p_d = \frac{1}{2} \rho V^2$，代表流體因宏觀平移運動所具備的單位體積動能，此項才直接與流體運動速度 $V$ 相關。
3. 總壓力（Total/Stagnation Pressure, $p_0$）：根據伯努利方程式（Bernoulli's Equation），總壓為靜壓與動壓之和（$p_0 = p + \frac{1}{2} \rho V^2$）。當流體運動速度變化時，靜壓與動壓會相互轉換，但「靜壓力」本身的定義與當下點的物理本質仍屬於熱力學狀態量，非由速度決定。

解題方法

本題為是非正誤與訂正題，切入點為區分**靜壓力（Static Pressure）與動壓力（Dynamic Pressure）/ 總壓力（Stagnation Pressure）**的物理意義。

• 判斷該敘述是否正確。
• 若正確，說明其熱力學與流體力學基礎；若錯誤，指出錯誤之處並給出正確訂正與物理原因。

選項分析與正誤訂正

• 正誤判斷：正純（O）

核心觀念

本題考驗流體力學（Fluid Mechanics）對「流體基本屬性（Fundamental Fluid Properties）」的定義與範疇。

流體的基本屬性（亦稱熱力學與物理屬性）包含：

• 密度（Density, $\rho$）：單位體積的質量。
• 黏性／黏度（Viscosity, $\mu$ 或 $\nu$）：流體抵抗剪切應變率或剪應力的性質。
• 壓縮性與彈性模數（Compressibility & Bulk Modulus of Elasticity, $K$ 或 $E_v$）：體積模數，用以衡量流體因壓力變化而引起的體積或密度變化程度。
• 比熱容（Specific Heat Capacity, $c_p, c_v$）：流體在等壓或等容過程中，單位質量升高單位溫度所需吸收的熱量。
• 表面張力（Surface Tension, $\sigma$）：兩相介面（如氣液介面）分子間不平衡吸引力所導致的張力現象。

因此，黏性、密度、比熱容、彈性模數皆屬於描述流體狀態與物理特性的重要基本屬性。

解題方法

1. 題目型態分析：本題為「是非題」，且題目要求「錯誤的敘述需訂正並說明原因」。
2. 審題重點：逐一檢視題幹中提到的四項屬性（黏性、密度、比熱容、彈性模數）是否均屬於流體的基本屬性（Fluid Properties）。
3. 判斷與敘述：
   • 密度（Mass Density）：流體最基本之熱力學與力學屬性。
   • 黏性（Viscosity）：區分流體與固體、理想流體與真實流體之核心屬性。
   • 比熱容（Specific Heat）：流體熱力學與可壓縮流體能量傳導、熱傳之重要屬性。

核心觀念

本題考查**不可壓縮流體（Incompressible fluid）在水平管路（Horizontal pipe）中無摩擦/理想流動狀況下的白努利方程式（Bernoulli's Equation）**應用。

白努利方程式在無摩擦、沿流線、定常（Steady）、不可壓縮流動的條件下，表達沿流線總機械能守恆：
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2$

解題方法

1. 設定物理條件與假設：

   • 水平管段：入口與出口的高程相同，即 $z_1 = z_2$（或 $h_1 = h_2$）。
   • 不可壓縮流體：密度 $\rho$ 為常數。
   • 忽略黏滯力與能量損失（理想流體動能與壓力能之轉換）。

2. 代入白努利方程式進行推導：
   因為管段為水平放置（$z_1 = z_2$），高程頭（Elevation head）相互抵銷：
   $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

3. 求解壓力差 $\Delta P$：
   將壓力項與動能項分別移項整理：
   $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 - \frac{1}{2}\rho v_1^2 = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

