112 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班丁組《流體力學》

本題考查牛頓第二運動定律在流體中的應用，特別是考慮了重力、浮力與曳力。我們要分析一個小球在流體中下落的運動，並推導其速度與時間的關係，以及終端速度，最後利用實驗數據估計流體的黏滯係數。

首先，我們需要建立小球在流體中運動的自由體圖（Free Body Diagram, FBD）以及運動方程式。

自由體圖 (Free Body Diagram):
小球在流體中受到三個主要的力：

1. 重力 ($F_G$): 方向向下，大小為球的質量乘以重力加速度 $g$。
2. 浮力 ($F_B$): 方向向上，大小等於球所排開流體所受的重力。
3. 曳力 ($F_D$): 方向與速度方向相反，在此情況下是向上。

力的計算:

• 重力 ($F_G$):
  球的質量 $m = \rho_b \times V_{ball}$，其中 $V_{ball}$ 是球的體積。
  球的體積 $V_{ball} = \frac{4}{3}\pi R^3$。
  所以，重力 $F_G = m g = \rho_b \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g$。

• 浮力 ($F_B$):
  根據阿基米德原理，浮力等於球所排開流體的重量。
  排開流體的體積等於球的體積 $V_{ball} = \frac{4}{3}\pi R^3$。
  所以，浮力 $F_B = \rho_f \times V_{ball} \times g = \rho_f \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g$。

• 曳力 ($F_D$):
  題目給定曳力與速度成正比，形式為 $F_D = 6\pi\mu VR$。

運動方程式 (Governing Equation):
根據牛頓第二運動定律，合力等於質量乘以加速度 ($\Sigma F = m a$)。
我們定義向下為正方向。
$F_G - F_B - F_D = m a$
$\rho_b \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g - \rho_f \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g - 6\pi\mu VR = \left( \rho_b \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{dV}{dt}$

將常數項提出，令 $C_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$。
$\rho_b C_1 g - \rho_f C_1 g - 6\pi\mu VR = \rho_b C_1 \frac{dV}{dt}$

整理後得到一個一階線性常微分方程式：
$\rho_b C_1 \frac{dV}{dt} + 6\pi\mu R V = (\rho_b - \rho_f) C_1 g$

將 $\rho_b C_1$ 除過去：
$\frac{dV}{dt} + \frac{6\pi\mu R}{\rho_b C_1} V = \frac{(\rho_b - \rho_f) C_1 g}{\rho_b C_1}$
$\frac{dV}{dt} + \frac{6\pi\mu R}{\rho_b (\frac{4}{3}\pi R^3)} V = \frac{(\rho_b - \rho_f) g}{\rho_b}$
$\frac{dV}{dt} + \frac{6\mu R}{ \rho_b (\frac{4}{3} R^3)} V = \left( 1 - \frac{\rho_f}{\rho_b} \right) g$
$\frac{dV}{dt} + \frac{18\mu}{4\rho_b R^2} V = \left( 1 - \frac{\rho_f}{\rho_b} \right) g$
$\frac{dV}{dt} + \frac{9\mu}{2\rho_b R^2} V = \left( 1 - \frac{\rho_f}{\rho_b} \right) g$

令 $\tau = \frac{2\rho_b R^2}{9\mu}$ (時間常數) 和 $V_{term} = \left( 1 - \frac{\rho_f}{\rho_b} \right) g$。
則方程式變為：
$\frac{dV}{dt} + \frac{1}{\tau} V = V_{term} g$ (注意：這裡的 $V_{term}$ 已經包含 $g$ 了，所以方程式應為 $\frac{dV}{dt} + \frac{1}{\tau} V = V_{term}$，或者我們重新定義 $V_{term}$ 為終端速度)

我們知道終端速度 $V_t$ 是當 $a = \frac{dV}{dt} = 0$ 時的速度。
此時，$F_G - F_B - F_D = 0$。
$(\rho_b - \rho_f) \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g = 6\pi\mu V_t R$
$V_t = \frac{(\rho_b - \rho_f) \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) g}{6\pi\mu R} = \frac{2(\rho_b - \rho_f) R^2 g}{9\mu}$

