113 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《流體力學》

本題主要在考驗學生對於流體力學基本名詞的理解與定義。

(a) 雷諾數 (Reynolds Number, Re)
雷諾數是一個無因次參數，用來描述流體流動的慣性力與黏滯力之比。
公式：$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$
其中：
$\rho$: 流體密度 (kg/m³)
$v$: 流體平均速度 (m/s)
$L$: 特徵長度 (m)
$\mu$: 流體動力黏度 (Pa·s)
$\nu$: 流體運動黏度 (m²/s)，$\nu = \mu/\rho$

物理意義：雷諾數的大小可以判斷流態的性質。

• 當 $Re$ 值較小時，黏滯力佔主導地位，流動趨於穩定、平滑，呈現層流 (laminar flow)。
• 當 $Re$ 值較大時，慣性力佔主導地位，流動趨於紊亂、不規則，呈現亂流 (turbulent flow)。
• 在兩者之間存在一個過渡區域。

(b) 停滯點 (Stagnation Point)
停滯點是指流體速度為零的點。在一個流場中，通常出現在物體表面迎向主流的方向。

物理意義：在停滯點處，流體的動能完全轉換為靜壓力能，因此停滯點的靜壓力最高，稱為停滯壓力 (stagnation pressure)。對於不可壓縮無黏性流體，根據白努利定律，停滯點的壓力為 $P_{stag} = P_{inf} + \frac{1}{2}\rho v_{inf}^2$，其中 $P_{inf}$ 和 $v_{inf}$ 分別是遠處主流的壓力與速度。

(c) 雷諾傳輸定理 (Reynolds Transport Theorem, RTT)
雷諾傳輸定理是一個數學工具，用來將物質或物理量在一個固定參考系下的變化率，與其在一個移動參考系下的變化率聯繫起來。

本題考驗學生如何從速度場求取流函數，以及驗證速度場是否為不可壓縮流。

首先，我們定義速度場的分量為：
$u = 2y(2x + 1) = 4xy + 2y$
$v = x(x + 1) - 2y^2 = x^2 + x - 2y^2$

對於二維不可壓縮流，流函數 $\Psi$ 與速度分量 $u$ 和 $v$ 的關係為：
$u = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$
$v = -\frac{\partial \Psi}{\partial x}$

我們首先檢查此速度場是否滿足不可壓縮條件 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4xy + 2y) = 4y$
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + x - 2y^2) = -4y$
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 4y + (-4y) = 0$
速度場滿足不可壓縮條件，因此存在流函數。

現在我們從 $u = \frac{\partial \Psi}{\partial y}$ 開始求解 $\Psi$：
$\Psi = \int u \, dy = \int (4xy + 2y) \, dy = 4x \frac{y^2}{2} + 2 \frac{y^2}{2} + f(x)$

核心觀念

容器以固定加速度下滑時，應在隨容器移動的座標系中觀察。此時水相對容器為靜止，但會受到「等效重力」作用。自由液面為等壓面，因此其法線方向必與等效重力方向一致。

依圖中座標，取：

• $+x$：沿斜面向下；
• $+y$：垂直斜面向外；
• 斜面角度：$\theta=30^\circ$；
• 容器加速度：$a_x=3\ \mathrm{m/s^2}$。

解題方法

重力在斜面座標中的分量為

$$\mathbf{g} = g\sin\theta\,\mathbf{i} - g\cos\theta\,\mathbf{j}.$$

容器加速度為

$$\mathbf{a}_0=a_x\mathbf{i}.$$

因此，在容器參考系中的等效重力為

$$\mathbf{g}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{g}-\mathbf{a}_0 = (g\sin\theta-a_x)\mathbf{i} - g\cos\theta\,\mathbf{j}.$$

水在容器中靜止，故壓力梯度滿足

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \rho(g\sin\theta-a_x),$$ $$\frac{\partial p}{\partial y} = -\rho g\cos\theta.$$

自由液面上的壓力皆為大氣壓，故沿自由液面有 $dp=0$：

$$dp = \frac{\partial p}{\partial x}\,dx + \frac{\partial p}{\partial y}\,dy =0.$$

