111 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班甲組《流體力學》

此題考驗牛頓第二運動定律在非慣性參考座標系下的應用，以及靜力學平衡概念。

解題思路：

1. 建立一個跟隨U型管一起加速的非慣性參考座標系。
2. 在此參考座標系下，考慮液體中的一點，分析其受力。除了重力、壓力梯度力外，還需考慮慣性力（或稱假想力）。
3. 在穩態（加速度恆定）下，液體表面會達到一個靜止狀態，此時作用在液體表面的合力方向應垂直於液面。
4. 利用此條件推導液面差 $h$ 與加速度 $a$ 的關係。

詳細步驟：
假設U型管以水平加速度 $\vec{a}$ 在x方向加速，如圖所示。我們建立一個隨U型管一起加速的非慣性參考座標系。在這個座標系中，作用在單位質量流體上的力包括：

• 重力：$-g\hat{j}$
• 假想力（慣性力）：$- \vec{a} = -a\hat{i}$ （因為加速度是水平的，方向指向右）
• 壓力梯度力：$-\frac{1}{\rho}\nabla p$

在非慣性參考座標系中，流體表面達到平衡時，壓力梯度力必須抵銷重力與假想力的合力。也就是說，合力 $\vec{F}_{net} = -g\hat{j} - a\hat{i}$ 必須與液面法向量平行。

考慮U型管中的液體，其表面上的壓力處處相等（假設為大氣壓）。在液體表面上，壓力梯度 $\nabla p$ 的方向必須垂直於表面。因此，液面的法向量 $\vec{n}$ 的方向必須與合力 $\vec{F}_{net}$ 的方向相同（或相反）。

令液面與水平方向的夾角為 $\theta$。則合力向量 $\vec{F}_{net}$ 的方向與水平方向的夾角也是 $\theta$。
合力向量 $\vec{F}_{net} = -a\hat{i} - g\hat{j}$。
其水平分量為 $-a$，垂直分量為 $-g$。
液面的坡度 $\frac{dh_{left}}{dx}$ 或 $\frac{dh_{right}}{dx}$ 在此情況下可以視為 $\tan\theta$。
從力的向量圖來看，合力向量指向左下方（假設a向右）。
則 $\tan\theta = \frac{\text{垂直分量}}{\text{水平分量}} = \frac{g}{a}$。

核心觀念

本題考查圓環管內的層流速度分佈，需使用：

• 體積流率
  $Q=\int_A u\,dA=2\pi\int_{R_i}^{R_o}u(r)\,r\,dr$
• 平均速度
  $\bar{u}=\frac{Q}{A},\qquad A=\pi(R_o^2-R_i^2)$
• 最大速度由
  $\frac{du}{dr}=0$
  求得。

由原卷公式及圓環管壁面無滑移條件，對數項應解讀為 $\ln(R_o/r)$，因此速度分佈為

$$u(r)=\frac{V_p/L}{4\mu} \left[ R_o^2-r^2-\frac{R_o^2-R_i^2}{\ln(R_o/R_i)} \ln\left(\frac{R_o}{r}\right) \right].$$

這樣在 $r=R_i$ 與 $r=R_o$ 時皆有 $u=0$。

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解題方法

已知

$$\frac{V_p}{L}=-10\ \mathrm{kPa/m}=-1.0\times10^4\ \mathrm{Pa/m},$$ $$\mu=0.1\ \mathrm{N\,s/m^2},\qquad R_o=5\times10^{-3}\ \mathrm{m},\qquad R_i=1\times10^{-3}\ \mathrm{m}.$$

令

$$D=R_o^2-R_i^2,\qquad H=\ln\left(\frac{R_o}{R_i}\right).$$

則

$$D=(5\times10^{-3})^2-(1\times10^{-3})^2 =2.4\times10^{-5}\ \mathrm{m^2},$$ $$H=\ln 5=1.6094.$$

