115 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查理想流體（Inviscid, Incompressible, Irrotational flow）之勢流疊加理論（Potential Flow Superposition）與圓柱繞流（Flow Past a Cylinder with Circulation）：

1. 流線函數（Stream Function, $\psi$ 或題目的符號 $\varphi$）與極座標速度場定義：
   $v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}, \quad v_\theta = -\frac{\partial \varphi}{\partial r}$
2. 圓柱不穿透邊界條件（No-penetration Boundary Condition）：
   在圓柱表面 $r = a$ 處，徑向速度必為零（$v_r(a, \theta) = 0$），或等價於圓柱表面為一條等流線（$\varphi = \text{const}$）。由此可求出偶極強度（Doublet strength）$m$ 與均勻流速 $V_0$、圓柱半徑 $a$ 之間的關係。
3. 白努力方程式（Bernoulli's Equation）與表面壓力積分：
   理想非黏性定常流動中，物體表面壓力分佈由白努力方程式求得，再透過對角度 $\theta$ 的環向積分，求出作用於圓柱上的阻力（Drag, $D$）與升力（Lift, $L$）。亦可直接引用氣動力學經典的**庫塔-儒可夫斯基定理（Kutta-Joukowski Theorem）**進行驗證。

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解題方法與詳細推導

題目給定具環流量之二維圓柱繞流的流線函數為：
$\varphi = V_0 r\sin\theta - \frac{m}{2\pi}\frac{\sin\theta}{r} + \frac{\Gamma}{2\pi}\ln r$

(a) 求 $m$ 的表達式

由極座標流線函數之定義，徑向流速 $v_r$ 為：
$v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \left( V_0 r\cos\theta - \frac{m}{2\pi r}\cos\theta \right) = \left( V_0 - \frac{m}{2\pi r^2} \right)\cos\theta$

設圓柱之半徑為 $a$。圓柱表面滿足不穿透之固壁運動邊界條件，即當 $r = a$ 時，徑向速度為零：
$v_r(a, \theta) = 0$

代入得：
$\left( V_0 - \frac{m}{2\pi a^2} \right)\cos\theta = 0$

此式對所有方位角 $\theta$ 皆必須成立，故：
$V_0 - \frac{m}{2\pi a^2} = 0$

解得偶極強度 $m$ 為：
$m = 2\pi V_0 a^2$

將 $m$ 帶回原流線函數，可整理為熟悉的標準形式：
$\varphi = V_0 \left( r - \frac{a^2}{r} \right)\sin\theta + \frac{\Gamma}{2\pi}\ln r$

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(b) 計算圓柱所受之升力（Lift）與阻力（Drag）

步驟 1：求圓柱表面的流速分佈

圓周切向速度分佈 $v_\theta$ 為：
$v_\theta = -\frac{\partial \varphi}{\partial r} = -V_0\sin\theta - \frac{m}{2\pi r^2}\sin\theta - \frac{\Gamma}{2\pi r}$

代入 $m = 2\pi V_0 a^2$，在圓柱表面 $r = a$ 處：
$v_\theta(a, \theta) = -V_0\sin\theta - V_0\sin\theta - \frac{\Gamma}{2\pi a} = -2V_0\sin\theta - \frac{\Gamma}{2\pi a}$

因為表面 $v_r = 0$，故圓柱表面的總流速即為切向流速：
$V_s^2 = v_\theta^2 = \left( 2V_0\sin\theta + \frac{\Gamma}{2\pi a} \right)^2 = 4V_0^2\sin^2\theta + \frac{2V_0\Gamma}{\pi a}\sin\theta + \left(\frac{\Gamma}{2\pi a}\right)^2$

步驟 2：由白努力方程式求表面壓力分佈

設遠處來流壓力為 $p_\infty$、流速為 $V_0$、流體密度為 $\rho$。由白努力方程式：
$p + \frac{1}{2}\rho V_s^2 = p_\infty + \frac{1}{2}\rho V_0^2$

核心觀念

本題考核二維不可壓縮、非旋流場（Potential Flow）的基本定義與流線函數、速度位能函數之關聯：

1. 流線函數（Stream Function, $\psi$ 或題目的 $\varphi$）之速度定義：
   在平面直角坐標系中，由連續方程式自動滿足所定義之速度分量為：

   $$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

   (註：題目雖使用符號 $\varphi$ 代表流線函數，但其本質為 Stream Function，切勿與一般的速度位能符號搞混。)

