109 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

流線（streamline）是在某一固定時刻，曲線上每一點的切線方向都與當地速度方向一致。因此在二維流場中，

$$\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u},$$

其中 $u$、$v$ 分別為 $x$、$y$ 方向速度分量。

本題速度場為

$$\vec V=ayt\,\hat i-bx\,\hat j,$$

故

$$u=ayt,\qquad v=-bx.$$

須注意：流線是「固定時刻的瞬時幾何形狀」，不是流體質點隨時間移動的路徑。

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解題方法

一般情況：$t\neq 0$

由流線定義，

$$\frac{dy}{dx} =\frac{-bx}{ayt}.$$

整理得

$$y\,dy=-\frac{b}{at}x\,dx.$$

在固定的時間 $t$ 下，$t$ 為常數，因此積分：

$$\int y\,dy = -\frac{b}{at}\int x\,dx.$$

得到

$$\frac{y^2}{2} = -\frac{b}{at}\frac{x^2}{2}+C.$$

將常數重新整理，可得流線方程：

$$\boxed{y^2+\frac{b}{at}x^2=C} \qquad (t\neq 0).$$

代入 $a=1\ \mathrm{s}^{-1}$、$b=4\ \mathrm{s}^{-1}$：

$$\boxed{y^2+\frac{4}{t}x^2=C} \qquad (t\neq0).$$

其中 $C$ 為不同流線所對應的常數。

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特殊情況：$t=0$

當 $t=0$ 時，

$$u=ayt=0, \qquad v=-bx=-4x.$$

速度完全沒有 $x$ 方向分量，因此流線必須為垂直線：

$$\boxed{x=C} \qquad (t=0).$$

在 $x=0$ 上速度為零，該處為停滯點；一般可將 $x=0$ 視為垂直流線中的特例。

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各時刻的流線

$t=0\ \mathrm{s}$

$$\boxed{x=C}$$

因此流線為一組彼此平行的垂直直線：

        y
        ↑
   │    │    │    │
   │    │    │    │
   │    │    │    │
───┼────┼────┼────┼──→ x
   │    │    │    │
   │    │    │    │

速度方向為：

• $x>0$ 時，$v=-4x<0$，流體向下；
• $x<0$ 時，$v=-4x>0$，流體向上；
• $x=0$ 時，速度為零。

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$t=1\ \mathrm{s}$

$$y^2+4x^2=C.$$

改寫為

$$\frac{x^2}{C/4}+\frac{y^2}{C}=1.$$

因此流線是一組以原點為中心的橢圓，半軸為

$$a_x=\frac{\sqrt C}{2}, \qquad a_y=\sqrt C.$$

也就是 $y$ 方向半軸為 $x$ 方向的兩倍：

        y
        ↑
       /‾‾‾\
     /       \
    |    ○    |
     \       /
       \___/
────────┼────────→ x

例如取 $C=1,4,9$，分別得到三條橢圓：

核心觀念

本題考查「曲面所受靜水壓力的垂直分量」。

對曲面取一個由水面、曲面及側壁所包圍的假想水體，則水對曲面的垂直作用力大小，等於該假想水體的重量：

$$F_V=\gamma V$$

其中：

• $\gamma=\rho g$：水的單位重；
• $V$：曲面上方假想水體的體積。

由於大氣壓同時作用於水面及水槽外表面，可改用表壓計算。大氣壓對封閉假想水體的合力相互抵消，因此不影響最後的垂直力結果。

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解題方法

在曲面底部上方取出一個假想水體，其上表面為自由液面，下表面為題目所示的曲面，側面則取垂直面。

對此假想水體作垂直方向的受力平衡：

• 自由液面上的表壓為 $0$；
• 垂直側壁的水壓力皆為水平方向，不產生垂直分量；
• 曲面受到周圍水槽的垂直支持力向上；
• 假想水體本身受到重量 $W=\gamma V$ 向下。