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體積流率

將速度分佈積分：

$$Q=2\pi\int_{R_i}^{R_o}u(r)\,r\,dr.$$

圓環管層流的積分結果為

$$Q= -\frac{\pi}{8\mu}\frac{V_p}{L} \left[ R_o^4-R_i^4- \frac{(R_o^2-R_i^2)^2} {\ln(R_o/R_i)} \right].$$

其中

$$R_o^4-R_i^4 =6.24\times10^{-10}\ \mathrm{m^4},$$ $$\frac{D^2}{H} = \frac{(2.4\times10^{-5})^2}{1.6094} =3.579\times10^{-10}\ \mathrm{m^4}.$$

因此

$$Q= -\frac{\pi}{8(0.1)}(-1.0\times10^4) (2.661\times10^{-10}),$$ $$\boxed{Q=1.045\times10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}}.$$

流動方向為壓力降低方向；若以題目座標的正方向定義速度，則代數值可呈現負號。

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平均速度

流通截面積為

$$A=\pi(R_o^2-R_i^2) =\pi(2.4\times10^{-5}) =7.540\times10^{-5}\ \mathrm{m^2}.$$

所以

$$\bar{u}=\frac{Q}{A} =\frac{1.045\times10^{-5}} {7.540\times10^{-5}},$$ $$\boxed{\bar{u}=0.1386\ \mathrm{m/s}}.$$

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最大速度

核心觀念

本題考查非定常一維流動的流體微團加速度：

$$\boldsymbol{a}=\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t} +(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V}$$

對於噴嘴內的中心線流動，速度僅沿 $x$ 方向，因此

$$a_x=\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x}$$

其中第一項是局部加速度，第二項是對流加速度。

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解題方法

入口截面為 $x=0$，其面積為 $A_0$，入口速度為

$$U(t)=U_0\left(0.5+0.5\cos\omega t\right) =\frac{U_0}{2}(1+\cos\omega t)$$

因流體不可壓縮，體積流率沿噴嘴保持不變：

$$Q(t)=A_0U(t)$$

噴嘴任意位置的面積為

$$A(x)=A_0(1-bx)$$

因此中心線速度為

$$u(x,t)=\frac{Q(t)}{A(x)} =\frac{U(t)}{1-bx}$$

令

$$g(x)=1-bx$$

則

$$u(x,t)=\frac{U(t)}{g(x)}$$

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加速度推導

時間微分項為

$$\frac{\partial u}{\partial t} =\frac{1}{g(x)}\frac{dU}{dt}$$

而

$$\frac{dU}{dt} =-\frac{U_0\omega}{2}\sin\omega t$$

空間微分項為

$$\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{bU(t)}{[1-bx]^2}$$

所以對流加速度為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{bU^2(t)}{[1-bx]^3}$$

因此中心線上的流體微團加速度為

$$a_x(x,t) = -\frac{U_0\omega}{2} \frac{\sin\omega t}{1-bx} + \frac{bU^2(t)}{(1-bx)^3}$$

代入

$$U_0=5\ {\rm m/s},\qquad \omega=0.16\ {\rm rad/s},\qquad b=0.1\ {\rm m^{-1}}$$

且

$$U(t)=2.5(1+\cos0.16t)$$

得到

$$\boxed{ a_x(x,t)= -\frac{0.4\sin(0.16t)}{1-0.1x} + \frac{0.625(1+\cos0.16t)^2}{(1-0.1x)^3} \ {\rm m/s^2} }$$

適用範圍為

$$0\leq x\leq L=5\ {\rm m}$$

核心觀念

本題利用「均勻流與壁面狹縫抽吸所形成的二維點匯流（sink）疊加」分析流場，重點包括：

• 停滯點定義：局部速度為零的位置。
• 流線函數 $\psi$ 為常數。
• 壁面上的流體無法穿透，因此狹縫抽出的流量必須由上半平面的流體供應。
• 停滯流線是經過停滯點的流線，可用 $\psi=\text{常數}$ 求得。

