115 年國立成功大學工程科學系碩士班己組《工程力學（含靜力及動力）》考古題與詳解

Question 1

1. (5%) Determine the total surface area of a right circular cylinder with a radius of 2.5 cm and a height of 1.5 cm.

Accepted Answer

此題考查圓柱體的表面積計算。

一個底半徑為 $r$ 且高為 $h$ 的圓柱體，其總表面積包含兩個圓形底面積以及側面的矩形面積。
圓柱體的底面積為 $A_{base} = \pi r^2$ 。
圓柱體的側面積為 $A_{lateral} = 2 \pi r h$ 。
因此，總表面積為 $A_{total} = 2 A_{base} + A_{lateral} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r+h)$ 。

題目給定：
半徑 $r = 2.5$ cm
高 $h = 1.5$ cm

Question 2

2. (5%) Suppose $A = B^p C^q$, where A has dimensions $L^2T^{-2}$, B has dimensions $L^4T^{-2}$, and C has dimensions $L^2T^4$. Determine the values of exponents p and q.

Accepted Answer

此題考查量綱分析，利用等式兩邊的量綱必須一致來求解未知指數。

給定的量綱關係為 $A = B^p C^q$ 。
已知各物理量的量綱：
A: $[A] = L^2T^{-2}$
B: $[B] = L^4T^{-2}$
C: $[C] = L^2T^4$

將這些量綱代入等式中：
$[A] = [B]^p [C]^q$
$L^2T^{-2} = (L^4T^{-2})^p (L^2T^4)^q$
$L^2T^{-2} = L^{4p} T^{-2p} L^{2q} T^{4q}$
$L^2T^{-2} = L^{4p+2q} T^{-2p+4q}$

為了使等式兩邊的量綱一致，指數必須分別相等：
對於長度 L： $2 = 4p + 2q$ (方程式 1)
對於時間 T： $-2 = -2p + 4q$ (方程式 2)

現在我們需要解這兩個聯立方程式來求 $p$ 和 $q$ 。

從方程式 1，可以簡化為： $1 = 2p + q$ => $q = 1 - 2p$

Question 3

3. (5%) The coordinate of a particle in meters is given by $x(t) = 24t - 4t^3$, where the time $t$ is in seconds. The particle is momentarily at rest at $t =?$

Accepted Answer

核心觀念 粒子的速度是位置對時間的導數： $$ v(t)=\frac{dx}{dt} $$ 粒子瞬間靜止的條件是速度為零，即 $v(t)=0$。 解題方法 已知位置函數 $$ x(t)=24t-4t^3 $$ 對時間 $t$ 微分，得到速度： $$ v(t)=\frac{dx}{dt}=24-12t^2 $$ 令速度等於零： $$ 24-12t^2=0 $$

Question 4

4. (5%) Let $\vec{S} = (1	ext{m})\hat{i}+(2	ext{m})\hat{j}+(2	ext{m})\hat{k}$ and $\vec{T} = (5	ext{m})\hat{i}+(0	ext{m})\hat{j}+(12	ext{m})\hat{k}$. Determine the angle between these two vectors.

Accepted Answer

此題考查向量夾角的計算，可以使用向量點積的定義來求解。

已知兩個向量 $\vec{S}$ 和 $\vec{T}$ ：
$\vec{S} = (1\text{m})\hat{i}+(2\text{m})\hat{j}+(2\text{m})\hat{k}$
$\vec{T} = (5\text{m})\hat{i}+(0\text{m})\hat{j}+(12\text{m})\hat{k}$

向量點積的定義是：
$\vec{S} \cdot \vec{T} = |\vec{S}| |\vec{T}| \cos\theta$
其中 $\theta$ 是兩個向量之間的夾角。

我們可以透過點積的另一種計算方式來求解：
$\vec{S} \cdot \vec{T} = S_x T_x + S_y T_y + S_z T_z$

首先計算點積 $\vec{S} \cdot \vec{T}$ ：
$\vec{S} \cdot \vec{T} = (1)(5) + (2)(0) + (2)(12)$
$\vec{S} \cdot \vec{T} = 5 + 0 + 24$
$\vec{S} \cdot \vec{T} = 29 \text{ m}^2$

接下來計算兩個向量的 magnitud (長度)：
$|\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2 + S_z^2} = \sqrt{(1\text{m})^2 + (2\text{m})^2 + (2\text{m})^2}$

Question 5

5. (25%) A rectangular plate is supported by three cables as shown. Knowing that the tension in cable $AD$ is 390N, determine the weight of the plate. (Dimensions in mm) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （圖中 $y$ 軸鉛直向上，$x$、$z$ 軸在水平矩形板的板面上，原點 O 在 A 點正下方，A 點高 480 mm。三條纜索 AB、AC、AD 自 A 點分別連到板上的 B、C、D 三點。B、C 兩點位於板靠 $z$ 軸正向的前緣上：沿 $x$ 方向，前緣左端板角到 B 為 130 mm、B 到 $z$ 軸為 320 mm、$z$ 軸到 C（右前方板角）為 450 mm。沿 $z$ 方向，前緣到 $x$ 軸為 360 mm、$x$ 軸到後緣為 360 mm。D 點位於後緣上，在 $z$ 軸的 $x$ 正側、與 $z$ 軸相距 250 mm。）