選項分析

核心觀念

本題考查流體靜力學（Fluid Statics）中的阿基米德原理（Archimedes' Principle）。

1. 阿基米德原理內容：任何浸沒（完全浸沒或部分浸沒）於靜止流體中的物體，所受到的浮力（Buoyant force, $F_b$）大小等於該物體排開流體的重量（Weight of the displaced fluid）。
2. 浮力計算公式：
   $F_b = \rho_{\text{fluid}} \cdot g \cdot V_{\text{submerged}}$
   其中：
   • $\rho_{\text{fluid}}$ 為流體密度（$\text{kg/m}^3$）
   • $g$ 為重力加速度（$\text{m/s}^2$）
   • $V_{\text{submerged}}$ 為物體排開流體的體積（即浸沒於流體中的體積，$\text{m}^3$）

觀念陷阱提示：浮力的大小只與「排開流體的體積」及「流體密度」有關，與「物體自身的密度或重量」無關。題目給予球體的密度 $\rho_{\text{body}} = 500\text{ kg/m}^3$，屬於干擾資訊，計算浮力時切勿套用物體密度。

解題方法與推導過程

步驟一：計算球體體積 $V$

題目給定球體半徑 $r = 0.1\text{ m}$，且球體「完全浸沒」於水中，故排開水的體積等於球體總體積：
$V_{\text{submerged}} = V = \frac{4}{3} \pi r^3$

代入數值：
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (0.1)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.001 = \frac{0.004\pi}{3} \text{ m}^3$

取 $\pi \approx 3.14159$：
$V \approx \frac{0.004 \times 3.14159}{3} \approx 0.0041888 \text{ m}^3$

步驟二：計算浮力 $F_b$

將流體密度 $\rho_{\text{fluid}} = 1000\text{ kg/m}^3$、重力加速度 $g = 9.81\text{ m/s}^2$ 及球體體積 $V$ 代入浮力公式：

核心觀念

本題考查流體力學中的控制體積法（Control Volume Approach）與動量方程式（Momentum Equation）。

1. 動量方程式（Momentum Principle）：
   根據雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, RTT）推導出的穩態一維動量方程式：
   $\sum \mathbf{F} = \dot{m} (\mathbf{V}_{out} - \mathbf{V}_{in})$
   其中 $\sum \mathbf{F}$ 為作用於控制體積上的外力總合（包含控制體積邊界受到的壓力、管壁施加的反作用力與重力），$\dot{m}$ 為質量流率（Mass Flow Rate），$\mathbf{V}_{in}$ 與 $\mathbf{V}_{out}$ 分別為入口與出口處的流速向量。

2. 質量流率（Mass Flow Rate）：
   $\dot{m} = \rho A V$
   其中 $\rho$ 為流體密度（水的標準密度一般取 $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$），$A$ 為流道截面積，$V$ 為流體平均速度。

3. 牛頓第三運動定律（第三定律）：
   流體對噴嘴的作用力（推力）與噴嘴對流體施加的固定力（錨定力/固定力）大小相等、方向相反。

解題方法與完整推導

步驟一：設定控制體積與已知條件

• 流體：水，密度 $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$
• 出口射速 $V = 20\text{ m/s}$
• 噴嘴出口截面積 $A = 0.01\text{ m}^2$
• 假設流動為穩態（Steady Flow）、不可壓縮流（Incompressible Flow），且射出大氣後在大氣壓下運作（即出口計示壓力 Gauge Pressure $P_{exit} = 0\text{ Pa}$）。

取噴嘴內流體至出口處截面為控制體積（Control Volume, CV），設流動方向為 $+x$ 方向。

步驟二：計算質量流率 $\dot{m}$
$\dot{m} = \rho A V = 1000\text{ kg/m}^3 \times 0.01\text{ m}^2 \times 20\text{ m/s} = 200\text{ kg/s}$

核心觀念

本題考驗管內流動（Pipe Flow）中雷諾數（Reynolds Number, $Re$）的計算與流況判斷（Flow Regime Determination）。

雷諾數是流體力學中最重要的無因次參數之一，代表流動中「慣性力（Inertial force）」與「黏滯力（Viscous force）」的比值，其定義式為：

其中：

• $\rho$ 為流體密度（$\text{kg/m}^3$）
• $V$ 為平均流速（$\text{m/s}$）
• $D$ 為圓管內徑（$\text{m}$）
• $\mu$ 為流體動力黏度（$\text{Pa}\cdot\text{s}$ 或 $\text{kg/(m}\cdot\text{s)}$）
• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為流體運動黏度（$\text{m}^2/\text{s}$）

