109 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班甲組《熱力學》

核心觀念

本題使用以下熱力學關係：

1. 狀態方程式
   $p=p(T,v)$

2. 循環偏微分關係

$$\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p =-\frac{\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T} {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v}$$

3. 熵的基本關係式

$$ds=\frac{C_v}{T}\,dT+ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v dv$$

4. 熱容量差公式

$$C_p-C_v =T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p$$

范德瓦耳斯方程式為

$$p=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}$$

其中 $v$ 為莫耳體積，$a,b$ 為范德瓦耳斯常數。

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（a）證明 $\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p=0$

由狀態方程式直接求得

$$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T = -\frac{RT}{(v-b)^2}+\frac{2a}{v^3}$$

以及

$$\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v = \frac{R}{v-b}$$

因此

$$\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p = -\frac{\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T} {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v}$$

代入後得

$$\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p = \frac{v-b}{R} \left( \frac{RT}{(v-b)^2}-\frac{2a}{v^3} \right)$$

因此，當系統處於臨界點時，臨界條件為

$$\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T=0$$

故

$$\boxed{ \left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p=0 }$$

這裡的證明隱含「狀態位於臨界點」的條件。若題目沒有此一條件，則 $\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p$ 一般並不等於零。

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（b）證明 $(S_2-S_1)_T$

熵的微分關係式為

$$ds=\frac{C_v}{T}\,dT+ \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v dv$$

在定溫過程中，$dT=0$，所以

$$(ds)_T= \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v dv$$

由范德瓦耳斯方程式，

$$\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v = \frac{R}{v-b}$$

因此

$$(ds)_T=\frac{R}{v-b}\,dv$$

從狀態 1 積分至狀態 2：

$$(S_2-S_1)_T = \int_{v_1}^{v_2}\frac{R}{v-b}\,dv$$

積分得

$$(S_2-S_1)_T = R\left[\ln(v-b)\right]_{v_1}^{v_2}$$

所以

$$\boxed{ (S_2-S_1)_T = R\ln\frac{v_2-b}{v_1-b} }$$

此結果與理想氣體的定溫熵變

此題考驗學生對標準生成吉布斯自由能 (Standard Gibbs Free Energy of Formation, $\Delta G_f^0$) 的理解，以及如何從熱力學表中查閱和應用數據。

題目要求計算甲烷 (Methane, $CH_4$) 在標準狀態 (25°C, 1 atm) 下的生成吉布斯自由能，並與表格 A 中的值進行比較。

首先，我們需要定義「標準生成吉布斯自由能」。它指的是在標準狀態下，由其最穩定的元素狀態（在該溫度和壓力下）生成 1 莫耳的化合物時的吉布斯自由能變化。

對於甲烷 ($CH_4$)，其形成反應在標準狀態下可表示為：
$C(\text{graphite}) + 2H_2(g) \rightarrow CH_4(g)$

在標準狀態下，碳 (Carbon) 的最穩定形式是固態石墨 (graphite, $C(s)$)。
氫氣 (Hydrogen) 的最穩定形式是氣態雙原子分子 ($H_2(g)$)。

題目要求計算 $\Delta G_f^0$。根據熱力學表的定義，生成吉布斯自由能 $\Delta G_f^0$ 是指：
$\Delta G_f^0(CH_4, g) = G_{CH_4(g)} - [G_{C(s)} + 2 G_{H_2(g)}]$，其中所有物質都在標準狀態下。

然而，標準生成吉布斯自由能的定義是相對於其元素在標準狀態下的自由能為零。
也就是說，對於元素在標準狀態下的最穩定形式，其標準生成吉布斯自由能為零。
所以，$G_{C(s)}^0 = 0$ 且 $G_{H_2(g)}^0 = 0$。

因此，甲烷的標準生成吉布斯自由能就是生成 1 莫耳甲烷的吉布斯自由能變化：
$\Delta G_f^0(CH_4, g) = G_{CH_4(g)}^0 - [G_{C(s)}^0 + 2 G_{H_2(g)}^0]$

此題考驗學生對燃氣渦輪機 (Gas Turbine Engine) 工作循環的理解，特別是包含再生器 (Regenerator)、級間冷卻 (Intercooling) 和再熱 (Reheat) 的複雜循環。學生需要繪製系統示意圖和 T-s 圖，並解釋這些組件如何提升效率。

1. 系統示意圖 (Schematic Diagram)

一個包含再生器、級間冷卻和再熱的再生式燃氣渦輪機系統主要包含以下組件：

• 壓縮機 (Compressor, C)：將空氣壓縮，提高其壓力與溫度。
• 級間冷卻器 (Intercooler, IC)：在壓縮過程中，將空氣分段壓縮，並在段之間進行冷卻，降低壓縮功。
• 燃燒室 (Combustor, B)：將燃料與高壓空氣混合燃燒，提高空氣的溫度和焓值。
• 渦輪機 (Turbine, T)：高溫高壓的燃氣膨脹做功，驅動壓縮機及外部負載。
• 再熱器 (Reheater, RH)：在渦輪機的級間，再次加熱燃氣，提高膨脹功。
• 再生器 (Regenerator, R)：利用渦輪機排出的高溫廢氣預熱進入燃燒室的壓縮空氣，減少燃料消耗。