Accepted Answer

核心觀念 這題考三維靜力平衡。將矩形板視為剛體，列出各纜索的三維力分量，再使用 $\sum Fx=0$、$\sum Fy=0$、$\sum Fz=0$。 矩形板的尺寸以 $O$ 為中心對稱，因此板的重心在 $O$。三條纜索交於 $A$，先由水平力平衡求出纜索張力，再由鉛直力平衡求板重。 解題方法 依圖取 $O=(0,0,0)$，$y$ 軸鉛直向上。三個吊點與 $A$ 的座標為 $$ A=(0,480,0),\quad B=(-320,0,360),\quad C=(450,0,360),\quad D=(250,0,-360)\quad(\mathrm{mm}) $$ 各纜索方向由吊點指向 $A$。長度與單位方向向量為 $$ \overrightarrow{BA}=(320,480,-360),\qquad |BA|=680 $$ $$ \overrightarrow{CA}=(-450,480,-360),\qquad |CA|=750 $$ $$ \overrightarrow{DA}=(-250,480,360),\qquad |DA|=650 $$ 設 $T{AB}$、$T{AC}$ 為未知張力，已知 $T{AD}=390\,\mathrm{N}$。各纜索的單位方向向量為

Question 6

6. (15%) Knowing that the coefficient of friction between the 30-kg block and the incline is $\mus = 0.25$, determine (a) the smallest value of P required to start the block moving up the incline, (b) the corresponding value of $	heta$. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （斜面與水平面夾 30°，30 kg 的木塊置於斜面上；拉力 P 作用在木塊上、指向斜面上方，與斜面的夾角為 $	heta$。）

Accepted Answer

核心觀念 木塊即將沿斜面向上滑動時，靜摩擦力沿斜面向下，且大小達到極限值 $fs=\mus N$。拉力 $P$ 的法向分量會減小正向力，因此必須將 $P$ 分解為平行與垂直斜面的分量。 解題方法 取沿斜面向上及垂直斜面向外為正方向。斜面角為 $30^\circ$，拉力與斜面的夾角為 $	heta$。垂直斜面方向平衡： $$ N+P\sin	heta-mg\cos30^\circ=0 $$ 因此 $$ N=mg\cos30^\circ-P\sin	heta $$ 即將向上滑動時，沿斜面方向的平衡式為 $$ P\cos	heta-mg\sin30^\circ-\musN=0 $$ 代入正向力： $$ P(\cos	heta+\mus\sin	heta) =mg(\sin30^\circ+\mus\cos30^\circ) $$ 要使所需的 $P$ 最小，需讓左側括號中的 $\cos	heta+\mus\sin	heta$ 最大。對 $	heta$ 微分並令其為零： $$ -\sin	heta+\mus\cos	heta=0 $$ $$ 	an	heta=\mus=0.25 $$

Question 7

7. (20%) A volleyball player serves the ball with an initial velocity $v0$ of magnitude 14 m/s at an angle of 20° with the horizontal. Determine (a) if the ball will clear the top of the net, (b) how far from the net the ball will land. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （球員在距球網水平距離 10 m 處發球，出手點離地 2 m，初速 $v0$ 與水平夾 20°；球網高 2.5 m。）

Accepted Answer

核心觀念 忽略空氣阻力，排球視為質點，水平與鉛直方向分別作等速與等加速度運動。設出手點為原點，水平向前為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸，則 $$ x=v0\cos	heta\,t,\qquad y=v0\sin	heta\,t-\frac{1}{2}gt^2 $$ 消去時間 $t$，得到球的軌跡： $$ y=x	an	heta-\frac{gx^2}{2v0^2\cos^2	heta} $$ 依圖，出手點離地 $2\,	ext{m}$，球網距發球點 $10\,	ext{m}$，網頂離地 $2.5\,	ext{m}$。 解題方法 取 $g=9.81\,	ext{m/s}^2$，球的初速分量為 $$ v{0x}=14\cos20^\circ=13.16\,	ext{m/s},\qquad v{0y}=14\sin20^\circ=4.79\,	ext{m/s} $$ (a) 判斷球是否過網：將 $x=10\,	ext{m}$ 代入軌跡方程，並加上出手點離地高度 $2\,	ext{m}$：

Question 8

8. (20%) Two identical blocks are released from rest. Neglecting the mass of the pulleys and the effect of friction, determine the velocity of Block B after it has moved 1 m. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 （三角形支架的左右兩個斜面與水平面皆夾 60°，頂點裝有一個定滑輪。1 kg 的木塊 A 位於左斜面，A 上裝有一個動滑輪；1 kg 的木塊 B 位於右斜面。繩子一端繫在 B 上，沿右斜面向上繞過頂點的定滑輪，再沿左斜面向下繞過 A 的動滑輪，另一端固定在左斜面上 A 上方的一點；各段繩子皆與斜面平行。）

Accepted Answer

核心觀念 本題考察無質量繩與滑輪的繩長拘束，以及由靜止釋放時的機械能守恆。A 上的動滑輪由兩段繩子支承，因此 A 的位移會使這兩段繩長同時改變；B 則只影響一段繩長。 解題方法 令 $sA$、$sB$ 分別表示 A、B 沿各自斜面「向下、遠離頂點」的位移。繩長固定，因此 $$ 2sA+sB=	ext{常數} $$ 微分後得到速度關係： $$ 2vA+vB=0 $$ 所以兩塊運動方向相反，且 $|vA|=|vB|/2$。若 B 沿右斜面向下移動 $1\,	ext{m}$，A 就沿左斜面向上移動 $0.5\,	ext{m}$。 兩斜面與水平面的夾角皆為 $60^\circ$。從靜止開始，重力對系統所做的淨功等於兩塊動能的增加。B 下降、A 上升，故

115 年國立成功大學工程科學系碩士班己組《工程力學（含靜力及動力）》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題25 分

第 6 題15 分

第 7 題20 分

第 8 題20 分

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