108 年國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》考古題與詳解

Question 1

Are the following claims true or false? You do not need to explain your answer. Just fill in the bracket with either "T" or "F" (For each of the claims below, a correct answer gives you 2 points, while an incorrect answer or no answer gives you 0 point).
a) The power spectrum density of AWGN is flat across the entire frequency axis ().
b) The shorter the wavelength of a RF signal is, more likely it will bounce back when it hits smooth surface of an object ().
c) Convolutional codes are examples of source coding schemes ().
d) The frequency of the signal carries the information in ASK modulation ().
e) 16-QAM is a two-dimensional signal constellation ().
f) Multipath propagation is the main cause of frequency selective fading in wireless channels ().
g) Mobility in a mobile cellular system causes time-variation in the channels ().
h) Fourier transform can be used to analyze both periodic and non-periodic signals ().
i) A lowpass filter should be used right after an antenna of a receiver to reduce noise power ().
j) All major third generation (3G) cellular standards use CDMA as their multiple access scheme ().

Accepted Answer

這題主要測試對通信系統基本概念的理解，涵蓋了雜訊、訊號傳播、編碼、調變、多重接取等廣泛主題。

a) 高斯白雜訊 (AWGN) 的功率頻譜密度在理論上是平坦的，這意味著它在所有頻率上具有相同的功率。然而，在實際系統中，由於濾波器等限制，頻寬是有限的。但就其定義而言，它是平坦的。所以答案是 T。
b) 訊號的波長與物體的尺寸相比，決定了訊號與物體交互作用的方式。當訊號的波長遠小於物體的尺寸時，它更有可能發生反射，尤其是在光滑表面上。這類似於光學中的反射現象。因此，較短的波長（較高的頻率）更容易被反射。答案是 T。
c) 卷積碼 (Convolutional codes) 是一種錯誤控制編碼技術，用於在傳輸過程中偵測和糾正錯誤，而不是用於壓縮或表示訊號的資訊。來源編碼 (Source coding) 的目的是減少訊號的冗餘度，例如使用霍夫曼編碼或算術編碼。因此，卷積碼不屬於來源編碼。答案是 F。
d) 在 振幅位移鍵控 (ASK) 調變中，訊號的振幅被用來代表資訊。不同的振幅對應不同的數字或符號。頻率在 ASK 中是保持不變的。答案是 F。
e) 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation) 是一種利用訊號的振幅和相位來傳輸資訊的調變方式。它在星座圖上由 16 個點組成，這些點分佈在二維平面上（由 I 和 Q 兩個正交分量定義），因此是二維訊號星座。答案是 T。
f) 多重路徑傳播 (Multipath propagation) 是指訊號從發射端到接收端經過多條不同路徑傳播的現象。由於這些路徑的長度不同，訊號到達的時間和相位也會不同，導致在接收端產生訊號的疊加和干涉。

Question 2

In electronic circuits, there is a type of nonlinear circuits that perform the operation as shown in Fig. 1 (note that the constant a is positive). We call such a device a square-law device. Describe how we can use the square-law device to build a frequency multiplier with n=2. Also, briefly discuss how we can build a frequency multiplier with n=4, 8, 16, 64, (you need to draw a block diagram for each n value). Note that you are allowed to use more than one square-law device, as well as other devices such as filters here.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
The figure shows a block diagram with an input signal $x(t)$ going into a square-law device, which outputs $y(t) = ax^2(t)$ . The figure also indicates that the square-law device can be used to build a frequency multiplier.

Accepted Answer

核心觀念 平方律元件的輸入與輸出關係為 $y(t)=a x^2(t)$，其中 $a0$。當輸入是單一正弦波時，平方後會產生直流分量與兩倍頻分量；再用帶通濾波器選出兩倍頻，就能做成倍頻器。 解題方法 令輸入訊號為 $$ x(t)=A\cos(2\pi fc t+\phi) $$ 經平方律元件後： $$ y(t)=aA^2\cos^2(2\pi fc t+\phi) $$ 利用 $\cos^2	heta=\frac{1}{2}(1+\cos 2	heta)$，可得 $$ y(t)=\frac{aA^2}{2}\left[1+\cos(4\pi fc t+2\phi)ight] $$ 輸出包含直流分量，以及頻率為 $2fc$ 的正弦分量。接上中心頻率為 $2fc$ 的帶通濾波器，抑制直流並保留兩倍頻，即完成 $n=2$ 倍頻器。 $n=2$ 方塊圖 輸入 $fc$ → 平方律元件 → 帶通濾波器（中心頻率 $2fc$）→ 輸出 $2fc$ 每一級「平方律元件＋帶通濾波器」都會將輸入頻率加倍。因此，將倍頻級串接即可得到更高次的二的冪次倍頻。 $n=4$ 方塊圖 輸入 $fc$ → 平方律元件 → 帶通濾波器（$2fc$）→ 平方律元件 → 帶通濾波器（$4fc$）→ 輸出 $4fc$

