111 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《通信系統》

(a) OFDM 與 OFDMA 之英文全名

• 核心觀念：多載波調變技術（Multicarrier Modulation）與多工存取技術（Multiple Access）。
• 解題方法：
  • OFDM：將高速資料串流分散至多個互相正交（orthogonal）的正交次載波上傳輸，屬於單一使用者的實體層調變技術。
  • OFDMA：在 OFDM 基礎上加入多工存取（Multiple Access），藉由將不同次載波子集合（Subchannels）同時分配給不同使用者，實現多使用者同時傳輸。
• 解題技巧：注意結尾字母的差異，OFDM 結尾為 Modulation（調變），OFDMA 結尾為 Multiple Access（多工存取）。

【答案】

• OFDM：Orthogonal Frequency Division Multiplexing
• OFDMA：Orthogonal Frequency Division Multiple Access

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(b) 衛星通訊是否會納入 6G

• 核心觀念：次世代行動通訊系統架構、非地面網路（Non-Terrestrial Networks, NTN）。
• 解題方法：
  • 5G-Advanced（3GPP Rel-17/18）已開始納入衛星通訊（NTN）技術規格。
  • 6G 的核心願景之一即為「空天地海一體化全覆蓋」（Space-Air-Ground-Sea Integrated Network），將低軌衛星（LEO）、中高軌衛星（MEO/GEO）與地面蜂巢網路深度融合，以達成全球無死角的立體覆蓋。因此衛星通訊必然且深度整合於 6G 系統中。
• 解題技巧：題目為是非問句，開頭先明確給出肯定或否定判斷，再補充關鍵術語「NTN」與「一體化涵蓋」作為得分關鍵字。

【答案】
Yes. 衛星通訊（Satellite Communications / NTN）會被納入 6G。6G 架構整合地面網路與非地面網路（NTN），利用低軌衛星（LEO）與高軌衛星等構建「空天地海一體化」無縫覆蓋網路。

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(c) AWGN 之英文縮寫全名

• 核心觀念：基礎通訊通道模型（Channel Model）。
• 解題方法：逐字解析其物理與統計意義：
  • Additive：雜訊是以相加方式疊加於信號上（$r(t) = s(t) + n(t)$）。
  • White：雜訊之功率譜密度（PSD）在全頻帶均勻分布（$S_n(f) = \frac{N_0}{2}$）。
  • Gaussian：雜訊振幅的機率密度函數（PDF）服從高斯分布（常態分布）。
  • Noise：熱雜訊等隨機干擾。

【答案】
Additive White Gaussian Noise

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(d) M2M 通訊與 D2D 通訊之解釋

• 核心觀念：物聯網架構（IoT）與行動蜂巢網路新型傳輸模式。
• 解題方法：從「通訊主體」與「網路基地台角色／路徑」切入比較：
  1. M2M（Machine-to-Machine）通訊：

核心觀念

本題涵蓋類比調變（Analog Modulation）中最關鍵的兩大類系統：線性調變（連續波振幅調變）與角度調變（非線性調變），考查以下核心理論：

1. 雙邊帶抑制載波（DSB-SC）：基頻訊號 $m(t)$ 與高頻載波 $c(t)$ 直接在時域相乘，藉由頻率位移定理將頻譜搬移至載波頻率 $\pm f_c$ 兩側，完全抑制純載波分量以提升功率效率。
2. 單邊帶（SSB）與殘邊帶（VSB）：頻寬節省技術的權衡。SSB 佔用最小理論頻寬 $W$，但需要理想的銳利滾降濾波器；VSB 則是實務上的折衷，透過保留部分殘留邊帶（Vestige），大幅放寬濾波器轉折帶設計難度，特別適用於具低頻與直流特性的視訊訊號。
3. 相位調變（PM）與頻率調變（FM）：利用基頻訊號改變載波的瞬時相位 $\theta_i(t)$ 或瞬時頻率 $f_i(t)$。
   • 相位調變（PM）：瞬時相位偏離量與 $m(t)$ 成正比。
   • 頻率調變（FM）：瞬時頻率偏離量與 $m(t)$ 成正比，相位則為頻率對時間之積分。
4. 卡森法則（Carson's Rule）：FM 訊號理論上具有無限頻寬，實務上以包含 98% 以上訊號總功率的有效傳輸頻寬作為準則，即 $B_{\text{FM}} \approx 2(\Delta f + W) = 2W(1 + \beta_f)$。

