115 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《工程力學》

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第 1 題25 分

  1. Arm ABCABC is connected by pins to a collar at BB and to a crank CDCD at CC. Assume the weights of all members are negligible and that collar BB freely moves along the horizontal rod with negligible friction. Determine:

(a) (15%) The torque MM required to hold the system in equilibrium if θ=0∘\theta = 0^\circ. (Express MM in terms of PP).
(b) (10%) Compute the value of the applied force PP required to hold the system in equilibrium, if θ=36.87∘\theta = 36.87^\circ and M=300 N⋅mmM = 300\ \text{N}\cdot\text{mm}.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：A 在 B 右上方（水平 160 mm＋90 mm、垂直 150 mm），B 在水平桿上，C 在 B 下方 320 mm；曲柄 CD 水平跨距 300 mm，D 高於 C 125 mm，MM 作用於 D；PP 作用於 A，與水平夾 θ\theta；附 3-4-5 三角形（36.87°）】

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核心觀念

將臂桿 ABCABC 與曲柄 CDCD 分別作自由體圖。BB 處套環沿水平桿無摩擦滑動，因此桿對套環的作用力只有垂直分量；以臂桿的水平力平衡可求出 CC 點水平力，再以 BB 點取矩求出 CC 點垂直力。曲柄上的 CC 點受力與臂桿上的 CC 點受力大小相等、方向相反。

以下取逆時針力矩為正，並依圖中尺寸設定座標：

  • 相對於 BB 點，A=(90,150) mmA=(90,150)\ \text{mm}，C=(−160,−320) mmC=(-160,-320)\ \text{mm}。
  • 相對於 DD 點，C=(−300,−125) mmC=(-300,-125)\ \text{mm}。
  • PP 的分量為 (Pcos⁡θ, Psin⁡θ)(P\cos\theta,\ P\sin\theta)。

解題方法

(a) θ=0∘\theta=0^\circ 時所需力矩

對臂桿 ABCABC，水平方向平衡給出 CC 點作用於臂桿的水平力：

Cx+Pcos⁡θ=0⇒Cx=−Pcos⁡θC_x+P\cos\theta=0 \qquad\Rightarrow\qquad C_x=-P\cos\theta

以 BB 點取矩：

90Psin⁡θ−150Pcos⁡θ−160Cy−320Pcos⁡θ=090P\sin\theta-150P\cos\theta-160C_y-320P\cos\theta=0

因此：

Cy=90sin⁡θ−470cos⁡θ160PC_y=\frac{90\sin\theta-470\cos\theta}{160}P

當 θ=0∘\theta=0^\circ 時，sin⁡θ=0\sin\theta=0、cos⁡θ=1\cos\theta=1，所以：

Cx=−P,Cy=−470160P=−2.9375PC_x=-P,\qquad C_y=-\frac{470}{160}P=-2.9375P

曲柄在 CC 點受到的力為 (−Cx,−Cy)=(P,2.9375P)(-C_x,-C_y)=(P,2.9375P)。以 DD 點取矩，外加力矩 MM 必須平衡此力造成的力矩：

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第 2 題25 分

  1. A 30 N block AA rests on top of a 150 N block BB. Block AA is connected to a 50 N block CC by a cord that passes over a drum DD. The cord and drum DD are assumed to be frictionless. The coefficient of static friction is 0.3 between blocks AA and BB, and 0.4 between block BB and the ground. Assume that no tipping occurs.

(a) (10%) Determine the minimum force PP required to initiate motion of block B.
(b) (5%) Using the result from part (a), determine the friction force between blocks A and B at the onset of motion of block B.
(c) (5%) If the weight of block C is reduced to 5 N, determine the minimum force PP required to initiate motion of block B.
(d) (5%) Using the result from part (c), determine the friction force between blocks A and B at the onset of motion of block B.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：A 疊在 B 上，繩由 A 向左繞過固定鼓輪 D 垂吊 C；PP 水平向右作用於 B】

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核心觀念

地面與 A、BA、B 接觸面都遵守靜摩擦限制：

0≤fs≤μsN0\le f_s\le \mu_s N

物體即將滑動時，該接觸面的靜摩擦力達到最大值 μsN\mu_sN。繩索與鼓輪無摩擦，因此繩上的張力相同。判斷 BB 即將向右移動時，AA 對 BB 的摩擦力向左；地面对 BB 的摩擦力也向左，故 PP 必須克服兩者。

解題方法

BB 與地面間的正向力承受 A、BA、B 的總重量：

NBg=30+150=180 NN_{Bg}=30+150=180\ \text{N}

因此地面最大靜摩擦力為

fg,max⁡=0.4(180)=72 Nf_{g,\max}=0.4(180)=72\ \text{N}

A、BA、B 間的正向力為 AA 的重量 30 N30\ \text{N}，最大靜摩擦力為

fAB,max⁡=0.3(30)=9 Nf_{AB,\max}=0.3(30)=9\ \text{N}

在 BB 即將向右滑動時，AA 受向右的摩擦力，繩張力平衡該摩擦力。CC 位於地面上，繩張力不超過 CC 的重量；若張力小於其重量，地面仍可提供正向力支撐 CC。