Question 3

Determine the bit rate, symbol rate, and transmission bandwidth of baseband PCM (pulse coded modulation) signals for the following settings.
a) Message bandwidth W=22.05 kHz, Nyquist sampling (or the minimum sampling rate without information loss), 65536-level quantization, 2-ary PAM (pulse amplitude modulation), and full-width rectangular pulse.
b) The same as (a), except that half-width rectangular pulse is used.
c) The same as (a), except that 4-ary PAM is used.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 PCM 與多階 PAM 的速率、符號率，以及矩形脈衝所決定的基頻傳輸頻寬。

1. Nyquist 取樣率

訊息頻寬為 $W$ 時，無失真取樣的最低取樣率為

f_s=2W

題目給定

W=22.05\ \text{kHz}

因此

f_s=2(22.05)=44.10\ \text{k samples/s}

2. PCM 位元率

量化階數為

L=65536=2^{16}

每一個取樣值需要

n=\log_2 L=16\ \text{bits/sample}

所以 PCM 位元率為

R_b=nf_s =16(44.10\times 10^3) =705.6\times 10^3\ \text{bits/s}

即

\boxed{R_b=705.6\ \text{kb/s}}

3. 符號率

若使用 $M$ -ary PAM，每個符號攜帶

\log_2 M

個位元，因此符號率為

R_s=\frac{R_b}{\log_2 M}

4. 矩形脈衝的傳輸頻寬

若矩形脈衝寬度為 $T_p$ ，其頻譜包絡為 sinc 函數，第一個零點位於

f=\frac{1}{T_p}

因此基頻單邊傳輸頻寬取為

B_T=\frac{1}{T_p}

若每個符號的時間為

T_s=\frac{1}{R_s}

則：

全寬矩形脈衝： $T_p=T_s$ ，所以 $B_T=R_s$ 。
半寬矩形脈衝： $T_p=T_s/2$ ，所以 $B_T=2R_s$ 。

解題方法與計算

(a) 2-ary PAM、全寬矩形脈衝

2-ary PAM 中，

\log_2 2=1\ \text{bit/symbol}

故符號率為

R_s=\frac{R_b}{1}=705.6\ \text{kbaud}

全寬矩形脈衝的寬度等於符號週期：

T_p=T_s=\frac{1}{R_s}

因此傳輸頻寬為

B_T=\frac{1}{T_p}=R_s =705.6\ \text{kHz}

所以

\boxed{R_b=705.6\ \text{kb/s}}

\boxed{R_s=705.6\ \text{kbaud}}

\boxed{B_T=705.6\ \text{kHz}}

(b) 2-ary PAM、半寬矩形脈衝

PAM 階數與取樣、量化設定均未改變，因此位元率與符號率仍為

R_b=705.6\ \text{kb/s}

R_s=705.6\ \text{kbaud}

半寬矩形脈衝的寬度為

Question 4

Let X1 and X2 be two independent Gaussian random variables, with their means 2 and their standard deviations 4. We form a new random variable Y such that Y = 2X1 + X2.
a) Evaluate E [X1X2], where E[z] is to calculate the expectation of z.
b) What is the mean of Y?
c) What is the variance of Y?
d) Write down the probability density function of Y, fy(y).

Accepted Answer

核心觀念

本題考高斯隨機變數的期望、變異數，以及獨立高斯隨機變數的線性組合。

若 $X_1$ 、 $X_2$ 獨立，且各自平均數為 $2$ 、標準差為 $4$ ，則

E[X_i]=2,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=4^2=16.

獨立性也表示 $E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]$ 。此外，獨立高斯隨機變數的線性組合仍為高斯隨機變數。

解題方法

a) 計算 $E[X_1X_2]$

利用獨立性：

E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]=2\cdot 2=4.

b) 計算 $Y$ 的平均數

由期望值的線性性質：

E[Y]=E[2X_1+X_2] =2E[X_1]+E[X_2] =2\cdot 2+2 =6.

c) 計算 $Y$ 的變異數

因 $X_1$ 與 $X_2$ 獨立，兩者共變異數為零，因此

\operatorname{Var}(Y) =\operatorname{Var}(2X_1+X_2) =2^2\operatorname{Var}(X_1)+\operatorname{Var}(X_2) =4\cdot16+16 =80.