2. 速度位能函數（Velocity Potential, $\phi$）之速度定義：
   對於非旋流動（Irrotational Flow），速度場可表為位能函數的梯度（$\vec{V} = \nabla \phi$）：

   $$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$$

3. 柯西—黎曼方程式（Cauchy-Riemann Equations）之對應：
   將上述兩組定義聯立：

   $$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

   這正是複變函數理論中複位能 $W(z) = \phi + i\psi$（解析函數）滿足的 Cauchy-Riemann 條件。

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解題方法

題目給定之流線函數：

$$\psi(x, y) = x^3 - 3x^2 - 3xy^2 + 3y^2$$

(a) 計算點 $(1, 1)$ 之速度 $\vec{V}$

1. 求速度分量的一般式：

   • 對 $y$ 偏微分求 $u(x, y)$： $$u = \frac{\partial \psi}{\partial y} = -6xy + 6y$$
   • 對 $x$ 偏微分求 $v(x, y)$： $$v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -\left(3x^2 - 6x - 3y^2\right) = -3x^2 + 6x + 3y^2$$

2. 代入點 $(x, y) = (1, 1)$：

   • $x$ 方向速度分量： $$u(1, 1) = -6(1)(1) + 6(1) = 0$$
   • $y$ 方向速度分量： $$v(1, 1) = -3(1)^2 + 6(1) + 3(1)^2 = -3 + 6 + 3 = 6$$

3. 合速度向量與大小：

   • 速度向量： $$\vec{V}(1, 1) = 0\hat{i} + 6\hat{j} = 6\hat{j}$$
   • 速度大小： $$|\vec{V}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$$

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(b) 求對應之速度位能函數 $\phi(x, y)$

利用位能函數與速度分量的偏微分關係求解：

核心觀念

本題考查**平板層流邊界層（Laminar Boundary Layer）的動量積分方程式（Von Kármán Momentum Integral Equation）**及其應用。核心觀念包含：

1. 控制容積動量守恆：題目所給之公式：
   $\int_0^x \tau_w dx = u_0 \int_0^\delta \rho u dy - \int_0^\delta \rho u^2 dy$
   即為無壓力梯度（Zero Pressure Gradient, $dp/dx = 0$）下，自平板前緣 $x=0$ 積分至 $x$ 處的邊界層動量積分關係式。
2. 牛頓黏滯定律（Newton's Law of Viscosity）：壁面剪應力 $\tau_w$ 由壁面處速度梯度決定：
   $\tau_w = \left. \mu \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{y=0}$
3. 邊界層厚度增長：透過將給定的速度分佈代入動量積分式中，可求得邊界層厚度 $\delta(x)$ 與流動距離 $x$ 及局部雷諾數 $Re_x$ 的無因次關係式 $\frac{\delta}{x}$。

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解題方法

步驟一：計算右式動量積分（動量厚度 $\theta$）

設無因次垂直座標為 $\eta = \frac{y}{\delta}$，則 $dy = \delta d\eta$。給定速度分佈為：
$\frac{u}{u_0} = \frac{4}{3}\eta - \frac{1}{3}\eta^3$

右式積分可整理為：
$u_0 \int_0^\delta \rho u dy - \int_0^\delta \rho u^2 dy = \rho u_0^2 \int_0^\delta \frac{u}{u_0}\left( 1 - \frac{u}{u_0} \right) dy = \rho u_0^2 \delta \int_0^1 \left[ \frac{u}{u_0} - \left(\frac{u}{u_0}\right)^2 \right] d\eta$

分別計算兩項積分：

1. 第一項：
   $\int_0^1 \frac{u}{u_0} d\eta = \int_0^1 \left( \frac{4}{3}\eta - \frac{1}{3}\eta^3 \right) d\eta = \left[ \frac{2}{3}\eta^2 - \frac{1}{12}\eta^4 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$

2. 第二項：
   $\left(\frac{u}{u_0}\right)^2 = \left( \frac{4}{3}\eta - \frac{1}{3}\eta^3 \right)^2 = \frac{16}{9}\eta^2 - \frac{8}{9}\eta^4 + \frac{1}{9}\eta^6$
   $\int_0^1 \left(\frac{u}{u_0}\right)^2 d\eta = \left[ \frac{16}{27}\eta^3 - \frac{8}{45}\eta^5 + \frac{1}{63}\eta^7 \right]_0^1 = \frac{16}{27} - \frac{8}{45} + \frac{1}{63}$
   取公分母 $945$：
   $\frac{16 \times 35 - 8 \times 21 + 1 \times 15}{945} = \frac{560 - 168 + 15}{945} = \frac{407}{945}$