令狹縫位置為原點，$x$ 軸沿壁面向右，$y$ 軸垂直壁面向上。均勻流速度為

$$U=2\ \text{m/s},$$

狹縫單位長度的抽水流量為

$$q=0.008\ \text{m}^3/(\text{s}\cdot\text{m}) =0.008\ \text{m}^2/\text{s}.$$

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解題方法

1. 狹縫抽吸所造成的速度場

由於狹縫位於壁面，流體只存在於上半平面。以半徑 $r$ 的半圓包住狹縫，抽水量為 $q$，因此

$$v_r(\pi r)=q,$$

所以抽吸速度大小為

$$v_r=-\frac{q}{\pi r}.$$

負號表示流體朝向狹縫流動。

在壁面上，狹縫右側 $x>0$ 的抽吸速度方向向左，因此可與均勻流速度抵消。壁面上的總切向速度為

$$u(x,0)=U-\frac{q}{\pi x}.$$

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2. 求壁面上的停滯點 $A$

停滯點滿足 $u=0$：

$$U-\frac{q}{\pi x_A}=0.$$

因此

$$x_A=\frac{q}{\pi U}.$$

代入數值：

$$x_A =\frac{0.008}{\pi(2)} =1.27\times10^{-3}\ \text{m}.$$

所以停滯點位於狹縫下游：

$$\boxed{x_A=1.27\ \text{mm}}$$

且

$$\boxed{y_A=0}.$$

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3. 求停滯流線方程

取極座標

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$

其中 $\theta$ 從正 $x$ 軸量起。

均勻流的流線函數為

$$\psi_U=Uy.$$

壁面狹縫抽吸的流線函數為

$$\psi_s=-\frac{q}{\pi}\theta.$$

因此總流線函數為

$$\psi=Uy-\frac{q}{\pi}\theta.$$

停滯點 $A$ 位於正 $x$ 軸上，故 $\theta=0$、$y=0$，所以

此題考驗使用綱量分析 (Dimensional Analysis) 發展無因次參數，並應用於相似性準則 (Similarity Criteria) 和渦脫落頻率的比例計算。

核心觀念：

1. 綱量分析 (Dimensional Analysis)：使用 Buckingham Pi Theorem，找出影響物理現象的無因次參數。
2. 相似性準則 (Similarity Criteria)：為了使兩個不同尺度的實驗（例如模型與實體）結果相似，必須使它們的無因次參數相等。
3. 渦脫落 (Vortex Shedding)：當流體流過鈍體時，會在鈍體後方產生週期性的渦流脫落現象。其頻率通常與來流速度、鈍體尺寸、流體密度和黏度有關。

已知條件：

• 影響渦脫落頻率 $f$ 的參數：流體密度 $\rho$，鈍體直徑 $d$，來流速度 $V$，流體動力黏度 $\mu$。
• 兩個圓柱體：直徑比為 2，在標準空氣中。

要求：

1. 發展 $f$ 的函數關係。
2. 確定動態相似性所需的流速比。
3. 確定渦脫落頻率的比。

步驟：

(a) 發展 $f$ 的函數關係 (使用綱量分析)
我們有 5 個物理量：$f$, $\rho$, $d$, $V$, $\mu$。
它們的綱量單位是：

• 頻率 $f$: $[T^{-1}]$
• 密度 $\rho$: $[ML^{-3}]$
• 直徑 $d$: $[L]$
• 速度 $V$: $[LT^{-1}]$
• 動力黏度 $\mu$: $[ML^{-1}T^{-1}]$

我們需要找出 $n$ 個物理量和 $k$ 個基本綱量 (M, L, T)。這裡 $n=5$, $k=3$。
根據 Buckingham Pi Theorem，我們預期會有 $n-k = 5-3 = 2$ 個無因次參數 $\Pi$。

