112 年 國立成功大學工程科學系碩士班甲組《線性代數及機率》

本題考驗條件期望值的性質。
根據條件期望值的迭代性質（Law of Iterated Expectations），對於任意兩個隨機變數 X 和 Y，我們有

本題考驗矩陣的秩（rank）與維度關係，以及內積與範數的性質。
令 A 是一個 $m \times 8$ 的矩陣。
已知 $A A^T$ 是一個 $m \times m$ 的單位矩陣。
矩陣的秩（rank）有一個性質是 $rank(AB) \le min(rank(A), rank(B))$。
同時，我們也知道 $rank(A) \le min(m, 8)$ 且 $rank(A^T) \le min(8, m)$。
由於 $A A^T$ 是單位矩陣，它的秩是 m，即 $rank(A A^T) = m$。
因此，我們有 $m = rank(A A^T) \le rank(A)$。

本題考驗矩陣的零空間（null space）與線性獨立性。
首先，我們需要找到矩陣 H 的轉置矩陣 $H^T$。

我們需要找到一個非零的 $2 \times 7$ 矩陣 G，使得 $G H^T = 0$。
這表示 G 的每一列向量都必須是 $H^T$ 的列空間（column space）的正交補空間（orthogonal complement）中的向量。
然而，題目要求的是 $G H^T = 0$。
這意味著 G 的每一列向量 $g_i$ 必須滿足 $g_i^T H^T = 0^T$ (這裡 $g_i$ 是 G 的第 i 列)。
這等價於 $H g_i = 0$。
所以，G 的每一列向量都必須是 H 的零空間（null space）中的向量。
我們先求 H 的秩（rank）。

對 H 進行列運算，可以發現 H 的秩為 2。

H 的秩為 2，所以 H 的零空間維度為 $7 - 2 = 5$。
我們需要找一個 $2 \times 7$ 的矩陣 G，其每一列都是 H 的零空間中的向量。
由於 G 不能為零矩陣，我們只需要找到 H 的零空間中的兩個線性獨立的向量作為 G 的列。
令 H 的零空間中的向量為 $v = (v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6, v_7)^T$。
從化簡後的 H 矩陣，我們得到：
$v_2 + v_4 + 2v_5 + 4v_6 + 2v_7 = 0$
$v_3 + 2v_4 + 2v_7 = 0$
我們令 $v_1, v_4, v_5, v_6, v_7$ 為自由變數，可以得到 H 的零空間的一組基底。
例如，令 $v_4=1, v_5=0, v_6=0, v_7=0$，則 $v_2 = -1$, $v_3 = -2$。得到一個向量 $u_1 = (0, -1, -2, 1, 0, 0, 0)^T$。
令 $v_4=0, v_5=1, v_6=0, v_7=0$，則 $v_2 = -2$, $v_3 = 0$。得到一個向量 $u_2 = (0, -2, 0, 0, 1, 0, 0)^T$。
令 $v_4=0, v_5=0, v_6=1, v_7=0$，則 $v_2 = -4$, $v_3 = 0$。得到一個向量 $u_3 = (0, -4, 0, 0, 0, 1, 0)^T$。
令 $v_4=0, v_5=0, v_6=0, v_7=1$，則 $v_2 = -2$, $v_3 = -2$。得到一個向量 $u_4 = (0, -2, -2, 0, 0, 0, 1)^T$。
我們還需要一個關於 $v_1$ 的向量。令 $v_1=1, v_4=0, v_5=0, v_6=0, v_7=0$，則 $v_2=0, v_3=0$。得到一個向量 $u_5 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^T$。
所以 H 的零空間的一組基底是 $\{ (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^T, (0, -1, -2, 1, 0, 0, 0)^T, (0, -2, 0, 0, 1, 0, 0)^T, (0, -4, 0, 0, 0, 1, 0)^T, (0, -2, -2, 0, 0, 0, 1)^T \}$。
我們需要找一個 $2 \times 7$ 的矩陣 G，其列向量是 H 的零空間中的向量。
我們可以選擇 H 的零空間中的兩個線性獨立的向量作為 G 的列。
例如，我們選擇 $u_1 = (0, -1, -2, 1, 0, 0, 0)^T$ 和 $u_2 = (0, -2, 0, 0, 1, 0, 0)^T$。
那麼，矩陣 G 可以是：