因此，水槽對水體的垂直作用力為

$$R_V=\gamma V$$

依牛頓第三定律，水對曲面底部的垂直作用力方向向下，故

$$\boxed{F_V=\gamma V\quad\text{向下}}$$

若水槽為等寬的二維槽體，槽寬為 $b$，曲面上方截面面積為 $A$，則

$$V=bA$$

所以

$$\boxed{F_V=\gamma bA\quad\text{向下}}$$

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垂直分量的作用線

曲面所受垂直水壓合力的作用線，通過假想水體的重心。

因此，若假想水體的體積重心座標為 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$，則垂直力的作用線為通過 $(\bar{x},\bar{y})$ 的鉛直線。

對等寬槽體而言，體積重心等同於曲面上方截面面積的形心：

核心觀念

本題使用不可壓縮、穩態流動的連續方程：

$$Q_{\text{in}}=Q_{\text{out}}$$

入口速度均勻為 $U$；出口速度沿通道高度呈線性分布，因此出口平均速度等於兩端速度的平均值：

$$\bar v=\frac{v_{\min}+v_{\max}}{2}$$

通道截面積與寬度保持不變，所以入口與出口的平均速度相同。

解題方法

取出口截面高度方向為 $y$，$0\le y\le h$。出口速度由 $v_{\min}$ 線性變化至 $v_{\max}$，可表示為

$$v(y)=v_{\min}+\frac{v_{\max}-v_{\min}}{h}y$$

以單位通道寬度計算流量，入口流量為

$$Q_{\text{in}}'=Uh$$

出口流量為

$$\begin{aligned} Q_{\text{out}}' &=\int_0^h v(y)\,dy\\ &=h\frac{v_{\min}+v_{\max}}{2} \end{aligned}$$

本題考查觀察者速度與相對速度的概念，以及時間對速度的變化率，即加速度。核心是理解不同參考系下的速度表達式及其時間導數。

解題觀念：

1. 絕對速度與相對速度：

   • 絕對速度（Absolute Velocity）：相對於慣性參考系（例如地面）的速度。
   • 相對速度（Relative Velocity）：相對於另一個運動參考系的速度。
   • 參考系速度（Frame Velocity）：運動參考系相對於慣性參考系的速度。
     它們之間的關係是：絕對速度 = 相對速度 + 參考系速度。
     $\vec{V}_A = \vec{V}_{A/B} + \vec{V}_B$，其中 $\vec{V}_A$ 是物體 A 相對於參考系 O 的速度，$\vec{V}_{A/B}$ 是物體 A 相對於參考系 B 的速度，$\vec{V}_B$ 是參考系 B 相對於參考系 O 的速度。

2. 時間對速度的變化率：
   速度的時間變化率就是加速度。
   $\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt}$。

題目情境分析：

• 河流的速度是絕對速度（相對於地面）。
• 觀察者所在的船是運動參考系。
• 我們需要計算觀察者「看到」的速度的時間變化率。這意味著我們需要計算觀察者（船）所處參考系下的速度。

令：

• 地面為慣性參考系 (O)。
• 河流的速度（相對於地面）為 $\vec{V}_{river} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
• 觀察者所在的船的速度（相對於地面）為 $\vec{V}_{boat}$。
• 觀察者看到的速度（相對於船）為 $\vec{V}_{obs/boat}$。
• 觀察者看到的河流的速度（相對於船）為 $\vec{V}_{river/boat}$。

根據相對速度公式：
$\vec{V}_{river} = \vec{V}_{river/boat} + \vec{V}_{boat}$。
因此，觀察者看到的河流的速度為：
$\vec{V}_{river/boat} = \vec{V}_{river} - \vec{V}_{boat}$。

我們要求的是 $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat})$。
$\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \frac{d}{dt}(\vec{V}_{river}) - \frac{d}{dt}(\vec{V}_{boat})$。

