115 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《訊號與系統》

本題主要考驗對一個連續時間系統的線性 (Linearity)、時域不變性 (Time Invariance)、BIBO 穩定性 (BIBO Stability) 和因果性 (Causality) 的判斷能力。

核心觀念：

1. 線性 (Linearity)：系統滿足疊加性 (Superposition)。對於任意輸入 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$，以及任意常數 $a$ 和 $b$：
   • 齊一性 (Homogeneity)：$T\{ax(t)\} = aT\{x(t)\}$
   • 疊加性 (Additivity)：$T\{x_1(t) + x_2(t)\} = T\{x_1(t)\} + T\{x_2(t)\}$
     若兩者皆滿足，則系統為線性。
2. 時域不變性 (Time Invariance)：若輸入延遲 $t_0$，則輸出也延遲 $t_0$。即 $T\{x(t-t_0)\} = y(t-t_0)$。
3. BIBO 穩定性 (Bounded-Input, Bounded-Output Stability)：對於任意有界的輸入訊號 $x(t)$（即 $|x(t)| \leq M_x < \infty$ 對所有 $t$），輸出訊號 $y(t)$ 必須是有界的（即 $|y(t)| \leq M_y < \infty$ 對所有 $t$）。
4. 因果性 (Causality)：系統的輸出在任何時刻 $t$ 的值，只取決於當前時刻 $t$ 或過去時刻（$t' \leq t$）的輸入值，而不取決於未來時刻（$t' > t$）的輸入值。

給定系統為 $y(t) = T\{x(t)\} = t \cdot \cos(t) \cdot x(t+2)$。

(1) 線性 (Linearity)
我們需要檢查系統是否滿足齊一性和疊加性。

• 齊一性 (Homogeneity)：
  令 $y_1(t) = T\{ax(t)\}$。
  根據系統定義，$y_1(t) = t \cdot \cos(t) \cdot (ax(t+2)) = a \cdot t \cdot \cos(t) \cdot x(t+2)$。
  令 $y(t) = T\{x(t)\} = t \cdot \cos(t) \cdot x(t+2)$。
  則 $a \cdot y(t) = a \cdot t \cdot \cos(t) \cdot x(t+2)$。
  所以，$y_1(t) = a \cdot y(t)$。齊一性滿足。

• 疊加性 (Additivity)：
  令 $y_2(t) = T\{x_1(t) + x_2(t)\}$。
  根據系統定義，$y_2(t) = t \cdot \cos(t) \cdot ((x_1+x_2)(t+2)) = t \cdot \cos(t) \cdot (x_1(t+2) + x_2(t+2))$。
  $y_2(t) = t \cdot \cos(t) \cdot x_1(t+2) + t \cdot \cos(t) \cdot x_2(t+2)$。
  令 $y_{x_1}(t) = T\{x_1(t)\} = t \cdot \cos(t) \cdot x_1(t+2)$。
  令 $y_{x_2}(t) = T\{x_2(t)\} = t \cdot \cos(t) \cdot x_2(t+2)$。
  則 $y_{x_1}(t) + y_{x_2}(t) = t \cdot \cos(t) \cdot x_1(t+2) + t \cdot \cos(t) \cdot x_2(t+2)$。
  所以，$y_2(t) = y_{x_1}(t) + y_{x_2}(t)$。

核心觀念

本題考查連續時間 LTI 系統的卷積：

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.$$

已知

$$h(t)=2te^{-2t}u(t),$$

因此 $h(t-\tau)$ 僅在 $t-\tau\ge 0$ 時非零，也就是

$$\tau\le t.$$

輸入訊號為

$$x(t)=u(t-1)-u(t-3),$$

代表一個位於 $1\le t<3$ 的矩形脈波：

$$x(\tau)= \begin{cases} 1, & 1\le \tau<3,\\ 0, & \text{其他情況}. \end{cases}$$

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解題方法

將 $x(\tau)$ 與 $h(t-\tau)$ 代入卷積積分：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,2(t-\tau)e^{-2(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.$$

由 $x(\tau)$ 的範圍 $1\le \tau\le 3$，以及 $u(t-\tau)$ 要求 $\tau\le t$，實際積分範圍必須同時滿足：

$$1\le \tau\le 3,\qquad \tau\le t.$$

因此依 $t$ 的位置分三段討論。

情況一：$t<1$

此時系統尚未接收到輸入脈波，沒有重疊區間，因此

$$y(t)=0.$$

情況二：$1\le t<3$

此時有效積分範圍為 $1\le \tau\le t$：

$$y(t)=\int_1^t 2(t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,d\tau.$$