所以，運動方程式可以寫成：
$\frac{dV}{dt} + \frac{9\mu}{2\rho_b R^2} V = \frac{9\mu}{2\rho_b R^2} \frac{2(\rho_b - \rho_f) R^2 g}{9\mu} = \frac{(\rho_b - \rho_f) g}{\rho_b}$
$\frac{dV}{dt} + \frac{1}{\tau} V = V_t$
其中 $\tau = \frac{2\rho_b R^2}{9\mu}$ 且 $V_t = \frac{2(\rho_b - \rho_f) R^2 g}{9\mu}$。

(a) Find out the velocity as function of time $V(t)$.
這個方程式是標準的一階線性微分方程式。我們可以通過積分因子法求解。

核心觀念

本題利用：

1. 連續方程式

$V=\frac{Q}{A}$

2. 伯努力方程式：求出口截面 2 的壓力。

3. 控制體動量方程式：求管壁對流體的作用力，再由牛頓第三定律得到水對彎管的作用力。

4. 必須計入彎管內水的重量。由圖可知彎管外半徑為 $1.5\ \text{m}$、內半徑為 $0.6\ \text{m}$，因此管徑為

$D=1.5-0.6=0.9\ \text{m}$

彎管中心線半徑為

$R_c=\frac{1.5+0.6}{2}=1.05\ \text{m}$

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解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，控制體為彎管內的水。

1. 流速與流量

管截面積：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.9)^2}{4} =0.6362\ \text{m}^2$$

因此流速為：

$$V=\frac{Q}{A} =\frac{2.83}{0.6362} =4.45\ \text{m/s}$$

入口流速向上，出口流速向右：

$$\vec V_1=V\hat j,\qquad \vec V_2=V\hat i$$

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2. 由伯努力方程式求出口壓力

彎管中心線兩截面的高程差為：

$z_2-z_1=R_c=1.05\ \text{m}$

因管徑相同，$V_1=V_2$；且無水頭損失：

$$\frac{p_1}{\rho g}+z_1 = \frac{p_2}{\rho g}+z_2$$

所以：

$p_2=p_1-\rho g(z_2-z_1)$

代入 $\rho=999\ \text{kg/m}^3$、$p_1=34.5\ \text{kPa}$：

$$p_2 =34.5 -\frac{999(9.81)(1.05)}{1000} =24.20\ \text{kPa}$$

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3. 彎管內水的重量

彎管中心線長度為：

$$L=\frac{\pi}{2}R_c =\frac{\pi}{2}(1.05) =1.649\ \text{m}$$

彎管內水的體積：

$$\mathcal V=AL =(0.6362)(1.649) =1.049\ \text{m}^3$$

水的重量：

$$W=\rho g\mathcal V =(999)(9.81)(1.049) =10.28\ \text{kN}$$

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4. 動量方程式

質量流率造成的動量變化量：

本題考查浮力與液體密度的關係，以及浮力計（hydrometer）的原理。浮力計利用物體（浮筒）在不同密度液體中，因浮力平衡而達到的浸入深度不同來指示液體的密度（或比重）。

核心觀念:
當物體漂浮在液體中時，其所受的浮力等於其自身的重量。浮力大小等於物體排開液體的重量。

已知條件:

• 浮力計在蒸餾水（distilled water）中的浸入體積為 $V_w$。
• 浮力計的讀數 1.0 標記在蒸餾水中時，自由液面與 1.0 標記重合。
• 浮力計的莖部（stem）直徑為 $d$。
• 浮力計被放置在一個密度與蒸餾水有關的溶液中，該溶液的比重（specific gravity）為 $SG_n$。
• 我們需要找出從 1.0 標記到溶液自由液面的距離 $h$。

步驟:

1. 定義相關參數:

   • 浮力計的總質量 $m_{hydrometer}$。
   • 蒸餾水的密度 $\rho_{water}$。
   • 目標溶液的密度 $\rho_{solution}$。
   • 浮力計莖部的截面積 $A_{stem} = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$。