這表示我們需要知道河流速度 $\vec{V}_{river}$ 和船的速度 $\vec{V}_{boat}$ 相對於地面隨時間的變化率（即它們的加速度）。

情境 (a)：

• 觀察者站在一艘系在河岸上的船上。
• 河流速度：$\vec{V}_{river} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
• 船的速度（相對於地面）：由於船系在河岸上，所以船是靜止的。$\vec{V}_{boat} = \vec{0}$。
• 觀察者看到的河流速度（相對於船）：
  $\vec{V}_{river/boat} = \vec{V}_{river} - \vec{V}_{boat} = (u\hat{i} + v\hat{j}) - \vec{0} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
  這個速度就是河流的絕對速度。
• 觀察者看到的河流速度的時間變化率：
  $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \frac{d}{dt}(u\hat{i} + v\hat{j})$。
  這裡假設 $u$ 和 $v$ 可能隨時間變化。
  $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \frac{du}{dt}\hat{i} + \frac{dv}{dt}\hat{j}$。
  這表示觀察者看到的河流速度的時間變化率，就是河流速度向量隨時間的變化率。

情境 (b)：

• 觀察者站在一艘船上，該船以速度 $\vec{V}_b = u_b\hat{i} + v_b\hat{j}$ 相對於地面運動。
• 河流速度（相對於地面）：$\vec{V}_{river} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
• 船的速度（相對於地面）：$\vec{V}_{boat} = \vec{V}_b = u_b\hat{i} + v_b\hat{j}$。
• 觀察者看到的河流速度（相對於船）：
  $\vec{V}_{river/boat} = \vec{V}_{river} - \vec{V}_{boat} = (u\hat{i} + v\hat{j}) - (u_b\hat{i} + v_b\hat{j}) = (u-u_b)\hat{i} + (v-v_b)\hat{j}$。
• 觀察者看到的河流速度的時間變化率：
  $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \frac{d}{dt}((u-u_b)\hat{i} + (v-v_b)\hat{j})$。
  假設 $u, v, u_b, v_b$ 都可能隨時間變化。
  $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \left(\frac{du}{dt} - \frac{du_b}{dt}\right)\hat{i} + \left(\frac{dv}{dt} - \frac{dv_b}{dt}\right)\hat{j}$。
  這表示觀察者看到的河流速度的時間變化率，是河流絕對速度的時間變化率減去船的絕對速度的時間變化率。

情境 (c)：

• 觀察者站在一艘船上，該船隨河流漂流。
• 河流速度（相對於地面）：$\vec{V}_{river} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
• 船的速度（相對於地面）：由於船隨河流漂流，船的速度等於河流的速度。
  $\vec{V}_{boat} = \vec{V}_{river} = u\hat{i} + v\hat{j}$。
• 觀察者看到的河流速度（相對於船）：
  $\vec{V}_{river/boat} = \vec{V}_{river} - \vec{V}_{boat} = (u\hat{i} + v\hat{j}) - (u\hat{i} + v\hat{j}) = \vec{0}$。
  觀察者看到河流是靜止的（相對於他自己）。
• 觀察者看到的河流速度的時間變化率：
  $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat}) = \frac{d}{dt}(\vec{0}) = \vec{0}$。
  這表示觀察者看到的河流速度的時間變化率為零，即觀察者認為河流是靜止的，並且沒有加速度。

總結：
我們需要計算 $\frac{d}{dt}(\vec{V}_{river/boat})$。
$\vec{V}_{river/boat} = \vec{V}_{river} - \vec{V}_{boat}$。

核心觀念

本題考查兩層不可混溶流體的穩態平行 Couette flow：

• 速度僅沿 $x$ 方向，且只隨 $z$ 變化：
  $\mathbf{v}=u(z)\,\mathbf{i}$
• 各流體內部皆滿足穩態 Navier–Stokes 方程。
• 無外加壓力梯度，因此 $dp/dx=0$。
• 固壁滿足無滑移條件。
• 介面滿足速度連續與剪應力連續。
• 垂直方向僅受重力影響，因此壓力呈流體分層的靜水壓分布。