所以 $Y$ 的標準差為 $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ 。

Question 5

Consider a real baseband signal x(t) with its Fourier transform as
$X(f) = \begin{cases} e^{j2\pi f}, & 0 \le f < 1 \\ 0, & f \ge 1 \end{cases}$
for positive frequencies. Also define y(t) = x(t) cos(6πt) with its Fourier transform Y(f).
a) Sketch Re{X(f)} and Im{X(f)} for both positive and negative frequencies.
b) Sketch Re{Y(f)} and Im{Y(f)} for both positive and negative frequencies.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三個重點： 1. 實值訊號的傅立葉轉換具有共軛對稱性： $$X(-f)=X^(f)$$ 2. 複指數的實部與虛部： $$e^{j	heta}=\cos	heta+j\sin	heta$$ 3. 餘弦調變的頻移性質： $$ x(t)\cos(2\pi f0t) \longleftrightarrow \frac{1}{2}\left[X(f-f0)+X(f+f0)ight] $$ 因為 $x(t)$ 為實值訊號，所以負頻率部分不能任意補零，必須由正頻率部分透過共軛對稱性決定。 --- 一、求出完整的 $X(f)$ 題目給定正頻率部分： $$ X(f)=e^{j2\pi f},\qquad 0\leq f<1 $$ 由於 $x(t)$ 為實值訊號， $$ X(f)=X^(-f),\qquad f<0 $$ 令 $f<0$，則 $-f0$，因此 $$ X(f)=X^(-f) =\left(e^{j2\pi(-f)}ight)^ =e^{j2\pi f} $$ 所以完整頻譜為 $$ X(f)= \begin{cases} e^{j2\pi f}, & -1<f<1\ 0, & |f|\geq 1 \end{cases} $$ 端點 $f=\pm1$ 的單點值不影響一般頻域繪圖與時域訊號，可依題目原本的半開區間約定視為零。 利用 Euler 公式： $$ X(f)=\cos(2\pi f)+j\sin(2\pi f) $$ 因此 $$ \operatorname{Re}\{X(f)\}= \begin{cases} \cos(2\pi f), & |f|<1\ 0, & |f|\geq1 \end{cases} $$ $$ \operatorname{Im}\{X(f)\}= \begin{cases} \sin(2\pi f), & |f|<1\ 0, & |f|\geq1 \end{cases} $$ --- 二、(a) $\operatorname{Re}\{X(f)\}$ 與 $\operatorname{Im}\{X(f)\}$ 的圖形 1. 實部 在 $-1<f<1$ 之間， $$ \operatorname{Re}\{X(f)\}=\cos(2\pi f) $$ 在區間外為零。 關鍵位置如下： | $f$ | $-1$ | $-\frac34$ | $-\frac12$ | $-\frac14$ | $0$ | $\frac14$ | $\frac12$ | $\frac34$ | $1$ | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | $\cos(2\pi f)$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |…

108 年國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

第 1 題20 分

第 2 題20 分

核心觀念

解題方法

第 3 題20 分

核心觀念

1. Nyquist 取樣率

2. PCM 位元率

3. 符號率

4. 矩形脈衝的傳輸頻寬

解題方法與計算

(a) 2-ary PAM、全寬矩形脈衝

(b) 2-ary PAM、半寬矩形脈衝

第 4 題20 分

核心觀念

解題方法

第 5 題20 分

1. 實部

2. 虛部

1. $X(f-3)$

2. $X(f+3)$

其他考古題

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108 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

第 1 題20 分

第 2 題20 分

核心觀念

解題方法

第 3 題20 分

核心觀念

1. Nyquist 取樣率

2. PCM 位元率

3. 符號率

4. 矩形脈衝的傳輸頻寬

解題方法與計算

(a) 2-ary PAM、全寬矩形脈衝

(b) 2-ary PAM、半寬矩形脈衝

第 4 題20 分

核心觀念

解題方法

第 5 題20 分

1. 實部

2. 虛部

1. X(f−3)X(f-3)X(f−3)

2. X(f+3)X(f+3)X(f+3)

其他考古題

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108 年國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

1. $X(f-3)$

2. $X(f+3)$