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解題方法與詳細推導

(a) DSB-SC 訊號表示式

• 推導步驟：
  DSB-SC（Double-Sideband Suppressed-Carrier）為基頻訊號 $m(t)$ 與載波 $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$ 的時域乘積： $$u(t) = m(t) \cdot c(t) = A_c m(t) \cos(2\pi f_c t)$$ 此表示式中無獨立未受調變的載波項 $A_c \cos(2\pi f_c t)$，因此稱為「抑制載波」。

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(b) SSB 與 VSB 訊號之差異

單邊帶（SSB）與殘邊帶（VSB）的主要差異可從傳輸頻寬、濾波器實現難度、基頻訊號低頻響應及應用場景四方面進行比較：

比較項目	單邊帶調變（SSB）	殘邊帶調變（VSB）
傳輸頻寬	理論最小頻寬：$B_{\text{SSB}} = W$（僅保留 USB 或 LSB）。	介於 SSB 與 DSB 之間：$B_{\text{VSB}} = W + f_v$（$f_v$ 為殘邊帶寬度，通常約為 $0.25W \sim 0.33W$）。
側邊帶成分	完全濾除其中一個側邊帶（僅留上側邊帶或下側邊帶）。	保留一個完整的側邊帶，並保留另一側邊帶的一小部分（殘邊）。
帶通濾波器設計	極為嚴苛。要求在載波頻率 $f_c$ 處具備理想的無窮大陡峭滾降特性（Brick-wall cutoff）。	大幅放寬。濾波器轉折帶（Transition band）具備斜坡對稱滾降特性，可使用一般高階類比濾波器實現。
對低頻/直流之適應性	極差。若 $m(t)$ 在原點（$f=0$）附近有顯著低頻或直流分量，濾波器會嚴重破壞訊號。	極佳。載波周圍的低頻分量落於平緩轉折區，解調後兩側殘邊可線性疊加還原，無低頻相位與振幅失真。
主要典型應用	語音通信、業餘無線電、長距離高頻（HF）通信。	類比地面電視廣播（如 NTSC、PAL 系統中的視訊訊號傳輸）。

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(c) PM 訊號表示式

• 推導步驟：
  角度調變通式為 $s(t) = A_c \cos(\theta_i(t))$。
  在相位調變（Phase Modulation）中，載波的瞬時相位 $\theta_i(t)$ 與基頻訊號 $m(t)$ 呈線性關係： $$\theta_i(t) = 2\pi f_c t + k_p m(t)$$ 其中 $k_p$ 為相位偏移靈敏度常數（Phase deviation constant，單位為 $\text{rad/V}$）。
  因此，PM 訊號為： $$s_{\text{PM}}(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + k_p m(t)\right)$$

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(d) FM 訊號表示式

• 推導步驟：
  在頻率調變（Frequency Modulation）中，載波的瞬時頻率 $f_i(t)$ 與基頻訊號 $m(t)$ 呈線性關係： $$f_i(t) = f_c + k_f m(t)$$ 其中 $k_f$ 為頻率偏移靈敏度常數（Frequency deviation constant，單位為 $\text{Hz/V}$）。
  瞬時相位 $\theta_i(t)$ 為瞬時角頻率 $\omega_i(t) = 2\pi f_i(t)$ 對時間的積分：