設底板位於 $z=0$，兩流體介面位於 $z=h_1$，上板位於 $z=h_1+h_2$。流體 1 位於下方，流體 2 位於上方，如圖中所示。

令總高度為

$$H=h_1+h_2$$

(a) 速度場

對每一層流體，$x$ 方向動量方程為

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu_i\frac{d^2u_i}{dz^2}$$

由於沒有外加壓力梯度，$\partial p/\partial x=0$，所以

$$\frac{d^2u_i}{dz^2}=0$$

因此每層速度皆為 $z$ 的一次函數。

邊界與介面條件

底板無滑移：

$$u_1(0)=0$$

上板以速度 $V$ 向右移動：

$$u_2(h_1+h_2)=V$$

介面速度連續：

$$u_1(h_1)=u_2(h_1)$$

介面剪應力連續：

$$\mu_1\frac{du_1}{dz} = \mu_2\frac{du_2}{dz}$$

由於各層速度梯度為常數，可令介面剪應力為 $\tau$，則

$$\frac{du_1}{dz}=\frac{\tau}{\mu_1}, \qquad \frac{du_2}{dz}=\frac{\tau}{\mu_2}$$

由底板條件，流體 1 的速度為

$$u_1(z)=\frac{\tau}{\mu_1}z \qquad (0\le z\le h_1)$$

再由上板速度條件，流體 2 可寫成

$$u_2(z) = V-\frac{\tau}{\mu_2}(h_1+h_2-z) \qquad (h_1\le z\le h_1+h_2)$$

將介面速度連續條件代入：

$$\frac{\tau h_1}{\mu_1} = V-\frac{\tau h_2}{\mu_2}$$

因此

$$\tau = \frac{V} {\dfrac{h_1}{\mu_1}+\dfrac{h_2}{\mu_2}}$$

所以速度場為

$$\boxed{ u_1(z)= \frac{V} {\dfrac{h_1}{\mu_1}+\dfrac{h_2}{\mu_2}} \frac{z}{\mu_1} }$$

本題考查相似法則在風洞試驗中的應用，特別是動相似性（Dynamic Similarity）與阻力係數（Drag Coefficient）的計算。

解題觀念：

1. 阻力係數 ($C_D$)：描述物體在流體中運動時所受到的阻力與流體動力相關的無因次參數。
   $C_D = \frac{F_D}{\frac{1}{2} \rho V^2 A}$
   其中 $F_D$ 為阻力，$\rho$ 為流體密度，$V$ 為流體速度，$A$ 為參考面積（通常是迎風面積）。

2. 相似法則：模型試驗的目的是要模擬真實物體（原型）在實際環境中的流動行為。為了使模型試驗結果能準確預測原型行為，模型與原型之間的流動必須相似。

   • 運動相似性 (Kinematic Similarity)：速度場的幾何相似和速度向量的比值相似。
   • 動相似性 (Dynamic Similarity)：流場中所有力的比值相似。對於空氣動力學問題，主要考慮慣性力與黏性力的比值（雷諾數 Re）和慣性力與可壓縮力的比值（馬赫數 Ma）。
   • 幾何相似性 (Geometric Similarity)：模型與原型在尺寸和形狀上相似。

3. 雷諾數 (Reynolds Number, Re)：
   $\text{Re} = \frac{\rho V L}{\mu}$
   其中 $L$ 是特徵長度。
   對於汽車等物體，雷諾數非常重要，因為它影響流動分離點和尾流的形態。

4. 馬赫數 (Mach Number, Ma)：
   $\text{Ma} = \frac{V}{c}$
   其中 $c$ 是聲速。
   當速度接近聲速時，可壓縮性效應顯著，馬赫數變得重要。

