111 年國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《工程力學》考古題與詳解

Question 1

The wheel weighs $60	ext{ lb}$ and rests on a surface $A$. A cord wrapped around it is attached to the top of the $90	ext{-lb}$ block. If the coefficients of static friction at $B$ and $D$ are $\muB = 0.2$ and $\muD = 0.3$, respectively. Determine the smallest vertical force that can be applied tangentially to the wheel which will cause motion to impend. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面剛體靜力平衡與即將滑動時的極限摩擦力： $$ F{\mathrm{friction,max}}=\mus N $$ 在「即將運動」狀態下，至少一個接觸面必須滿足 $$ F=\mus N $$ 同時各剛體仍須滿足 $$ \sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0,\qquad \sum M=0 $$ 題圖資訊不足 目前附上的圖片只有考卷封面，未包含本題實際受力圖。因此無法確認下列必要資料： - 接觸面 $A$、$B$、$D$ 的實際位置與方向。 - 滑輪與方塊的幾何尺寸、半徑及力的作用線。 - 垂直外力施加在輪子的哪一側、方向為向上或向下。 - 接觸面 $A$ 是否光滑，以及其摩擦係數。 - 繩子的方向與方塊在 $B$、$D$ 處的接觸形式。 因此，僅由 $W{	ext{wheel}}=60\ 	ext{lb}$、$W{	ext{block}}=90\ 	ext{lb}$、$\muB=0.2$、$\muD=0.3$，無法唯一求得數值答案。 解題方法 若假設接觸面 $A$ 為光滑面，應分別對輪子與方塊建立平衡方程。 對輪子：

Question 2

For the frame shown, determine (i) the forces in members $CD$ and $EF$ , and (ii) the horizontal and vertical components of force which the pins $A$ and $B$ exert on the frame. The weight of each member is neglected.

Note: member $EF$ is pinned to members $AD$ and $BC$ .

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

資訊不足 目前提供的掃描圖只有考卷封面，未包含本題的框架圖；因此缺少外力大小與方向、作用位置、各桿件幾何尺寸及角度，無法唯一決定 $CD$、$EF$ 的數值內力，也無法求出銷 $A$、$B$ 的水平與垂直反力。 核心觀念 若桿件 $CD$、$EF$ 兩端皆為銷接，且桿件中間沒有其他外力，則兩者均為二力構件，內力必沿桿件軸線： $$ \mathbf{F}{CD}=N{CD}\mathbf{u}{CD},\qquad \mathbf{F}{EF}=N{EF}\mathbf{u}{EF}. $$ 對整個框架使用平衡方程式： $$ \sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0,\qquad \sum MA=0. $$ 再分別取適當構件或節點的自由體圖，求出 $N{CD}$、$N{EF}$ 及銷 $A$、$B$ 的反力分量。 解題方法 設銷 $A$、$B$ 對框架的作用力分別為 $$ \mathbf{A}=Ax\mathbf{i}+Ay\mathbf{j}, \qquad \mathbf{B}=Bx\mathbf{i}+By\mathbf{j}. $$ 若圖中所有外力為 $\mathbf{P}k=(P{kx},P{ky})$，作用點位置向量為 $\mathbf rk$，則整體平衡給出

Question 3

As shown below, A small block having a mass of $0.1\text{ kg}$ is given a horizontal velocity of $v_0 = 0.4\text{ m/s}$ when $r_1 = 500\text{ mm}$ . It slides along the smooth conical surface. Determine the distance $h$ it must descend for it to reach a speed of $v_2 = 2\text{ m/s}$ . Also, what is the cosine value of the descent angle $\theta$ (value of $\cos\theta$ ), that is, taking cosine of the angle measured from the horizontal to the tangent of the path?

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題結合光滑曲面上的機械能守恆與鉛直軸角動量守恆。由圖可見，圓錐側面與鉛直軸的夾角為 $30^\circ$，初始位置的半徑為 $r1=500	ext{ mm}=0.500	ext{ m}$。 解題方法 光滑圓錐面的正向力不作功，因此方塊下降高度 $h$ 時，重力位能減少量轉為動能增加量： $$ mgh=\frac12m(v2^2-v1^2) $$ 代入 $v1=0.4	ext{ m/s}$、$v2=2	ext{ m/s}$： $$ h=\frac{v2^2-v1^2}{2g} =\frac{2^2-0.4^2}{2(9.81)} =0.1957	ext{ m} $$ 圓錐母線與鉛直軸夾角為 $30^\circ$，下降 $h$ 時半徑減少 $h	an30^\circ$，所以到達速率 $v2$ 時的半徑為 $$ r2=r1-h	an30^\circ =0.500-(0.1957)	an30^\circ =0.3870	ext{ m} $$ 重力與圓錐面的正向力都沒有繞鉛直軸的力矩，因此鉛直軸角動量守恆： $$ r1v{\phi1}=r2v{\phi2} $$ 初始速度水平且沿圓周切線，故 $v{\phi1}=v1$。因此

Question 4

The $2	ext{-kg}$ ball is thrown at the suspended $20	ext{-kg}$ block with a velocity of $4	ext{ m/s}$. If the coefficient of restitution between the ball and the block is $e = 0.8$, determine the maximum height $h$ to which the block will swing before it momentarily stops. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題分為兩個階段： 1. 碰撞階段：利用動量守恆與恢復係數求碰撞後方塊的速度。 2. 擺動階段：碰撞後方塊向上擺動，利用機械能守恆求最大上升高度。 假設球沿水平方向以 $4\ 	ext{m/s}$ 撞擊原先靜止的方塊，且碰撞發生於方塊最低位置。題圖未顯示第 $(4)$ 題的懸掛尺寸，但求垂直上升高度不需知道繩長。 解題方法 令球為物體 $1$，方塊為物體 $2$，碰撞方向為正方向： $$ m1=2\ 	ext{kg},\qquad m2=20\ 	ext{kg} $$ $$ u1=4\ 	ext{m/s},\qquad u2=0 $$ 碰撞過程中，水平方向無外力衝量，因此動量守恆： $$ m1u1+m2u2=m1v1+m2v2 $$ 恢復係數定義為分離速度與接近速度之比： $$ e=\frac{v2-v1}{u1-u2}=0.8 $$ 由兩物體一維碰撞公式，方塊碰撞後速度為 $$ v2=\frac{(1+e)m1}{m1+m2}u1 $$ 代入數值：

111 年國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《工程力學》

第 (1) 題25 分

第 (2) 題25 分

第 (3) 題25 分

第 (4) 題25 分

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