(a) CC 重量為 50 N50\ \text{N}

繩張力可達 50 N50\ \text{N}，大於 A、BA、B 間所能提供的最大靜摩擦力 9 N9\ \text{N}。因此 BB 即將移動時，A、BA、B 間的摩擦力達到上限：

fAB=9 Nf_{AB}=9\ \text{N}

BB 的水平平衡式為

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第 3 題25 分

  1. (Total 25%):

The military jet aircraft has a gross weight of 24,000 lb and is poised for takeoff with brakes set while the engine is revved up to maximum power. At this condition, air with a specific weight of 0.0753 lb/ft30.0753\ \text{lb/ft}^3 is sucked into the intake ducts at the rate of 106 lb/sec with a static pressure of −0.30 lb/in.2-0.30\ \text{lb/in.}^2 (gage) across the duct entrance. The total cross-sectional area of both intake ducts (one on each side) is 1800 in.21800\ \text{in.}^2 The air–fuel ratio is 18, and the exhaust velocity uu is 3100 ft/sec with zero back pressure (gage) across the exhaust nozzle. Compute the initial acceleration aa of the aircraft upon release of the brakes and the following rates.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：戰機示意與自由體圖，W=24000W = 24000 lb，進氣速度 v0v_0，進氣口壓力 −pA-pA，排氣 u=3100u = 3100 ft/sec，+x+x 與 aa 朝左】

(4%) Air intake mass rate: mair_in′=m'_{air\_in} = ____ (lb×sec/ft)(\text{lb} \times \text{sec/ft})　Options: (a) 106, (b) 3.29, (c) 5.89, (d) 59.2, (e) 0.183, (f) 113, (g) 10900
(4%) Fuel mass rate: mfuel′=m'_{fuel} = ____ (lb×sec/ft)(\text{lb} \times \text{sec/ft})　Options: (a) 106, (b) 3.29, (c) 5.89, (d) 59.2, (e) 0.183, (f) 113, (g) 1908
(4%) Air intake velocity: v0=v_0 = ____ (ft/sec)(\text{ft/sec})　Options: (a) 0.0243, (b) 0.782, (c) 3.50, (d) 14.7, (e) 0.183, (f) 113, (g) 10900
(4%) Exhaust mass rate: mexhaust′=m'_{exhaust} = ____ (lb×sec/ft)(\text{lb} \times \text{sec/ft})　Options: (a) 62.51, (b) 3.47, (c) 112, (d) 14.7, (e) 0.183, (f) 113, (g) 10900
(4%) Net thrust: T=T = ____ (lb)(\text{lb})　Options: (a) 0, (b) 3.29, (c) 11100, (d) 193550, (e) 193410, (f) 10400, (g) 10940
(5%) initial aircraft acceleration: a=a = ____ (ft/sec2)(\text{ft/sec}^2)　Options: (a) 0, (b) 8.06, (c) 0.433, (d) 0.456, (e) 14.7, (f) 259, (g) 14.0

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核心觀念

本題考查開放系統的質量流率、線動量定理與推力，以及英制單位下重量與質量的換算。英制中重量流率以 lb/s\text{lb/s} 表示；質量流率則為

m˙=W˙g,g=32.2 ft/s2\dot m=\frac{\dot W}{g}, \qquad g=32.2\ \text{ft/s}^2

因此質量流率單位為 lb⋅s/ft\text{lb}\cdot\text{s/ft}。進、排氣質量流率以質量守恆連結，推力則由流體動量變化與進氣口壓力差共同決定。

解題方法

取飛機前進方向為正方向。進氣速度 v0v_0 與排氣速度 uu 的方向相反；燃油質量流率由空燃比求得。

1. 進氣質量流率

已知進氣重量流率為 106 lb/s106\ \text{lb/s}，換算成質量流率：

m˙air,in=10632.2=3.29 lb⋅s/ft\dot m_{\text{air,in}} =\frac{106}{32.2} =3.29\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}

2. 燃油質量流率

空燃比為 18，故燃油重量流率為

W˙fuel=10618=5.89 lb/s\dot W_{\text{fuel}} =\frac{106}{18} =5.89\ \text{lb/s}

再換算成質量流率：

m˙fuel=5.8932.2=0.183 lb⋅s/ft\dot m_{\text{fuel}} =\frac{5.89}{32.2} =0.183\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}

3. 進氣速度

兩個進氣口總面積換算為

A=1800(1144)=12.5 ft2A=1800\left(\frac{1}{144}\right)=12.5\ \text{ft}^2

由重量流率關係 W˙=γAv0\dot W=\gamma A v_0：

v0=106(0.0753)(12.5)=112.6≈113 ft/sv_0 =\frac{106}{(0.0753)(12.5)} =112.6 \approx113\ \text{ft/s}