題目情境：

• 模型比例：1/9。
• 模型迎風面積 $A_m = 0.2 \, \text{m}^2$。
• 模型試驗速度 $V_m = 100 \, \text{m/s}$。
• 空氣密度 $\rho = 1.2 \, \text{kg/m}^3$。
• 模型測得阻力 $F_{D,m} = 400 \, \text{N}$。
• 原型公路速度 $V_p = 120 \, \text{km/h}$。
• 要求：
  1. 計算模型的阻力係數 $C_{D,m}$。
  2. 計算原型在 $V_p$ 速度下的阻力 $F_{D,p}$（假設 $C_D$ 對模型和原型相同）。
  3. 確定能確保動相似性的模型試驗速度 $V'_m$（假設空氣性質不變）。
  4. 判斷此速度 $V'_m$ 是否實用。

解題步驟：

1. 計算模型的阻力係數 ($C_{D,m}$)：
已知模型迎風面積 $A_m = 0.2 \, \text{m}^2$，速度 $V_m = 100 \, \text{m/s}$，密度 $\rho = 1.2 \, \text{kg/m}^3$，阻力 $F_{D,m} = 400 \, \text{N}$。
$C_{D,m} = \frac{F_{D,m}}{\frac{1}{2} \rho V_m^2 A_m}$
$C_{D,m} = \frac{400 \, \text{N}}{\frac{1}{2} (1.2 \, \text{kg/m}^3) (100 \, \text{m/s})^2 (0.2 \, \text{m}^2)}$
$C_{D,m} = \frac{400}{0.5 \times 1.2 \times 10000 \times 0.2} = \frac{400}{1.2 \times 1000} = \frac{400}{1200} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$C_{D,m} \approx 0.333$

2. 計算原型在 $V_p$ 速度下的阻力 ($F_{D,p}$)：
首先，將原型速度 $V_p$ 轉換為 m/s。
$V_p = 120 \, \text{km/h} = 120 \times \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 120 \times \frac{5}{18} \, \text{m/s} = \frac{600}{18} \, \text{m/s} = \frac{100}{3} \, \text{m/s} \approx 33.33 \, \text{m/s}$。

原型尺寸：模型比例是 1/9，所以原型尺寸是模型的 9 倍。
特徵長度 $L_p = 9 L_m$。
迎風面積 $A_p = (9)^2 A_m = 81 \times 0.2 \, \text{m}^2 = 16.2 \, \text{m}^2$。

假設阻力係數對模型和原型相同，即 $C_{D,p} = C_{D,m} = 1/3$。
計算原型阻力 $F_{D,p}$：
$F_{D,p} = C_{D,p} \times \frac{1}{2} \rho V_p^2 A_p$
$F_{D,p} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} (1.2 \, \text{kg/m}^3) \left(\frac{100}{3} \, \text{m/s}\right)^2 (16.2 \, \text{m}^2)$
$F_{D,p} = \frac{1}{6} \times 1.2 \times \frac{10000}{9} \times 16.2$
$F_{D,p} = 0.2 \times \frac{10000}{9} \times 16.2 = 0.2 \times 10000 \times \frac{16.2}{9} = 0.2 \times 10000 \times 1.8$
$F_{D,p} = 2000 \times 1.8 = 3600 \, \text{N}$

3. 確定動相似性試驗速度 ($V'_m$)：
動相似性要求雷諾數和馬赫數在模型和原型之間相似。

• 雷諾數相似：$\text{Re}_m = \text{Re}_p$。
  $\frac{\rho_m V'_m L_m}{\mu_m} = \frac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p}$
  假設空氣性質在風洞內和原型環境中相同，即 $\rho_m = \rho_p = \rho$ 且 $\mu_m = \mu_p = \mu$。
  $V'_m L_m = V_p L_p$
  由於 $L_p = 9 L_m$，
  $V'_m L_m = V_p (9 L_m)$
  $V'_m = 9 V_p$
  $V_p = \frac{100}{3} \, \text{m/s}$。
  $V'_m = 9 \times \frac{100}{3} \, \text{m/s} = 3 \times 100 \, \text{m/s} = 300 \, \text{m/s}$