令

$$s=t-\tau,$$

則積分範圍由 $\tau=1$ 對應到 $s=t-1$，$\tau=t$ 對應到 $s=0$，所以

$$y(t)=\int_0^{t-1}2se^{-2s}\,ds.$$

利用

$$\int 2se^{-2s}\,ds = -\left(s+\frac12\right)e^{-2s},$$

可得

$$\begin{aligned} y(t) &=\left[-\left(s+\frac12\right)e^{-2s}\right]_0^{t-1}\\ &=\frac12-\left(t-\frac12\right)e^{-2(t-1)}. \end{aligned}$$

因此

$$y(t)=\frac12-\left(t-\frac12\right)e^{-2(t-1)}, \qquad 1\le t<3.$$

情況三：$t\ge 3$

此時整個輸入脈波都已進入卷積範圍，有效積分範圍為 $1\le \tau\le 3$：

核心觀念

LTI 系統的輸出由卷積求得：

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$

本題可利用單位階躍函數判斷兩個訊號的有效範圍：

• $h(\tau)=e^{2\tau}u(\tau+1)$，因此 $\tau\ge -1$ 時有效。
• $x(t-\tau)=e^{4(t-\tau)}u(t-\tau)$，因此 $t-\tau\ge0$，即 $\tau\le t$。

因此積分範圍由兩個條件共同決定。

解題方法

採用卷積積分：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau$$

代入 $h(\tau)$ 與 $x(t-\tau)$：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2\tau}u(\tau+1)\,e^{4(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau$$

由階躍函數可知：

$$\tau\ge -1,\qquad \tau\le t$$

當 $t<-1$ 時，沒有符合條件的 $\tau$，所以 $y(t)=0$。

當 $t\ge -1$ 時，積分範圍為 $-1\le\tau\le t$：

核心觀念

本題考查 LTI 系統對不同頻率正弦訊號的作用。

若輸入為

$$A\cos(\omega_0t),$$

通過頻率響應為 $H(j\omega)$ 的 LTI 系統後，輸出振幅會變成

$$A|H(j\omega_0)|.$$

因此，本題兩個輸出分量的振幅分別為

$$A_{1,\text{out}}=|H(j10)|$$

以及

$$A_{2,\text{out}}=5|H(j10000)|.$$

題目要求高頻雜訊相對於低頻溫度訊號的輸出振幅為 $1/200$，所以必須滿足

$$\frac{5|H(j10000)|}{|H(j10)|}\approx \frac{1}{200}.$$

等價地，

$$\frac{|H(j10000)|}{|H(j10)|}\approx \frac{1}{1000}.$$

也就是說，系統必須對 $10000\ \text{rad/s}$ 的高頻成分，相對於 $10\ \text{rad/s}$ 的低頻成分再衰減約 $1000$ 倍。

解題方法

適合採用低通濾波器，使低頻訊號通過、高頻雜訊受到強烈衰減。

選擇一階低通系統

$$H(s)=\frac{1}{s+1},$$

其頻率響應為

$$H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega}.$$

此系統的脈衝響應為

$$h(t)=e^{-t}u(t),$$

屬於穩定的因果 LTI 系統。其振幅頻率響應為

$$|H(j\omega)| =\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2}}.$$

此濾波器的截止角頻率為

$$\omega_c=1\ \text{rad/s},$$

低於所需訊號的角頻率 $10\ \text{rad/s}$，並遠低於雜訊角頻率 $10000\ \text{rad/s}$，因此高頻成分會受到更強烈的衰減。

輸出振幅計算

輸入訊號為

$$x(t)=\cos(10t)+5\cos(10000t).$$

由 LTI 系統的頻率選擇性質，輸出為

$$y(t) = |H(j10)|\cos\bigl(10t+\angle H(j10)\bigr) + 5|H(j10000)|\cos\bigl(10000t+\angle H(j10000)\bigr).$$

低頻成分的輸出振幅為

$$A_{1,\text{out}} = |H(j10)| = \frac{1}{\sqrt{1+10^2}} = \frac{1}{\sqrt{101}}.$$

高頻成分的輸出振幅為

$$A_{2,\text{out}} = 5|H(j10000)| = \frac{5}{\sqrt{1+10000^2}} = \frac{5}{\sqrt{100000001}}.$$

因此，兩者的輸出振幅比為