這個 G 矩陣是 $7 \times 2$ 的。題目要求的是 $2 \times 7$ 的矩陣 G。
所以，我們應該找的是 H 的「左零空間」（left null space）。
$G H^T = 0$ 意味著 G 的每一行向量 $g_i^T$ 都是 $H^T$ 的左零空間中的向量。

核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. 指數分布的尾端機率：
   若 $X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)$，則
   $P(X\ge x)=e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.$

2. 幾何分布的機率質量函數：
   若 $Y$ 服從參數為 $p$ 的幾何分布，且取值為 $1,2,3,\ldots$，則
   $P(Y=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,3,\ldots$

題目給定 $X$ 的平均數為 $1/\lambda=1$，因此

所以 $X$ 的分布為參數 $1$ 的指數分布。

解題方法

由

可知，當 $Y=k$ 時，必須滿足

因此

指數分布為連續型分布，單點機率為 $0$，故可寫成

利用 $\lambda=1$ 時的尾端機率

得到

核心觀念

本題考查：

• 幾何分布的期望值；
• 條件機率；
• 獨立試驗與條件下的樣本空間調整。

「第一次擲出 $5$ 發生在第三次」表示：

因此，前兩次擲出的結果均勻分布在 $\{1,2,3,4,6\}$ 中。對前兩次而言，擲出 $1$ 的條件機率為

第三次確定為 $5$，不會是 $1$。從第四次開始，骰子恢復獨立且每次擲出 $1$ 的機率為 $1/6$。

解題方法

令 $T$ 表示第一次擲出 $1$ 所需的總擲骰次數。

分情況討論 $T$：

情況一：第一次就擲出 $1$

情況二：第一次不是 $1$，第二次擲出 $1$

在條件 $X_1\neq 5$ 下，第一次不是 $1$ 的機率為 $4/5$；第二次擲出 $1$ 的機率為 $1/5$，所以

情況三：前兩次都不是 $1$

此時第三次已確定為 $5$，因此前 3 次都沒有擲出 $1$，其機率為

從第四次開始，每次擲出 $1$ 的機率為 $1/6$，所以從第四次開始等待第一次出現 $1$ 的等待次數服從幾何分布，期望為

核心觀念

這題考「隨機項數和」的動差生成函數。令 $X_1,X_2,\dots$ 為獨立同分布的常態隨機變數，且 $N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$。以下採用隨機和的標準假設：$N$ 與所有 $X_i$ 相互獨立；當 $N=0$ 時，空和定義為 $Y=0$。

若 $M_X(t)$ 是單一 $X_i$ 的動差生成函數，則在給定 $N=n$ 時，

解題方法

因為 $X_i\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，單一 $X_i$ 的動差生成函數為

利用條件期望對 $N$ 取平均：

核心觀念

隨機變數的變異數可寫成

對任意常數 $a$，都有

因此 $\operatorname{Var}(X)\le E[(X-a)^2]$。本題已知 $X$ 幾乎必然落在 $[0,c]$，可取區間中點 $a=c/2$ 來估計。

解題方法

因為 $0\le X\le c$ 幾乎必然成立，所以

取期望後，利用任意常數 $a$ 的平方誤差分解：

本題考驗條件機率密度函數（conditional PDF）的計算與條件期望值（conditional expectation）的求解。

首先，我們需要確定常數 c 的值。
根據機率密度函數的性質，其在整個定義域上的積分必須等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy dx = 1$。

積分 $\int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx$ 是一個標準的 Gamma 函數積分，或者可以使用分部積分法計算。
令 $u=x$, $dv=e^{-x}dx$。則 $du=dx$, $v=-e^{-x}$。
$\int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx = [-x e^{-x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-x}) dx$
$= (0 - 0) + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$。
所以，
$2c \cdot 1 = 1 \implies c = 1/2$。

因此，聯合機率密度函數為 $f(x, y) = \frac{1}{2} e^{-x}$，當 $x \ge 0, |y| < x$。

現在我們需要計算 $E(Y|X = 10)$。
首先，我們需要找到條件機率密度函數 $f_{Y|X}(y|x)$。
$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)}$。
我們需要先計算 X 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$。