2. 分析浮力計在蒸餾水中的情況:
   當浮力計漂浮在蒸餾水中時，浮力 $F_{B,w}$ 等於其重量 $W$。
   $W = m_{hydrometer} g$
   浮力 $F_{B,w} = \rho_{water} V_w g$
   因此，浮力計的質量為：
   $m_{hydrometer} = \rho_{water} V_w$

3. 分析浮力計在目標溶液中的情況:
   當浮力計漂浮在密度為 $\rho_{solution}$ 的溶液中時，浮力 $F_{B,n}$ 也等於其重量 $W$。
   $F_{B,n} = \rho_{solution} V_{immersed, n} g$
   其中 $V_{immersed, n}$ 是在溶液中浸入的總體積。
   由於 $W = m_{hydrometer} g = (\rho_{water} V_w) g$，所以
   $\rho_{solution} V_{immersed, n} g = (\rho_{water} V_w) g$
   $V_{immersed, n} = V_w \frac{\rho_{water}}{\rho_{solution}}$

4. 利用比重 $SG_n$:
   比重（Specific Gravity, SG）的定義是物質的密度與參考物質（通常是水）密度的比值。
   $SG_n = \frac{\rho_{solution}}{\rho_{water}}$
   所以，$\rho_{solution} = SG_n \rho_{water}$。

   將此代入浸入體積的公式：
   $V_{immersed, n} = V_w \frac{\rho_{water}}{SG_n \rho_{water}} = \frac{V_w}{SG_n}$

5. 計算浸入深度 $h$:
   在蒸餾水中，浸入體積為 $V_w$。假設從 1.0 標記到水面的距離是 $h_w$。那麼 $V_w$ 可以看作是莖部一部分體積加上浮力計主體（如果主體在水面以下）的體積。
   題目說明「The 1.0 mark is the level when in distilled water. For the unit shown, the immersed volume in distilled water is $V_w$」。這表示當浮力計浸入 $V_w$ 的體積時，液面恰好到達 1.0 標記。
   當浮力計浸入溶液中時，總浸入體積為 $V_{immersed, n} = \frac{V_w}{SG_n}$。
   這個浸入體積 $V_{immersed, n}$ 包含了 1.0 標記以下的體積以及從 1.0 標記到新的液面（距離為 $h$）的體積。
   從圖中可以看出，1.0 標記是基準線。當浮力計浸入蒸餾水時，液面與 1.0 標記重合，此時的浸入體積是 $V_w$。
   當浮力計浸入比重為 $SG_n$ 的溶液中時，浸入體積變為 $V_{immersed, n} = V_w / SG_n$。
   由於 $SG_n$ 通常大於 1（比重為 1.0 是蒸餾水），所以 $V_{immersed, n} < V_w$。這意味著浮力計在密度較大的溶液中浸入得更淺。
   新的液面將會高於 1.0 標記。題目要求的是從 1.0 標記到新的自由液面的距離 $h$。

   令 $V_{1.0}$ 為從浮力計底部到 1.0 標記的體積。
   則在蒸餾水中，總浸入體積 $V_w$ 可能是：
   $V_w = V_{1.0} + \text{Volume of main body below 1.0 mark}$ (如果 1.0 標記不在最底部)
   但是，題目提到「The 1.0 mark is the level when in distilled water. For the unit shown, the immersed volume in distilled water is $V_w$」。

核心觀念

本題是「傾斜多孔平板間的穩態、充分發展流」問題，重點包括：

• 連續方程式；
• 含壓力梯度與重力的 $x$ 方向 Navier–Stokes 方程式；
• 多孔壁造成的均勻法向速度；
• 上、下平板的無滑移邊界條件。

依圖取 $x$ 軸沿斜板向下，$y$ 軸垂直斜板向上，兩板位置為

$$y=-h,\qquad y=h$$

因此板間距為 $2h$。上板將流體噴入間隙、下板將流體抽出，所以板間法向速度為

$$v_y=-v$$

且流向僅依賴 $y$：

$$u=u(y),\qquad v_y=-v$$

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解題方法

1. 連續方程式

對穩態不可壓縮流：

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}=0$$

由於流場充分發展，$u$ 只依賴 $y$，且 $v_y=-v$ 為常數，因此連續方程式自然滿足。

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2. $x$ 方向動量方程式

斜板方向的重力分量為

$$g_x=g\sin\alpha$$

穩態 $x$ 方向 Navier–Stokes 方程式為

$$\rho\left( u\frac{\partial u}{\partial x} + v_y\frac{du}{dy} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{d^2u}{dy^2} + \rho g\sin\alpha$$