核心觀念

1. 傳統振幅調變（Conventional AM）與包絡線檢波（Envelope Detection）：

   • 標準 AM 訊號表示式為 $u(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$。
   • 理想包絡檢波器（Ideal Envelope Detector）的輸出為高頻載波訊號之實數振幅大小，即訊號的「絕對值包絡」： $$v(t) = |A_c [1 + k_a m(t)]| = A_c |1 + k_a m(t)|$$
   • 當調變指數 $\mu \le 1$（無過調變，Over-modulation）時，$1 + k_a m(t) \ge 0$，包絡檢波輸出 $v(t) = A_c [1 + k_a m(t)]$，可無失真還原原始訊息；但當過調變發生（本題 $k_a = 2$，若設標準正弦調變訊號振幅為 $1$，則調變指數 $\mu = 2 > 1$）時，$1 + k_a m(t)$ 會落入負值區間，絕對值運算將導致訊號產生包絡失真（Envelope Distortion）。

2. 週期訊號的傅立葉級數（Fourier Series）展開：

   • 週期為 $T_m = \frac{1}{f_m}$ 的實數偶函數 $v(t)$，可展開為餘弦形式傅立葉級數： $$v(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(2\pi n f_m t)$$
   • 其各項係數定義為： $$a_0 = \frac{1}{T_m} \int_{-T_m/2}^{T_m/2} v(t) \, dt$$ $$a_n = \frac{2}{T_m} \int_{-T_m/2}^{T_m/2} v(t) \cos(2\pi n f_m t) \, dt, \quad n \ge 1$$

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解題方法與詳細推導

設正弦調變訊號標準化為振幅為 $1$、相位零點選取為餘弦之訊號：$m(t) = \cos(2\pi f_m t)$。
已知載波頻率遠大於調變頻率（$f_c \gg f_m$），且調變因子 $k_a = 2$。

(a) 寫出輸出訊號 $v(t)$ 的表示式

理想包絡檢波器會追蹤載波振幅的高頻外包絡，其輸出為振幅項的絕對值：

$$v(t) = |A_c [1 + k_a m(t)]| = A_c |1 + 2\cos(2\pi f_m t)|$$

若進一步依據正負分段表示，令相位角 $\theta = 2\pi f_m t$，當 $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ 時，臨界相位為 $\theta = \pm \frac{2\pi}{3}$：

• 當 $-\frac{2\pi}{3} \le 2\pi f_m t \le \frac{2\pi}{3}$ 時，$1 + 2\cos(2\pi f_m t) \ge 0$，故： $$v(t) = A_c [1 + 2\cos(2\pi f_m t)]$$
• 當 $\frac{2\pi}{3} < |2\pi f_m t| \le \pi$ 時，$1 + 2\cos(2\pi f_m t) < 0$，故： $$v(t) = -A_c [1 + 2\cos(2\pi f_m t)]$$

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(b) 判斷 $v(t)$ 為週期訊號或非週期訊號

原始調變訊號 $m(t) = \cos(2\pi f_m t)$ 具有基本週期 $T_m = \frac{1}{f_m}$。
對任意整數 $k$，有：

$$v(t + k T_m) = A_c |1 + 2\cos(2\pi f_m (t + k T_m))| = A_c |1 + 2\cos(2\pi f_m t + 2k\pi)| = v(t)$$

因此，$v(t)$ 是週期訊號（Periodic signal），其基本週期為 $T_m = \frac{1}{f_m}$（基本頻率為 $f_m$）。

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(c) 判斷 $v(t)$ 為偶函數或奇函數

檢驗時間反轉 $t \to -t$：

$$v(-t) = A_c |1 + 2\cos(2\pi f_m (-t))| = A_c |1 + 2\cos(2\pi f_m t)| = v(t)$$

滿足 $v(-t) = v(t)$，因此 $v(t)$ 為偶函數（Even function）。

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(d) 求 $v(t)$ 的傅立葉級數表示式

因 $v(t)$ 為偶函數，其傅立葉級數不含正弦項（$b_n = 0$），形式為：

$$v(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(2\pi n f_m t)$$

為簡化積分計算，令無因次角度變數 $\theta = 2\pi f_m t$，在一個週期區間 $[-\pi, \pi]$ 內進行積分：

1. 直流項 $a_0$：

   $$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} v(\theta) \, d\theta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} v(\theta) \, d\theta$$