• 馬赫數相似：$\text{Ma}_m = \text{Ma}_p$。
  $\frac{V'_m}{c_m} = \frac{V_p}{c_p}$
  假設聲速相同，$c_m = c_p = c$。
  $\frac{V'_m}{c} = \frac{V_p}{c} \implies V'_m = V_p$
  這與雷諾數相似的結果 $V'_m = 9 V_p$ 相矛盾。

問題分析：
在實際風洞試驗中，通常需要同時滿足雷諾數和馬赫數的相似。

• 如果 $V_p$ 較低（亞音速），則馬赫數相似性要求 $V'_m$ 與 $V_p$ 相當（如果空氣性質相同）。
• 如果 $V_p$ 較高（接近或超過音速），則馬赫數相似性要求 $V'_m$ 與 $V_p$ 相當。
• 然而，為了模擬真實世界的雷諾數，我們需要非常高的速度或非常大的模型。

題目中提到「確保動相似性結果」(ensure dynamically similar results)。通常，對於汽車等物體，雷諾數是決定流動特徵（如分離點、尾流）的主要因素。馬赫數在亞音速情況下影響較小。

判斷哪個相似準則更重要：
對於汽車在公路上的運動，速度 $V_p = 120 \, \text{km/h} \approx 33.33 \, \text{m/s}$。
這個速度相對較低，空氣可視為不可壓縮流（馬赫數約為 $33.33 / 343 \approx 0.1$）。
在此情況下，雷諾數是影響阻力的關鍵因素。

那麼，如果要求雷諾數相似，模型試驗速度應該是 $V'_m = 300 \, \text{m/s}$。
如果要求馬赫數相似（僅考慮亞音速），則 $V'_m$ 應與 $V_p$ 相似，這意味著模型試驗速度應接近 $33.33 \, \text{m/s}$。

題目問「空氣性質不變」，這表示 $\rho$ 和 $\mu$ 不變。
如果我們需要讓雷諾數相似：$\text{Re}_m = \text{Re}_p$。
$V'_m L_m = V_p L_p$。
$V'_m = V_p \frac{L_p}{L_m} = V_p \times 9$。
$V'_m = \frac{100}{3} \, \text{m/s} \times 9 = 300 \, \text{m/s}$。

如果我們需要讓馬赫數相似：$\text{Ma}_m = \text{Ma}_p$。
$\frac{V'_m}{c} = \frac{V_p}{c} \implies V'_m = V_p \approx 33.33 \, \text{m/s}$。

哪個是「動相似性」的關鍵？
對於低速流動，雷諾數是主導。對於高速流動，馬赫數是主導。
在這個例子中，原型速度 $V_p = 120 \, \text{km/h}$ 是亞音速，但相對較高。
模型試驗速度 $V_m = 100 \, \text{m/s}$ 已經是相當高的速度，其馬赫數約為 $100 / 343 \approx 0.29$，已經有可壓縮性效應。
原型速度 $V_p \approx 33.33 \, \text{m/s}$，其馬赫數約為 $33.33 / 343 \approx 0.097$。