4. 排氣質量流率

由質量守恆，排氣質量流率等於進氣與燃油質量流率之和：

m˙exhaust=m˙air,in+m˙fuel=3.29+0.183=3.47 lb⋅s/ft\dot m_{\text{exhaust}} =\dot m_{\text{air,in}}+\dot m_{\text{fuel}} =3.29+0.183 =3.47\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}

5. 淨推力

動量流率提供的推力為排氣動量流率減去進氣動量流率：

Tmomentum=m˙exhaustu−m˙air,inv0T_{\text{momentum}} =\dot m_{\text{exhaust}}u-\dot m_{\text{air,in}}v_0

進氣口表壓為 −0.30 lb/in2-0.30\ \text{lb/in}^2，壓力差對飛機的推力貢獻為

Tpressure=(0.30)(1800)=540 lbT_{\text{pressure}} =(0.30)(1800)=540\ \text{lb}

因此淨推力為

T=(3.47)(3100)−(3.29)(113)+540≈10940 lb\begin{aligned} T &=(3.47)(3100)-(3.29)(113)+540\\ &\approx10940\ \text{lb} \end{aligned}

6. 初始加速度

飛機質量為 W/gW/g，由牛頓第二定律：

a=TW/g=1094024000/32.2=14.7 ft/s2a=\frac{T}{W/g} =\frac{10940}{24000/32.2} =14.7\ \text{ft/s}^2

選項分析

進氣質量流率

  • (a) 106106：是進氣重量流率，尚未除以 gg，不是質量流率。
  • (b) 3.293.29：正確，106/32.2=3.29 lb⋅s/ft106/32.2=3.29\ \text{lb}\cdot\text{s/ft}。
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第 4 題25 分

  1. (Total 25%):

A helicopter starts from rest at point AA and travels along the straight-line path with a constant acceleration aa. If the speed v=36v = 36 m/s when the altitude of the helicopter is h=47h = 47 m, determine the values of r˙\dot{r}, r¨\ddot{r}, θ˙\dot{\theta}, and θ¨\ddot{\theta} as measured by the tracking device at OO. At this instant, θ=40∘\theta = 40^\circ, and the distance d=156d = 156 m. Neglect the small height of the tracking device above the ground.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：追蹤器位於 O，直升機自 A 沿斜直線朝左上飛行，rr 為 O 到直升機距離、θ\theta 為仰角、hh 為高度、dd 為 O 到 A 距離】

Within the tracking device software, the default units for tracking values are m/s\text{m/s}, m/s2\text{m/s}^2, rad/s\text{rad/s}, rad/s2\text{rad/s}^2 for r˙\dot{r}, r¨\ddot{r}, θ˙\dot{\theta}, and θ¨\ddot{\theta}.

(6%) Radial velocity measurement: r˙=\dot{r} = ____
(6%) Radial acceleration measurement: r¨=\ddot{r} = ____
(6%) Angular velocity measurement: θ˙=\dot{\theta} = ____
(7%) Angular acceleration measurement: θ¨=\ddot{\theta} = ____

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
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核心觀念

以追蹤器 OO 為極點，使用平面極座標速度與加速度關係。直升機沿直線做等加速度運動，且由靜止開始，因此可先用 v2=v02+2asv^2=v_0^2+2as 求其加速度大小。

解題方法

由圖中幾何關係，直升機當下的水平位置為 x=hcot⁡θx=h\cot\theta，而位置向量長度為 r=h/sin⁡θr=h/\sin\theta。代入已知數值：

x=47cot⁡40∘=56.01 m,r=47sin⁡40∘=73.12 mx=47\cot40^\circ=56.01\ \text{m},\qquad r=\frac{47}{\sin40^\circ}=73.12\ \text{m}

直升機從 AA 飛到當下位置，沿直線走過的距離為

s=(d−x)2+h2=(156−56.01)2+472=110.48 ms=\sqrt{(d-x)^2+h^2} =\sqrt{(156-56.01)^2+47^2} =110.48\ \text{m}

因為起始速度為零，且加速度沿飛行方向：

a=v22s=3622(110.48)=5.87 m/s2a=\frac{v^2}{2s} =\frac{36^2}{2(110.48)} =5.87\ \text{m/s}^2

飛行方向的單位向量由 AA 指向直升機當下位置：

ev=(x−d, h)s=(−0.9050, 0.4254)\mathbf e_v=\frac{(x-d,\ h)}{s} =(-0.9050,\ 0.4254)

因此直角座標中的速度與加速度為

v=36ev=(−32.58, 15.31) m/s\mathbf v=36\mathbf e_v=(-32.58,\ 15.31)\ \text{m/s} a=5.87ev=(−5.31, 2.50) m/s2\mathbf a=5.87\mathbf e_v=(-5.31,\ 2.50)\ \text{m/s}^2

追蹤器的極座標單位向量為 er=(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathbf e_r=(\cos\theta,\sin\theta)、eθ=(−sin⁡θ,cos⁡θ)\mathbf e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)。將速度投影到這兩個方向：

r˙=v⋅er=−15.11 m/s\dot r=\mathbf v\cdot\mathbf e_r=-15.11\ \text{m/s}
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