   將積分分段：

   $$\int_{0}^{\pi} v(\theta) \, d\theta = A_c \left[ \int_{0}^{2\pi/3} (1 + 2\cos\theta) \, d\theta - \int_{2\pi/3}^{\pi} (1 + 2\cos\theta) \, d\theta \right]$$

   分段積分計算：

   $$\int_{0}^{2\pi/3} (1 + 2\cos\theta) \, d\theta = [\theta + 2\sin\theta]_{0}^{2\pi/3} = \frac{2\pi}{3} + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$$ $$\int_{2\pi/3}^{\pi} (1 + 2\cos\theta) \, d\theta = [\theta + 2\sin\theta]_{2\pi/3}^{\pi} = (\pi + 0) - \left(\frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}\right) = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}$$

   相減得：

   $$\int_{0}^{\pi} v(\theta) \, d\theta = A_c \left[ \left(\frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right) \right] = A_c \left( \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} \right)$$

   故得直流係數：

   $$a_0 = \frac{A_c}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + 2\sqrt{3} \right) = A_c \left( \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \right)$$

2. 各次諧波係數 $a_n$：

   $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} v(\theta) \cos(n\theta) \, d\theta$$ $$a_n = \frac{2A_c}{\pi} \left[ \int_{0}^{2\pi/3} (1 + 2\cos\theta)\cos(n\theta) \, d\theta - \int_{2\pi/3}^{\pi} (1 + 2\cos\theta)\cos(n\theta) \, d\theta \right]$$
   • 基頻分量（$n = 1$）係數 $a_1$：

核心觀念

本題評量標準振幅調變（Standard AM）的平方律檢波（Square-Law Detection）原理與頻譜分析。核心觀念包含：

1. 非線性元件的輸出展開：非線性元件的轉移特性包含線性項與平方項，展開後利用三角函數倍角公式 $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$，將輸入信號的頻譜搬移至直流／基頻（DC / Baseband）、原載波頻率（$f_c$）以及二次諧波頻率（$2f_c$）。
2. 基頻頻譜分布與低通濾波：
   • 經平方展開後，落在基頻區間的成分包括直流項（DC）、期望的原始訊息信號項 $m(t)$，以及非線性失真項 $m^2(t)$。
   • $m(t)$ 的頻寬為 $W$；依據卷積定理，其平方項 $m^2(t)$ 的頻寬擴展為 $2W$。
3. 無失真解調條件（Distortionless Recovery Condition）：
   • 傳統近似法（弱調變）：若調變指數極小（$|k_a m(t)| \ll 1$），可忽略二次失真項。
   • 完整還原法（題目提示）：考慮 $v_3(t)$ 內的所有基頻成分，利用配方法或直流補償消除平方失真項。

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解題方法與詳細推導

(a) 求輸出信號 $v_2(t)$

輸入信號為：

$$v_1(t) = A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

非線性元件轉移特性為 $v_2(t) = a_1 v_1(t) + a_2 v_1^2(t)$。

1. 第一項（線性項）：

$$a_1 v_1(t) = a_1 A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

2. 第二項（平方項）：

$$a_2 v_1^2(t) = a_2 A_c^2 [1 + k_a m(t)]^2 \cos^2(2\pi f_c t)$$

利用三角恆等式 $\cos^2(2\pi f_c t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(4\pi f_c t)$ 展開：

$$a_2 v_1^2(t) = \frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] [1 + \cos(4\pi f_c t)]$$

展開各項並按頻率區段整理：

$$\begin{aligned} v_2(t) &= \underbrace{\frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)]}_{\text{基頻 / 直流成分}} \\ &\quad + \underbrace{a_1 A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)}_{\text{載波 } f_c \text{ 附近成分}} \\ &\quad + \underbrace{\frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)}_{\text{二次諧波 } 2f_c \text{ 附近成分}} \end{aligned}$$