將兩項相減：
$\int_0^1 \left[ \frac{u}{u_0} - \left(\frac{u}{u_0}\right)^2 \right] d\eta = \frac{7}{12} - \frac{407}{945} = \frac{2205 - 1628}{3780} = \frac{577}{3780}$

因此，原式右側為：
$u_0 \int_0^\delta \rho u dy - \int_0^\delta \rho u^2 dy = \frac{577}{3780}\rho u_0^2 \delta$

步驟二：求壁面剪應力 $\tau_w$

根據流體黏性定律，壁面剪應力為：

核心觀念

本題評量非黏性（無黏性）、不可壓縮流體在水平收縮管（Contraction）中的流動特性，主要結合以下兩大核心流體力學定律：

1. 不可壓縮連續方程式（Continuity Equation）：
   流體為水，視為密度 $\rho$ 為常數之不可壓縮流體。依質量守恆，截面積與平均流速成反比： $$A_1 V_1 = A_2 V_2$$
2. 柏努利方程式（Bernoulli's Equation）：
   對於穩態（steady）、不可壓縮（incompressible）、非黏性（inviscid）、無摩擦損失且沿水平流線（$z_1 = z_2$）的流動，流體之總水頭維持守恆： $$p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2$$

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解題方法

1. 已知條件整理

• 上游靜壓：$p_1 = 120\text{ kPa} = 1.2 \times 10^5\text{ Pa}$
• 水密度：$\rho = 1000\text{ kg/m}^3$
• 出口靜壓下降 $20\%$： $$p_1 - p_2 = 0.20 \times p_1 = 0.20 \times 120\text{ kPa} = 24\text{ kPa} = 2.4 \times 10^4\text{ Pa}$$ （出口靜壓 $p_2 = 0.80\,p_1 = 96\text{ kPa}$）
• 出口面積為上游之一半：$A_2 = \frac{1}{2}A_1$

2. 連續方程式推導流速關係

由連續方程式可求得上游流速 $V_1$ 與出口流速 $V_2$ 之關係：

$$V_1 = \left(\frac{A_2}{A_1}\right) V_2 = \frac{1}{2}V_2$$

核心觀念

本題屬於非慣性控制體積（Accelerating Control Volume）之動量方程式或**可變質量系統推進力（Rocket Propulsion Equation）**的典型應用。

1. 雷諾轉換定理（RTT）之線性動量方程式：
   對一平移加速之控制體積（Control Volume, CV），其一維水平方向的動量方程式為：

   $$\sum F_{x} - \int_{\text{CV}} a_{\text{rf}, x} \rho \, dV = \frac{\partial}{\partial t} \int_{\text{CV}} u_{\text{xyz}} \rho \, dV + \int_{\text{CS}} u_{\text{xyz}} \rho (\vec{V}_{\text{xyz}} \cdot \hat{n}) \, dA$$

   其中 $a_{\text{rf}, x} = \frac{du_c}{dt}$ 為控制體積相對於地面的加速度，$u_{\text{xyz}}$ 為流體相對於控制體積的水平速度。

2. 火箭推進方程形式（推進推力 Thrust）：
   若直接將推車與內部剩餘流體視為系統，噴嘴向後噴出流體產生之反作用推力（Thrust, $T$）為：

   $$T = \dot{m} V_{\text{rel}}$$

   由牛頓第二運動定律，推車所受合力即為此推力：

   $$M \frac{du_c}{dt} = \dot{m} V_{\text{rel}}$$

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解題方法

1. 座標與控制體積設定

• 設向右（推車行進方向）為正 $x$ 軸。
• 選取包覆整輛推車（含水箱及噴嘴）之控制體積（CV），此 CV 與推車同步向右加速運動。
• 由於忽略摩擦力與空氣阻力，且噴嘴出口噴入大氣環境（無淨外加壓力差），外力合力： $$\sum F_x = 0$$

2. 控制體積動量方程式推導

噴嘴相對於推車向後（負 $x$ 方向）噴水，故水相對於 CV 之流出速度：

$$u_{\text{rel}} = -V_{\text{rel}} = -30\text{ m/s}$$

動量流出項為：

$$\int_{\text{CS}} u_{\text{xyz}} \rho (\vec{V}_{\text{xyz}} \cdot \hat{n}) \, dA = u_{\text{rel}} \dot{m} = (-V_{\text{rel}}) \dot{m}$$

控制體積內流體相對速度隨時間的變化極小，非定常相對動量項 $\frac{\partial}{\partial t}\int_{\text{CV}} u_{\text{xyz}} \rho \, dV \approx 0$。