對於圓管內流動（Internal Pipe Flow），判定流況的臨限值（Critical Values）標準如下：

1. 層流（Laminar Flow）：$Re \le 2300$
2. 過渡流（Transient/Transition Flow）：$2300 < Re < 4000$
3. 湍流 / 亂流（Turbulent Flow）：$Re \ge 4000$

解題方法

步驟一：整理題目已知條件與單位

• 平均流速 $V = 4\text{ m/s}$
• 圓管直徑 $D = 0.1\text{ m}$
• 水的密度 $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$
• 水的動力黏度 $\mu = 1.0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} = 1.0 \times 10^{-3}\text{ kg/(m}\cdot\text{s)}$

步驟二：帶入公式計算雷諾數 $Re$

核心觀念

本題為流體力學中非常經典的**不可壓縮流體在一維管道中的連續方程式與伯努利方程式（Bernoulli's Equation）**綜合應用題。

1. 連續方程式（Continuity Equation / 質量守恆）：
   對於不可壓縮流體（密度 $\rho = \text{constant}$），通過封閉管道任一截面的體積流量 $Q$ 保持不變：
   $Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$
   其中 $A$ 為管道截面積，$V$ 為截面平均流速。對於圓形管道，$A = \frac{\pi}{4} D^2$。

2. 伯努利方程式（Bernoulli's Equation / 能量守恆）：
   在**無黏性（Inviscid）、不可壓縮（Incompressible）、穩態（Steady）、沿流線（Along a Streamline）**的條件下，流體的能量守恆式為：
   $p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 + \gamma z_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 + \gamma z_2$
   若管道為水平放置（即無高程差，$z_1 = z_2$），則簡化為：
   $p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2$
   壓力變化量（小管段壓力減去大管段壓力 $\Delta p = p_2 - p_1$）為：
   $\Delta p = p_2 - p_1 = \frac{1}{2}\rho (V_1^2 - V_2^2)$

解題方法

已知條件：

• 前段（大管）直徑 $D_1 = 0.05\text{ m}$
• 前段（大管）流速 $V_1 = 10\text{ m/s}$
• 後段（小管）直徑 $D_2 = 0.02\text{ m}$
• 水的密度 $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$

步驟一：求小管段流速 $V_2$

利用不可壓縮流體之連續方程式：
$A_1 V_1 = A_2 V_2$

將圓面積公式帶入：
$\left(\frac{\pi}{4} D_1^2\right) V_1 = \left(\frac{\pi}{4} D_2^2\right) V_2$

兩邊消去 $\frac{\pi}{4}$ 後移項整理：
$V_2 = V_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2$

帶入已知數值：

核心觀念

本題考查圓柱繞流的理想勢流速度分布與伯努力方程式。

對均勻流速為 $U$ 的無旋、不可壓縮二維流，圓柱表面距離前方停滯點的角度為 $\theta$ 時，表面切線速度為

孔洞 1 位於前方停滯點，因此

且孔洞 2、3 關於水平中心線對稱，所以旋轉至 $p_2-p_3=0$ 時，兩孔位置必須對稱於停滯點所在的中心線。

解題方法

孔洞 1 為停滯點，孔洞 2 的速度為

由孔洞 1 與孔洞 2 位於同一圓柱表面，且高度相同，可用伯努力方程式：

代入 $V_1=0$ 與 $V_2=2U\sin\theta$：

因此

題目另給

核心觀念

本題為經典的二維不可壓縮流場分析題目，涵蓋以下四大核心觀念與公式：

1. 不可壓縮流之連續方程式 (Continuity Equation for Incompressible Flow)：
   對於二維平面流場，不可壓縮條件要求質量守恆滿足：
   $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
   其中 $u$ 為 $x$ 方向速度分量，$v$ 為 $y$ 方向速度分量。