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(b) 識別有用信號（Useful Signal）與干擾項（Interferences）

解調的最終目標是還原原始訊息信號 $m(t)$：

1. 有用信號（Useful Signal）：

   • 基頻中的正比於訊息項： $$a_2 A_c^2 k_a m(t)$$ 此項保留了原始訊息波形，是平方律檢波欲擷取的有用成分。

2. 干擾項（Interference / Distortion Terms）：

   • 高頻干擾（可由低通濾波器濾除）：
     • 位於頻率 $f_c$ 處的調變波項：$a_1 A_c [1 + k_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$。
     • 位於頻率 $2f_c$ 處的二次諧波項：$\frac{1}{2} a_2 A_c^2 [1 + 2k_a m(t) + k_a^2 m^2(t)] \cos(4\pi f_c t)$。
   • 基頻干擾（位於基頻頻帶內）：
     • 直流偏壓項（DC offset）：$\frac{1}{2} a_2 A_c^2$（可藉由隔直電容阻隔）。
     • 非線性諧波失真項（Nonlinear Distortion）：$\frac{1}{2} a_2 A_c^2 k_a^2 m^2(t)$。其頻寬為 $2W$，落入低通濾波器通帶範圍內，為造成波形失真的基頻干擾。

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(c) 求通過頻寬為 $W$ 的低通濾波器（LPF）後之輸出 $v_3(t)$

由於載波頻率滿足 $f_c \gg W$：

• 位於 $f_c$（頻帶 $f_c \pm W$）與 $2f_c$（頻帶 $2f_c \pm 2W$）的高頻成分完全被頻寬為 $W$ 的理想低通濾波器濾除。
• 基頻成分中：
  • 直流成分 $\frac{1}{2} a_2 A_c^2$ 通過。
  • 訊息信號項 $a_2 A_c^2 k_a m(t)$ 其頻寬為 $W$，完整通過。
  • 二次失真項 $\frac{1}{2} a_2 A_c^2 k_a^2 m^2(t)$ 的總頻寬為 $2W$。若低通濾波器截止頻率剛好為 $W$，則 $m^2(t)$ 頻帶內小於 $W$ 的成分會通過（記作 $[m^2(t)]_{\text{LPF}}$），大於 $W$ 的成分被衰減；但若依通信系統分析實務，基頻信號皆落入基頻處理範圍內，濾波器後的基頻輸出表示為：

$$v_3(t) = \frac{1}{2} a_2 A_c^2 + a_2 A_c^2 k_a m(t) + \frac{1}{2} a_2 A_c^2 k_a^2 [m^2(t)]_{\text{LPF}}$$

核心觀念

本題探討類比角度調變（Angle Modulation）的兩大核心形式：**相位調變（Phase Modulation, PM）與頻率調變（Frequency Modulation, FM）**之基本數學定義與時域波形特徵。

1. 角度調變通式：

   $$u(t) = A_c \cos\big(2\pi f_c t + \phi(t)\big)$$

   其中 $A_c$ 為載波振幅，$f_c$ 為載波頻率，$\theta(t) = 2\pi f_c t + \phi(t)$ 為瞬時總相位，$\phi(t)$ 為由訊息訊號所控制的相位偏移。

2. PM 與 FM 之相位偏移與瞬時頻率定義：

   • PM：相位偏移直接正比於訊息訊號： $$\phi(t) = k_p m(t)$$ 瞬時頻率（Instantaneous Frequency）為總相位對時間之微分除以 $2\pi$： $$f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\theta(t)}{dt} = f_c + \frac{k_p}{2\pi}\frac{dm(t)}{dt}$$ 其中 $k_p$ 為 PM 的相位靈敏度（單位：$\text{rad/V}$）。
   • FM：瞬時頻率偏移正比於訊息訊號，即相位偏移正比於訊息訊號的積分： $$\phi(t) = 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)\,d\tau$$ 瞬時頻率為： $$f_i(t) = f_c + k_f m(t)$$ 其中 $k_f$ 為 FM 的頻率靈敏度（單位：$\text{Hz/V}$）。

