111 年 國立成功大學電腦與通信工程研究所甲組《通信系統》

本題考查離散時間線性時不變系統的脈衝響應與輸入輸出關係。
已知 LTI 系統的輸出 $y[n]$ 與輸入 $x[n]$ 及脈衝響應 $g[n]$ 的關係為卷積：
$y[n] = x[n] * g[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] g[n-k]$
題目給定脈衝響應 $g[n]$ 的範圍為 $g[n]=0$ if $n < 0$ or $n > 1$。這表示 $g[n]$ 只有在 $n=0$ 和 $n=1$ 時可能非零。
因此，我們可以將 $g[n]$ 表示為：
$g[n] = g[0]\delta[n] + g[1]\delta[n-1]$
其中 $\delta[n]$ 是單位脈衝函數。

題目同時給定輸入 $x[n]$ 的範圍為 $x[n]=0$ if $n < 0$ or $n > 1$。這表示 $x[n]$ 只有在 $n=0$ 和 $n=1$ 時可能非零。
我們有 $x[0]$ 和 $x[1]$。

現在我們來計算輸出 $y[n]$ 在 $n=0$ 和 $n=1$ 的值：
對於 $n=0$:
$y[0] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] g[0-k]$
由於 $x[k]$ 和 $g[n]$ 的非零範圍，只有 $k=0$ 和 $k=1$ 的 $x[k]$ 以及 $g[0]$ 和 $g[1]$ 會影響結果。
$y[0] = x[0]g[0] + x[1]g[-1] + x[-1]g[1] + ...$
由於 $g[n]=0$ for $n<0$，所以 $g[-1]=0$。
由於 $x[n]=0$ for $n<0$，所以 $x[-1]=0$。
因此，
$y[0] = x[0]g[0]$

對於 $n=1$:
$y[1] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] g[1-k]$
$y[1] = x[0]g[1] + x[1]g[0] + x[2]g[-1] + ...$
由於 $g[n]=0$ for $n<0$，所以 $g[-1]=0$。
由於 $x[n]=0$ for $n>1$，所以 $x[2]=0$。
因此，
$y[1] = x[0]g[1] + x[1]g[0]$

我們現在有兩個方程式和兩個未知數 $g[0]$ 和 $g[1]$：

1. $y[0] = x[0]g[0]$
2. $y[1] = x[0]g[1] + x[1]g[0]$

從方程式 (1)，我們可以解出 $g[0]$：
如果 $x[0] \neq 0$，則 $g[0] = \frac{y[0]}{x[0]}$。

將 $g[0]$ 代入方程式 (2)：
$y[1] = x[0]g[1] + x[1]\left(\frac{y[0]}{x[0]}\right)$
$y[1] - x[1]\frac{y[0]}{x[0]} = x[0]g[1]$
$\frac{x[0]y[1] - x[1]y[0]}{x[0]} = x[0]g[1]$

如果 $x[0] \neq 0$，我們可以解出 $g[1]$：
$g[1] = \frac{x[0]y[1] - x[1]y[0]}{x[0]^2}$

因此，脈衝響應 $g[n]$ 為：
$g[n] = g[0]\delta[n] + g[1]\delta[n-1]$
$g[n] = \frac{y[0]}{x[0]}\delta[n] + \frac{x[0]y[1] - x[1]y[0]}{x[0]^2}\delta[n-1]$

核心觀念

本題考查 DSB-SC 同步解調，以及時域乘法與頻域頻譜平移的對應關係。

會用到：

• 三角恆等式
  $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]$
• 時域相乘對應頻域摺積。
• 乘上正弦載波會產生低頻基頻項與高頻雙倍載波項。
• 理想 LPF 保留基頻範圍，濾除位於 $\pm 2f_c$ 附近的頻率成分。

已知訊息頻寬為 $W$，且

$$2f_c-W>B>W$$

因此 LPF 能完整通過 $m(t)$ 的頻譜，並完全濾除搬移至 $\pm 2f_c$ 附近的頻譜。

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(a) 時域分析

1. 接收訊號

題目假設通道沒有造成改變，因此

$$x_r(t)=x(t)=Am(t)\sin(2\pi f_ct+\phi)$$

接收端的 local carrier 為

$$c(t)=-\sin(2\pi f_ct)$$

2. 乘法器輸出

令

$$\theta=2\pi f_ct$$

則乘法器輸出為

$$v(t)=x_r(t)c(t)$$ $$v(t)=-Am(t)\sin(\theta+\phi)\sin\theta$$

套用三角恆等式：

$$\sin(\theta+\phi)\sin\theta = \frac{1}{2} \left[ \cos\phi-\cos(2\theta+\phi) \right]$$