系統流程：

1. 空氣進入壓縮機 (C)。
2. 壓縮機將空氣分為兩段，中間通過級間冷卻器 (IC) 冷卻。
3. 冷卻後的空氣進入燃燒室 (B)。
4. 在燃燒室中，空氣與燃料混合燃燒，溫度急劇升高。
5. 高溫燃氣進入渦輪機 (T)，並進行膨脹做功。
6. 渦輪機的一部分功用於驅動壓縮機。
7. 部分膨脹後的燃氣（中壓）被引出，進入再熱器 (RH)，再次加熱。
8. 再次加熱後的燃氣繼續在渦輪機的後半段膨脹做功。
9. 渦輪機排出的高溫廢氣進入再生器 (R)。
10. 在再生器中，廢氣將熱量傳遞給進入燃燒室的壓縮空氣。
11. 經過熱交換的廢氣（較低溫）排入大氣。
12. 經過預熱的壓縮空氣進入燃燒室。

示意圖繪製要點：

• 標示出所有主要組件 (C, IC, B, T, RH, R)。
• 標示出空氣/燃氣的流動方向，用箭頭表示。
• 標示出熱量傳遞方向（例如 IC 散熱，B 加熱，RH 加熱，R 預熱）。
• 標示出功的流動（壓縮機消耗功，渦輪機產生功）。

2. T-s 圖 (Temperature-Entropy Diagram)

我們將使用 T-s 圖來表示這個循環的過程。假設循環是理想的（例如，所有過程都是可逆的）。

• 狀態 1: 壓縮機入口，低溫低壓空氣。
• 過程 1-2: 壓縮機內部的絕熱壓縮 (理想情況下為等熵壓縮)。溫度和熵都升高。
• 過程 2-IC: 級間冷卻器內部的等壓冷卻。溫度降低，熵降低。
• 過程 2'-3: 級間冷卻後，第二段壓縮機的絕熱壓縮 (理想情況下為等熵壓縮)。溫度和熵升高。
• 過程 3-4: 燃燒室內部的等壓加熱。溫度和熵升高。
• 過程 4-5: 渦輪機第一段的絕熱膨脹 (理想情況下為等熵膨脹)。溫度和熵降低。
• 過程 5-RH: 再熱器內部的等壓加熱。溫度和熵升高。
• 過程 5'-6: 渦輪機第二段的絕熱膨脹 (理想情況下為等熵膨脹)。溫度和熵降低。
• 過程 6-R_out: 渦輪機出口廢氣進入再生器。
• 過程 R_in-R_out: 在再生器中，高溫廢氣 (6) 將熱量傳遞給進入燃燒室的壓縮空氣 (3')。廢氣溫度降低，熵降低。
• 過程 3'-4': 在再生器中，壓縮空氣 (3') 預熱後進入燃燒室 (4')。溫度升高，熵升高。
• 過程 4'-4: 壓縮空氣在燃燒室中進一步加熱至燃燒室出口溫度 (4)。
• 過程 6-7: 廢氣在再生器中冷卻後排入大氣。

T-s 圖繪製要點：

• 橫軸為熵 (s)，縱軸為溫度 (T)。
• 標示出各個狀態點 (1, 2, 2', 3, 3', 4', 4, 5, 5', 6, 7)。
• 標示出各個過程的曲線形狀：
  • 等熵過程 (壓縮、膨脹)：垂直線。

核心觀念

本題是「絕熱剛性槽內，理想氣體向真空自由膨脹」問題，重點包括：

• 剛性槽：總體積固定，邊界無位移功。
• 絕熱：$Q=0$。
• 向真空膨脹：外界壓力為零，因此邊界功為零。
• 理想氣體內能只與溫度有關：$u=u(T)$。
• 熵為狀態函數，可用任意方便的可逆路徑計算。

隔板移除後，氣體由原本半槽體積膨脹至整個槽體積，因此

$$V_2=2V_1$$

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解題方法

取槽內氣體為系統，使用熱力學第一定律：

$$\Delta U=Q-W$$

因為槽體絕熱，

$$Q=0$$

且氣體向真空膨脹，外界壓力為零：

$$W=\int p_{\text{外}}\,dV=0$$

因此

$$\Delta U=0$$

對理想氣體而言，內能只與溫度有關，所以

$$\Delta U=n\overline{C}_v(T_2-T_1)=0$$

得到

$$\boxed{T_2=T_1}$$

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(a) 最終溫度與壓力

初始狀態與最終狀態皆滿足理想氣體方程式：

$$p_1V_1=n\overline{R}T_1$$ $$p_2V_2=n\overline{R}T_2$$

由於

$$V_2=2V_1,\qquad T_2=T_1$$

所以

$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2/V_2}{T_1/V_1} = \frac{T_1/(2V_1)}{T_1/V_1} = \frac12$$