選擇 3 個重複變數 (Repeating Variables)，它們必須包含所有的基本綱量，並且不能彼此之間形成無因次群。
選擇 $\rho$, $d$, $V$ 作為重複變數。

• $\rho$: $[ML^{-3}]$
• $d$: $[L]$
• $V$: $[LT^{-1}]$
  這三個變數包含了 M, L, T。

現在，我們將 $f$ 和 $\mu$ 與這三個變數組合，形成無因次參數 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$。

計算 $\Pi_1$ (與 $f$ 相關)：
$\Pi_1 = f \cdot \rho^a d^b V^c$
綱量平衡：$[M^0 L^0 T^0] = [T^{-1}] \cdot [ML^{-3}]^a \cdot [L]^b \cdot [LT^{-1}]^c$
$[M^0 L^0 T^0] = [M^a L^{-3a+b+c} T^{-1-c}]$

比較指數：
M: $a = 0$
T: $-1-c = 0 \implies c = -1$
L: $-3a+b+c = 0 \implies -3(0)+b+(-1) = 0 \implies b = 1$

所以，$\Pi_1 = f \cdot \rho^0 d^1 V^{-1} = \frac{fd}{V}$。
這個參數是 史特勞哈爾數 (Strouhal Number, St)，表示渦脫落頻率的無因次形式。

計算 $\Pi_2$ (與 $\mu$ 相關)：
$\Pi_2 = \mu \cdot \rho^a d^b V^c$
綱量平衡：$[M^0 L^0 T^0] = [ML^{-1}T^{-1}] \cdot [ML^{-3}]^a \cdot [L]^b \cdot [LT^{-1}]^c$
$[M^0 L^0 T^0] = [M^{1+a} L^{-1-3a+b+c} T^{-1-c}]$

比較指數：
M: $1+a = 0 \implies a = -1$
T: $-1-c = 0 \implies c = -1$
L: $-1-3a+b+c = 0 \implies -1-3(-1)+b+(-1) = 0 \implies -1+3+b-1 = 0 \implies 1+b = 0 \implies b = -1$

所以，$\Pi_2 = \mu \cdot \rho^{-1} d^{-1} V^{-1} = \frac{\mu}{\rho V d}$。
這個參數是 雷諾數 (Reynolds Number, Re) 的倒數。通常我們將其定義為 $Re = \frac{\rho V d}{\mu}$。
所以 $\Pi_2 = 1/Re$。

根據 Buckingham Pi Theorem，兩個無因次參數 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 之間存在一個函數關係：
$\Pi_1 = \phi(\Pi_2)$

核心觀念

本題利用圓管內牛頓流體的穩態層流關係。由於容器半徑遠大於細管半徑，容器內液面下降速度可忽略，液面壓力近似為大氣壓。採用下列假設：

• 流體為不可壓縮牛頓流體。
• 細管內為穩態、充分發展的層流。
• 液面與管口皆與大氣相通。
• 忽略入口、出口及局部損失。
• 圖中 $H$ 為液面至細管入口的高度，$L$ 為細管長度，$a$ 為細管半徑。

因此，液面至管口的總高差為 $H+L$。

解題方法與推導

取細管軸線向下為 $x$ 方向，徑向座標為 $r$。細管入口與出口壓力分別為

$$p(0)=p_{\mathrm{atm}}+\rho gH, \qquad p(L)=p_{\mathrm{atm}}.$$

故細管內的壓力梯度為

$$\frac{dp}{dx} = \frac{p(L)-p(0)}{L} = -\frac{\rho gH}{L}.$$

對垂直圓管內的穩態充分發展流，軸向動量方程為

$$0=-\frac{dp}{dx} +\rho g +\mu\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r\frac{du}{dr} \right).$$

配合中心線速度有限及管壁無滑移條件

$$\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=0}=0, \qquad u(a)=0,$$

可得速度分布

$$u(r) = \frac{1}{4\mu} \left( \rho g-\frac{dp}{dx} \right) (a^2-r^2).$$

代入壓力梯度：