因此

$$v(t) = -\frac{A}{2}m(t) \left[ \cos\phi-\cos(4\pi f_ct+\phi) \right]$$

整理得

$$v(t) = -\frac{A}{2}\cos\phi\,m(t) + \frac{A}{2}m(t)\cos(4\pi f_ct+\phi)$$

其中：

• 第一項是位於基頻的訊息成分；
• 第二項是以 $2f_c$ 為中心的高頻成分。

3. 通過理想 LPF

LPF 的通帶增益為 $2$，因此基頻項通過後會乘上 $2$：

$$y(t) = 2\left[-\frac{A}{2}\cos\phi\,m(t)\right]$$

高頻項位於 $\pm 2f_c$ 附近，其最低可能頻率為 $2f_c-W$。由於

$$B<2f_c-W$$

所以該高頻項完全被濾除。

故 LPF 輸出為

$$\boxed{y(t)=-A\cos\phi\,m(t)}$$

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(b) 頻域分析

採用連續時間傅立葉轉換定義

$$M(f)=\int_{-\infty}^{\infty}m(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$$

並令乘法器輸出為 $v(t)$，LPF 輸出為 $y(t)$。

1. 傳送訊號的頻譜

由 Euler 公式：

$$\sin(2\pi f_ct+\phi) = \frac{1}{2j} \left[ e^{j\phi}e^{j2\pi f_ct} - e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_ct} \right]$$

因此

$$x(t) = \frac{A}{2j}m(t) \left[ e^{j\phi}e^{j2\pi f_ct} - e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_ct} \right]$$

利用頻移性質：

$$m(t)e^{j2\pi f_0t} \longleftrightarrow M(f-f_0)$$

可得

$$X(f) = \frac{A}{2j} \left[ e^{j\phi}M(f-f_c) - e^{-j\phi}M(f+f_c) \right]$$

2. Local carrier 的頻譜

接收端 local carrier 為

$$c(t)=-\sin(2\pi f_ct)$$

其傅立葉轉換為

$$C(f) = -\frac{1}{2j} \left[ \delta(f-f_c)-\delta(f+f_c) \right]$$

亦可寫成

$$C(f) = \frac{1}{2j} \left[ \delta(f+f_c)-\delta(f-f_c) \right]$$

3. 乘法器輸出的頻譜

時域相乘對應頻域摺積：

$$V(f)=X(f)*C(f)$$

將 $X(f)$ 與 $C(f)$ 摺積後，可得

$$V(f) = -\frac{A}{2}\cos\phi\,M(f) + \frac{A}{4} \left[ e^{j\phi}M(f-2f_c) + e^{-j\phi}M(f+2f_c) \right]$$

這三項分別代表：

本題涵蓋了通訊系統中的幾個重要概念：展頻系統、多載波系統以及功率放大器的效率問題。

(a) Can we apply spread spectrum system to improve BER performance in the pure AWGN environment? why?

答案： 可以。

原因：
在純粹的加性高斯白雜訊 (AWGN) 環境下，展頻系統 (Spread Spectrum System) 確實可以改善位元錯誤率 (BER) 性能。這主要有兩個原因：

1. 功率頻譜密度降低 (Lower Power Spectral Density): 展頻系統將訊號的能量擴散到一個非常寬的頻寬上，使得訊號在單位頻寬內的功率頻譜密度 (Power Spectral Density, PSD) 相對較低。相較於傳統的窄帶系統，展頻訊號的 PSD 可能低於 AWGN 的 PSD。在接收端，即使訊號受到雜訊的影響，由於其 PSD 較低，單位頻寬內的雜訊功率也較低。當訊號被解擴 (despread) 回原始的窄頻寬時，雜訊的總功率也相對較低，從而提高了訊號雜訊比 (SNR)。

2. 處理增益 (Processing Gain): 展頻系統的核心優勢在於處理增益。處理增益是展頻訊號的總頻寬與原始訊號頻寬的比值。在接收端，解擴過程會將展頻的訊號恢復到原始頻寬，同時將寬頻雜訊壓縮回原始頻寬。這個過程相當於對訊號進行了濾波，從而有效地降低了雜訊的影響。處理增益的計算公式通常為 $PG = \frac{B_{spread}}{B_{signal}}$。更高的處理增益意味著更強的抗雜訊能力，進而改善 BER 性能。

雖然展頻技術在抗干擾、抗截聽、定位等方面有顯著優勢，但在純 AWGN 環境下，其改善 BER 的能力主要來自於降低訊號的功率頻譜密度以及利用處理增益來對抗雜訊。

【答案】
可以。展頻系統通過降低訊號的功率頻譜密度和提供處理增益，有效地降低了訊號在 AWGN 環境下的雜訊影響，從而改善 BER 性能。
【答案】
可以。展頻系統利用處理增益，將訊號能量擴散到更寬的頻帶，使得訊號在單位頻寬內的功率頻譜密度降低，進而降低了單位頻寬內受 AWGN 影響的雜訊功率。在解擴後，訊號的 SNR 得到提升，從而改善 BER 性能。

(b) Why can the multi-carrier system eliminate the effects of multipath interference, i.e. ISI?