因此

$$\boxed{p_2=\frac{p_1}{2}}$$

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(b) 總熵變

熵變可利用理想氣體的狀態方程式表示為

此題要求證明理想氣體在可逆絕熱過程中的狀態關係式 $pv^k = \text{constant}$，其中 $k$ 是定壓比熱與定容比熱之比 ($k = c_p/c_v$)。

證明步驟：

1. 從熱力學第一定律和理想氣體性質出發
   對於一個封閉系統，熱力學第一定律為：
   $dU = \delta Q - \delta W$
   其中 $dU$ 是內能的變化，$\delta Q$ 是熱量變化，$\delta W$ 是系統對外界做的功。

   對於理想氣體，其內能僅是溫度的函數，即 $U = U(T)$。
   其內能的微小變化為：
   $dU = C_v dT$
   其中 $C_v$ 是定容莫耳熱容。

   絕熱過程表示 $\delta Q = 0$。
   所以，對於絕熱過程：
   $dU = - \delta W$

   對於一個準靜態（可逆）過程，系統對外界做的功為 $\delta W = p dV$。
   因此，對於可逆絕熱過程：
   $C_v dT = - p dV$ (式 1)

2. 利用理想氣體狀態方程式
   理想氣體狀態方程式為：
   $pV = nRT$
   其中 $n$ 是莫耳數，$R$ 是理想氣體常數，$T$ 是絕對溫度，$p$ 是壓力，$V$ 是體積。

   對此式進行微分：
   $d(pV) = d(nRT)$
   $p dV + V dp = nR dT$

   我們知道對於理想氣體，$C_p - C_v = nR$。
   所以，$nR = C_p - C_v$。
   代入上式：
   $p dV + V dp = (C_p - C_v) dT$ (式 2)

3. 聯立方程式並整理
   我們有兩個關於 $dT, dV, dp$ 的方程式。
   從式 1，我們得到 $dT = -\frac{p}{C_v} dV$。
   將此 $dT$ 代入式 2：
   $p dV + V dp = (C_p - C_v) (-\frac{p}{C_v} dV)$
   $p dV + V dp = -\frac{C_p - C_v}{C_v} p dV$
   $p dV + V dp = -(\frac{C_p}{C_v} - 1) p dV$

   令 $k = \frac{C_p}{C_v}$ (定壓比熱與定容比熱之比，稱為絕熱指數或比熱比)。
   $p dV + V dp = -(k - 1) p dV$
   $p dV + V dp = -kp dV + p dV$

   將 $p dV$ 項移到一邊：
   $V dp = -kp dV$

核心觀念

本題考查穩態流動能量方程式，以及理想氣體狀態方程式：

1. 由入口截面上的理想氣體密度求質量流率：
   $\dot{m}=\rho A V$

2. 由穩態流動能量方程式求壓縮機輸入功率：

$$\dot{Q}-\dot{W}_{out} =\dot{m}\left[ (h_2-h_1)+\frac{V_2^2-V_1^2}{2} \right]$$

忽略位能變化，且理想氣體具有：

$h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)$

空氣的個別氣體常數取：

$$R_{air}=\frac{R_u}{M} =\frac{8.314}{29} =0.2867\ \text{kJ/(kg·K)} \approx 0.287\ \text{kJ/(kg·K)}$$

其中空氣分子量採 $M=29\ \text{kg/kmol}$。

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解題方法

取壓縮機為控制體，入口狀態標為 1，出口狀態標為 2。

已知：

$$p_1=1\ \text{bar}=100\ \text{kPa}$$ $$T_1=300\ \text{K},\qquad V_1=6\ \text{m/s},\qquad A_1=0.1\ \text{m}^2$$ $$p_2=7\ \text{bar},\qquad T_2=450\ \text{K},\qquad V_2=2\ \text{m/s}$$

熱量由壓縮機傳向外界，因此控制體的熱傳率為：

$$\dot{Q}=-120\ \text{kJ/min} =-\frac{120}{60}\ \text{kW} =-2\ \text{kW}$$

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（a）入口質量流率

1. 求入口密度

理想氣體狀態方程式為：

$$p_1=\rho_1 R_{air}T_1$$

因此：

$$\rho_1=\frac{p_1}{R_{air}T_1}$$

代入數值：

$$\rho_1= \frac{100} {(0.287)(300)} =1.161\ \text{kg/m}^3$$

2. 求質量流率

穩態流動下：

$$\dot{m}=\rho_1 A_1 V_1$$ $$\dot{m} =(1.161)(0.1)(6) =0.697\ \text{kg/s}$$

因此：

$$\boxed{\dot{m}\approx 0.697\ \text{kg/s}}$$

亦可表示為：

$$\dot{m}\approx 41.8\ \text{kg/min}$$

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（b）壓縮機輸入功率

1. 穩態流動能量方程式

對單一入口、單一出口的壓縮機，忽略位能變化：