因為 $\partial u/\partial x=0$、$v_y=-v$，且

$$\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{p_0}{L}$$

故

$$-\rho v\frac{du}{dy} = -\frac{p_0}{L} + \mu\frac{d^2u}{dy^2} + \rho g\sin\alpha$$

整理得

$$\mu\frac{d^2u}{dy^2} + \rho v\frac{du}{dy} = \frac{p_0}{L} - \rho g\sin\alpha$$

令

$$C=\frac{p_0}{L}-\rho g\sin\alpha, \qquad k=\frac{\rho v}{\mu}$$

則微分方程式為

$$\frac{d^2u}{dy^2} + k\frac{du}{dy} = \frac{C}{\mu}$$

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3. 求解速度分布

令 $w=du/dy$，則

$$\frac{dw}{dy}+kw=\frac{C}{\mu}$$

解得

核心觀念

本題考查螺旋槳在忽略黏滯力時的動力相似律。動力相似要求模型與原型具有相同的無因次參數，主要包括：

1. 進速比相同

   $$J=\frac{V}{nD}$$

   其中 $V$ 為來流速度、$n$ 為轉速（rev/s）、$D$ 為螺旋槳直徑。

2. 推力係數相同

   $$C_T=\frac{T}{\rho n^2D^4}$$

3. 扭矩係數相同

   $$C_Q=\frac{Q}{\rho n^2D^5}$$

   題目要求「包括密度」，因此推力與扭矩的相似關係中必須保留空氣密度 $\rho$。

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解題方法

模型與原型在動力相似條件下，進速比相同，因此

$$\frac{V_m}{n_mD_m} = \frac{V_p}{n_pD_p}$$

已知

$$D_m=1\ \text{m},\qquad D_p=8D_m=8\ \text{m}$$ $$V_m=50\ \text{m/s},\qquad V_p=150\ \text{m/s}$$

模型轉速為

$$n_m=2000\ \text{rpm}$$

因此原型轉速為

$$n_p = n_m\frac{V_p}{V_m}\frac{D_m}{D_p}$$ $$n_p = 2000 \left(\frac{150}{50}\right) \left(\frac{1}{8}\right) = 750\ \text{rpm}$$

所以原型螺旋槳的轉速為

$$\boxed{n_p=750\ \text{rpm}}$$

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1. 原型推力

動力相似時，若模型與原型處於相同進速比，則 $C_T$ 相同：

$$\frac{T_m}{\rho_m n_m^2D_m^4} = \frac{T_p}{\rho_p n_p^2D_p^4}$$

整理得

$$\frac{T_p}{T_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m} \left(\frac{n_p}{n_m}\right)^2 \left(\frac{D_p}{D_m}\right)^4$$

本題未指定模型與原型的空氣密度差異，採用相同空氣密度：

$$\rho_p=\rho_m$$

因此

$$T_p = 100 \left(\frac{750}{2000}\right)^2 (8)^4$$ $$T_p = 100 \left(\frac{3}{8}\right)^2 (4096)$$ $$T_p=57\,600\ \text{N}$$

本題考查在傾斜平面上的穩態、完全發展的層狀薄膜流動（laminar film flow）。我們需要簡化納維爾-斯托克斯方程式，得到速度剖面，並將薄膜厚度與體積流量關聯起來，最後計算特定條件下的體積流量。

核心觀念:
這是典型的自由表面流動問題，在重力作用下，流體沿著傾斜表面形成一層均勻厚度的薄膜。關鍵在於簡化流動方程式，利用對稱性和穩態假設。

已知條件:

• 流體：某液體（密度 $\rho$，黏滯係數 $\mu$）。
• 幾何：傾斜平面，與水平夾角 $\theta$。
• 流動特徵：穩態、完全發展的層狀流。
• 薄膜厚度：$h$。
• 寬度：$b$ (垂直於流動方向)。
• 計算時的條件：水，$h = 2 \text{ mm}$, $b = 1 \text{ m}$, $\theta = 15^\circ$。

步驟:

1. 建立座標系與簡化方程式:
   我們建立一個與流動方向相符的座標系：

   • $x$ 軸：沿著傾斜平面向下。
   • $y$ 軸：垂直於傾斜平面向上。
   • $z$ 軸：垂直於 $x-y$ 平面（沿著寬度方向）。

   由於流動是完全發展的，速度分佈不隨 $x$ 方向變化，即 $\frac{\partial}{\partial x} = 0$。
   由於流動是薄膜流，且我們考慮的是沿流動方向的速度，速度分佈不隨 $z$ 方向變化，即 $\frac{\partial}{\partial z} = 0$。
   流動是穩態的，所以 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$。
   流體是不可壓縮的。

   速度向量：$\vec{v} = (u(y), 0, 0)$，其中 $u$ 是沿 $x$ 方向的速度，且僅依賴於 $y$。
   （註：如果考慮 $z$ 方向的速度，則 $\vec{v} = (u(y), 0, w(y))$，但由於寬度無限大或對稱，通常 $w=0$）。
   我們假設 $w=0$。

   簡化連續方程式: $\nabla \cdot \vec{v} = 0$
   $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
   由於 $u=u(y), v=0, w=0$，且 $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z} = 0$，此式自動滿足。

   簡化納維爾-斯托克斯方程式:
   考慮 $x$ 方向的動量方程式：
   $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + F_{gx}$
   代入簡化條件：
   $\rho (0 + u \cdot 0 + 0 \cdot \frac{du}{dy} + 0 \cdot 0) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu (0 + \frac{d^2 u}{dy^2} + 0) + F_{gx}$
   $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{dy^2} + F_{gx}$

   $F_{gx}$ 是 $x$ 方向的重力分量。
   重力向量是 $\vec{g} = (g \sin\theta, -g \cos\theta, 0)$ (假設 $y$ 軸向上，$\theta$ 是平面與水平的夾角)。
   所以，$F_{gx} = g \sin\theta$。
   $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{dy^2} + \rho g \sin\theta$

   壓力梯度 $\frac{\partial p}{\partial x}$:
   在自由表面流中，壓力在自由表面（$y=h$）是常壓（通常設為零，即 $p_{atm}=0$）。
   在 $y$ 方向上，由於流動是完全發展的，壓力不隨 $y$ 變化，所以 $\frac{\partial p}{\partial y} = 0$。
   因此，壓力 $p$ 不隨 $x$ 變化，即 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$。
   （嚴格來說，如果考慮液面形狀的微小波動，壓力可能隨 $x$ 變化，但對於完全發展的薄膜流，通常假設 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$）。

   將 $\frac{\partial p}{\partial x} = 0$ 代入方程式：
   $0 = 0 + \mu \frac{d^2 u}{dy^2} + \rho g \sin\theta$
   $\mu \frac{d^2 u}{dy^2} = -\rho g \sin\theta$
   $\frac{d^2 u}{dy^2} = -\frac{\rho g \sin\theta}{\mu}$

   2. 求解速度剖面 $u(y)$:
      積分一次：
      $\frac{du}{dy} = -\frac{\rho g \sin\theta}{\mu} y + C_1$
      積分二次：
      $u(y) = -\frac{\rho g \sin\theta}{2\mu} y^2 + C_1 y + C_2$

   3. 應用邊界條件:

      • 自由表面 (y=h): 由於是自由表面，且沒有外力作用在表面上，壓力梯度為零，速度梯度為零（如果忽略表面張力）。在這裡，我們通常假設速度梯度為零，或者速度本身為零。對於完全發展的層流，最常見的邊界條件是：
        (a) 自由表面上的剪應力為零：$\mu \frac{du}{dy} \bigg|_{y=h} = 0$。
        (b) 另一種可能的邊界條件是，如果我們考慮表面張力，但這裡沒有提到。