如果我們希望模擬真實情況的阻力，我們需要確保雷諾數足夠高，並且與原型相似。
模型試驗速度 $V_m = 100 \, \text{m/s}$ 已經給定，讓我們計算一下此時的雷諾數。
$L_m = 0.2 \, \text{m}^2$? 面積不是長度。
假設模型有一個特徵長度 $L_m$。
如果我們假設模型是立方體，則 $L_m = \sqrt{A_m} = \sqrt{0.2} \approx 0.447 \, \text{m}$。
$\text{Re}_m = \frac{\rho V_m L_m}{\mu} = \frac{1.2 \times 100 \times 0.447}{\mu}$。
原型特徵長度 $L_p = 9 L_m \approx 4.02 \, \text{m}$。
原型速度 $V_p = 100/3 \, \text{m/s}$。
$\text{Re}_p = \frac{\rho V_p L_p}{\mu} = \frac{1.2 \times (100/3) \times 4.02}{\mu} = \frac{0.4 \times 4.02}{\mu} \times 100 = \frac{1.608}{\mu} \times 100 \approx \frac{160.8}{\mu}$。

我們需要 $V'_m$ 使得 $\text{Re}_m = \text{Re}_p$。
$V'_m L_m = V_p L_p$。
$V'_m = V_p \frac{L_p}{L_m} = V_p \times 9 = \frac{100}{3} \times 9 = 300 \, \text{m/s}$。

4. 判斷 $V'_m = 300 \, \text{m/s}$ 是否實用：
$300 \, \text{m/s}$ 約等於 $300 \times 3.6 = 1080 \, \text{km/h}$。
這個速度非常高，接近音速（約 $343 \, \text{m/s}$）。

• 風洞要求：達到 $300 \, \text{m/s}$ 的風速需要非常強大的風洞設備，這可能非常昂貴且難以操作。
• 可壓縮性效應：在此速度下，馬赫數 $\text{Ma} = 300 / 343 \approx 0.875$。這是一個高亞音速，可壓縮性效應會非常顯著。如果模型試驗是在這種高馬赫數下進行，而原型是在低馬赫數下運行，那麼僅僅雷諾數相似是不夠的，還需要馬赫數相似。
• 模型材料與結構：在如此高的風速下，模型可能會承受巨大的氣動載荷，導致結構變形或損壞。
• 實際操作：對於汽車，公路速度通常在 $120 \, \text{km/h}$ 左右。風洞試驗速度遠超原型實際運行速度，雖然是為了提高雷諾數，但可能引入其他問題。

總結：
$300 \, \text{m/s}$ 的風速非常高，接近音速，操作困難，設備要求高，且會引入顯著的可壓縮性效應，可能與原型低速亞音速情況下的流動特性不同。因此，這個速度通常被認為是不實用的。

替代方案：
在實際工程中，如果無法達到足夠高的雷諾數，可能會採取以下措施：

• 使用低密度氣體（如氦氣）進行試驗，可以在較低速度下達到較高的雷諾數。
• 接受較低的雷諾數，並通過流體力學理論或 CFD 計算來外推結果。
• 在某些情況下，如果流動現象對雷諾數不敏感（例如，在完全分離流的情況下），則較低的雷諾數試驗結果也可能是有用的。

回到題目要求：
「Determine the air speed at which a model should be tested to ensure dynamically similar results if the properties of the air didn't change in the wind tunnel.」
這意味著我們需要滿足動相似性。最常見的動相似性準則是雷諾數和馬赫數。
在亞音速情況下，雷諾數通常被認為是更關鍵的。
因此，我們基於雷諾數相似性計算 $V'_m = 300 \, \text{m/s}$。

是否實用？
基於上述分析，這個速度是不實用的。

為什麼不實用？

1. 設備與操作：需要極高風速的風洞，成本高昂，操作複雜。
2. 可壓縮性效應：$300 \, \text{m/s}$ 速度下的馬赫數很高，會引入與原型低速情況不同的可壓縮性效應。
3. 結構載荷：模型可能無法承受如此大的氣動力。

最終答案架構：

1. 計算模型的阻力係數。
2. 計算原型的迎風面積。
3. 計算原型的阻力（假設 $C_D$ 相同）。
4. 基於雷諾數相似性，計算動相似的試驗速度。
5. 判斷該速度是否實用，並說明原因。

檢查單位轉換：