因此自由液面的斜率為

核心觀念

這題考兩平板間的平行層流，也就是庫埃特流與壓力驅動泊肅葉流的疊加。取圖中 $x$ 軸向右、$y=0$ 為兩板中線，底板位於 $y=-h$ 且固定，頂板位於 $y=h$ 並以 $V_0$ 向右移動。假設流體為不可壓縮、牛頓流體，且流動為穩態、充分發展，因此速度只有 $x$ 分量 $u(y)$。

解題方法

充分發展流的 $x$ 方向動量方程為

$$0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}.$$

積分兩次，並套用無滑移邊界條件 $u(-h)=0$、$u(h)=V_0$，得到速度分布

$$u(y)=\frac{V_0(y+h)}{2h} +\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}(y^2-h^2), \qquad -h\le y\le h.$$

第一項是頂板移動造成的庫埃特流；第二項是壓力梯度造成的泊肅葉流。

每單位板寬的流量為

$$q=\int_{-h}^{h}u(y)\,dy =V_0h-\frac{2h^3}{3\mu}\frac{dp}{dx}.$$

令流量 $q=0$，可得所需壓力梯度

$$\frac{dp}{dx}=\frac{3\mu V_0}{2h^2}.$$

這個結果為正值，表示壓力須沿 $x$ 方向增加，形成反向壓力驅動流，才能抵銷頂板向右移動造成的流量。

流體微團繞 $z$ 軸的角速度，也就是旋轉率，為

核心觀念

本題利用 Buckingham $\Pi$ 定理，將轉彎葉片的壓降表示為

$$C_p=f(Re_L)$$

其中

$$Re_L=\frac{VL}{\nu}$$

為以葉片長度 $L$ 為特徵長度的 Reynolds 數；壓力係數定義為

$$C_p=\frac{\Delta p}{\frac12\rho V^2} =\frac{2\Delta p}{\rho V^2}$$

水在 $20^\circ\mathrm{C}$ 時取

$$\rho=998\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \nu=1.004\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$$

---

解題方法

先由各組 $V$、$L$ 計算 $Re_L$，再由壓降計算 $C_p$。

$L$ (m)	$V$ (m/s)	$Re_L$	$\Delta p$ (Pa)	$C_p$
0.15	0.5	$7.47\times10^4$	62	0.497
0.15	1.0	$1.49\times10^5$	175	0.351
0.15	1.5	$2.24\times10^5$	540	0.481
0.15	2.0	$2.99\times10^5$	1175	0.589
0.30	0.5	$1.49\times10^5$	41	0.329
0.30	1.0	$2.99\times10^5$	300	0.601
0.30	1.5	$4.48\times10^5$	910	0.811
0.30	2.0	$5.98\times10^5$	2100	1.052

例如第一筆資料：

$$Re_L=\frac{(0.5)(0.15)}{1.004\times10^{-6}} =7.47\times10^4$$ $$C_p=\frac{62}{\frac12(998)(0.5)^2} =0.497$$

在雙對數座標上繪製上述 $Re_L$ 與 $C_p$，資料大致呈直線關係。

---

(b) 冪次關係擬合

題目要求

$$C_p=CRe_L^n$$

取自然對數：

核心觀念

活塞與缸壁之間的徑向間隙很小，可視為薄油膜的平面剪切流。使用牛頓黏性定律：

$$\tau=\mu\frac{U}{h}$$

其中：

• $\mu$：動力黏度
• $U$：活塞速度
• $h$：油膜厚度
• $\tau$：油膜剪應力

黏性摩擦力為

$$F=\tau A$$

功率則為

$$P=FU$$

解題方法

1. 求動力黏度

由比重得潤滑油密度：

$$\rho=SG\cdot\rho_{\text{water}} =0.92(1000) =920\ \text{kg/m}^3$$

動力黏度為：

$$\mu=\rho\nu =(920)(2.8\times10^{-5}) =0.02576\ \text{Pa}\cdot\text{s}$$

2. 求油膜厚度與剪切面積

圖中活塞直徑為 $150\ \text{mm}$，缸內徑為 $150.2\ \text{mm}$，因此徑向間隙為直徑差的一半：

$$h=\frac{150.2-150}{2}\ \text{mm} =0.1\ \text{mm} =1.0\times10^{-4}\ \text{m}$$

活塞長度由圖得：

$$L=300\ \text{mm}=0.3\ \text{m}$$

活塞外圓柱面的剪切面積：

$$A=\pi D L =\pi(0.15)(0.3) =0.14137\ \text{m}^2$$