答案： 多載波系統 (Multi-carrier System)，例如 OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)，可以透過將高速的資料流分割成多個低速的資料流，並將這些低速資料流分配到多個正交的子載波上進行傳輸，來有效對抗多重路徑干擾 (Multipath Interference) 造成的符號間干擾 (Inter-Symbol Interference, ISI)。

原因：

1. 降低符號週期 (Increased Symbol Duration): 在傳統的單載波系統中，傳輸速率很高，導致每個符號的持續時間很短。當存在多重路徑時，訊號會經過不同的路徑到達接收端，產生延遲。如果這些延遲大於或等於一個符號的週期，就會發生嚴重的 ISI。
   在多載波系統中，高速資料被分割成多個低速資料，每個子載波上的傳輸速率大大降低。這意味著每個子載波上的符號週期大大延長。
   令原始資料速率為 $R_b$，使用 $N$ 個子載波，每個子載波的資料速率約為 $R_b/N$。
   每個符號的持續時間 $T_s$ 與資料速率成反比。
   $T_{s, \text{multi-carrier}} = \frac{N}{R_b}$，而 $T_{s, \text{single-carrier}} = \frac{1}{R_b}$。
   因此，多載波系統的符號週期是單載波系統的 $N$ 倍。

核心觀念

本題分成兩部分：

• (a) 利用 $M$-ary PSK 的星座幾何與 AWGN 機率密度，推導符號錯誤率。
• (b) 辨認可降低平均傳輸位元數的來源編碼方法。典型答案為 Huffman coding。

令

$$\alpha=\frac{\pi}{M}$$

則相鄰 $M$-PSK 星座點的相位間隔為 $2\pi/M$，每個符號的判決區域半角為 $\alpha$。

題目中的積分上限 $\pi-M$ 應為排版誤植；依標準 $M$-PSK 符號錯誤率公式，應解讀為

$$\pi-\frac{\pi}{M}=\frac{(M-1)\pi}{M}.$$

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(a) $M$-PSK 符號錯誤率推導

1. $M$-PSK 星座與判決區域

$M$-PSK 的第 $k$ 個訊號可表示為

$$s_k(t)=\sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos\left(2\pi f_ct+\frac{2\pi k}{M}\right), \qquad k=0,1,\ldots,M-1.$$

在二維訊號空間中，各星座點位於半徑 $\sqrt{E_s}$ 的圓周上，相鄰星座點的角度差為

$$\frac{2\pi}{M}.$$

由對稱性，只需假設傳送第 $0$ 個符號。其正確判決區域為

$$-\frac{\pi}{M}\leq \theta\leq \frac{\pi}{M}.$$

當接收訊號的等效雜訊使相位偏移超出此區域時，就會判定為錯誤。

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2. AWGN 造成的錯誤機率

AWGN 的二維等效雜訊為高斯分布。依題目所採用的雜訊功率頻譜密度記號，定義

$$\gamma_s=\frac{E_s}{N_0/2}.$$

星座點到最近判決邊界的幾何距離與 $\sin(\pi/M)$ 有關，因此錯誤機率中的有效距離項為

$$\gamma_s\sin^2\left(\frac{\pi}{M}\right).$$

利用高斯積分的角度表示式，可將二維錯誤區域的機率化為一維積分。其核心形式為

$$P_E = \frac{1}{\pi} \int \exp\left[ -\frac{\gamma_s\sin^2(\pi/M)} {\sin^2\phi} \right]d\phi.$$

對 $M$-PSK 而言，錯誤區域對應的角度範圍為

$$0\leq \phi\leq \pi-\frac{\pi}{M}.$$

代入 $\gamma_s=E_s/(N_0/2)$，得到

$$\boxed{ P_E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi-\pi/M} \exp\left( -\frac{E_s}{N_0/2} \frac{\sin^2(\pi/M)}{\sin^2\phi} \right) d\phi }$$

亦可寫成