2. 質點加速度 (Fluid Acceleration)：
   流體質點在歐拉敘述下的總加速度 $\mathbf{a} = a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j}$ 包含對時間的偏微分（局域加速度，本題為穩定流故為 0）與空間對流項（對流加速度）：
   $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
   $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$

3. 流線方程式 (Streamline Differential Equation)：
   流線上的切線方向與速度向量方向平行，其微分方程為：
   $\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}$

4. 曲率半徑 (Radius of Curvature, $R$)：
   質點在軌跡/流線上運動時，其垂直於流線方向的法向加速度（向心加速度）$a_n$ 與速度純量 $V$ 及曲率半徑 $R$ 的關係為：
   $a_n = \frac{V^2}{R} \implies R = \frac{V^2}{a_n}$
   其中法向加速度可利用速度向量 $\mathbf{V}$ 與總加速度向量 $\mathbf{a}$ 的外積大小計算：
   $a_n = \frac{|\mathbf{V} \times \mathbf{a}|}{|\mathbf{V}|}$
   因此曲率半徑公式亦可表示為：
   $R = \frac{|\mathbf{V}|^3}{|\mathbf{V} \times \mathbf{a}|}$

解題方法與推導步驟

步驟一：求 $x$ 方向速度分量 $u(x, y)$

已知 $v = -Axy$，且流場為二維不可壓縮流（$\partial / \partial z = 0$ 且無時間變異 $\partial / \partial t = 0$）。
帶入二維不可壓縮連續方程式：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

將 $v = -Axy$ 對 $y$ 偏微分：
$\frac{\partial v}{\partial y} = -Ax$

代入連續方程式得：
$\frac{\partial u}{\partial x} - Ax = 0 \implies \frac{\partial u}{\partial x} = Ax$

將其對 $x$ 積分：
$u(x, y) = \int Ax \, dx = \frac{1}{2}Ax^2 + f(y)$

題目要求「假設 $x$ 方向速度分量為最簡形式 (Assume the simplest form)」，故取積分常數/函數 $f(y) = 0$。
得速度分量 $u$ 為：
$u = \frac{1}{2}Ax^2$

代入已知參數 $A = 1\text{ m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$：
$u = \frac{1}{2} x^2, \quad v = -xy$

步驟二：計算點 $(x, y) = (1, 2)$ 處的速度向量與加速度向量

1. 速度向量 $\mathbf{V}$：
   在 $(1, 2)$ 處：
   $u = \frac{1}{2}(1)^2 = 0.5\text{ m/s}$
   $v = -(1)(2) = -2\text{ m/s}$
   因此，速度向量為：
   $\mathbf{V} = 0.5\mathbf{i} - 2\mathbf{j}\text{ (m/s)}$
   速度大小（純量）為：
   $V = |\mathbf{V}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0.25 + 4} = \sqrt{4.25}\text{ m/s} \approx 2.0616\text{ m/s}$

2. 加速度向量 $\mathbf{a}$：

   • $x$ 方向加速度：
     $a_x = u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}$
     其中 $\frac{\partial u}{\partial x} = Ax = x$，$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。
     $a_x = \left(\frac{1}{2}x^2\right)(x) + (-xy)(0) = \frac{1}{2}x^3$
     在 $(1, 2)$ 處：
     $a_x = \frac{1}{2}(1)^3 = 0.5\text{ m/s}^2$

   • $y$ 方向加速度：
     $a_y = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}$
     其中 $\frac{\partial v}{\partial x} = -Ay = -y$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -Ax = -x$。
     $a_y = \left(\frac{1}{2}x^2\right)(-y) + (-xy)(-x) = -\frac{1}{2}x^2 y + x^2 y = \frac{1}{2}x^2 y$
     在 $(1, 2)$ 處：
     $a_y = \frac{1}{2}(1)^2(2) = 1\text{ m/s}^2$

   因此，點 $(1, 2)$ 處的加速度向量為：
   $\mathbf{a} = 0.5\mathbf{i} + 1\mathbf{j}\text{ (m/s}^2\text{)}$
   加速度大小為：