3. 鋸齒波訊號 $m(t)$ 的數學表示：
   題目描述 $m(t)$ 為週期為 $T_0$、峰值振幅為 $A$ 的鋸齒波，定義於正時間軸（$t \ge 0$）。在單一週期 $0 \le t < T_0$ 內為斜率為正的線性上升段，於週期邊界瞬間由 $A$ 階躍重置為 $0$：

   $$m(t) = \frac{A}{T_0} t, \quad 0 \le t < T_0$$

   一般化表示為：

   $$m(t) = \frac{A}{T_0} (t - nT_0), \quad nT_0 \le t < (n+1)T_0,\; n \in \{0, 1, 2, \dots\}$$

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解題方法與推導

(a) 輸出 PM 訊號 $u_{PM}(t)$ 之數學表示式

依據相位調變定義，將訊息訊號 $m(t)$ 線性映射到載波相位：

$$u_{PM}(t) = A_c \cos\big(2\pi f_c t + k_p m(t)\big)$$

在區間 $nT_0 \le t < (n+1)T_0$（$n = 0, 1, 2, \dots$）內，$m(t) = \frac{A}{T_0}(t - nT_0)$，故可具體表示為：

$$u_{PM}(t) = A_c \cos\left(2\pi f_c t + k_p \frac{A}{T_0}(t - nT_0)\right), \quad nT_0 \le t < (n+1)T_0$$

(b) PM 訊號之瞬時頻率 $f_i(t)$

PM 訊號的總相位為 $\theta(t) = 2\pi f_c t + k_p m(t)$。
對 $t$ 微分求瞬時頻率：

$$f_i(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\theta(t)}{dt} = f_c + \frac{k_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt}$$

對於正時間軸上的鋸齒波 $m(t)$：

1. 平滑線性上升區段（$nT_0 < t < (n+1)T_0$）： $$\frac{dm(t)}{dt} = \frac{A}{T_0}$$ 此時瞬時頻率為常數： $$f_i(t) = f_c + \frac{k_p A}{2\pi T_0}$$
2. 週期跳變點（$t = nT_0,\; n = 1, 2, \dots$）：
   訊號由 $A$ 瞬間跌落至 $0$（落差為 $-A$），其導函數產生強度為 $-A$ 的負向衝激函數（Dirac delta impulse）： $$\frac{dm(t)}{dt} = \frac{A}{T_0} - A \sum_{n=1}^{\infty} \delta(t - nT_0)$$ 因此完整的瞬時頻率表示為： $$f_i(t) = f_c + \frac{k_p A}{2\pi T_0} - \frac{k_p A}{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \delta(t - nT_0)$$

(c) 繪製 PM 訊號波形 $u_{PM}(t)$

波形特徵分析：

1. 等頻率特性：在每個週期的平滑區間 $nT_0 < t < (n+1)T_0$ 內，瞬時頻率為恆定值 $f_1 = f_c + \frac{k_p A}{2\pi T_0}$，訊號為振幅 $A_c$、頻率固定為 $f_1$ 的連續正弦波。
2. 相位不連續（Phase Jump）：在 $t = nT_0$ 邊界處，由於 $m(t)$ 由 $A$ 階躍跳回 $0$，相位產生突變： $$\Delta \phi = k_p m(nT_0^+) - k_p m(nT_0^-) = 0 - k_p A = -k_p A \text{ rad}$$ 波形在此時刻出現相位錯位（波形折裂或斜率突變）。

繪圖描述：

• 包絡線固定在 $\pm A_c$。
• 在各週期區間內，波形是頻率均勻的弦波（頻率比載波略高）。
• 在 $t = T_0, 2T_0, 3T_0, \dots$ 處，波形出現明顯的相位跳躍（Phase discontinuity / jump）。