109 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《工程力學》

核心觀念

本題考查剛體的平衡、力矩平衡，以及二力構件的性質。

連桿 $CD$ 兩端皆為鉸接，且中間沒有其他外力，因此為二力構件。故連桿對夾具本體在 $C$ 點所施的力，必沿著 $CD$ 方向。由圖可知：

• $CD$ 與水平夾角為 $60^\circ$；
• $B$ 為夾具本體的固定鉸支點；
• $E$ 為夾持位置；
• 手柄受垂直向下外力 $F$；
• $BE$ 的水平距離為 $1.5a$；
• $BC$ 的水平距離為 $a/2$；
• $C$ 到 $F$ 作用線的水平距離為 $1.5a$。

因此，$B$ 到 $F$ 作用線的距離為

$$\frac{a}{2}+1.5a=2a.$$

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解題方法

先分析手柄構件。取手柄上的鉸點 $C$ 作力矩平衡。設連桿 $CD$ 對手柄在 $C$ 點的作用力大小為 $P$。

由於 $CD$ 與水平夾角為 $60^\circ$，其垂直分量為

$$P_y=P\sin 60^\circ.$$

手柄上的外力 $F$ 與 $C$ 的水平距離為 $1.5a$。由圖中垂直尺寸可知，$C$ 到 $F$ 作用點的垂直距離為 $a/2$，因此取 $C$ 點力矩：

$$P\left(\frac{a}{2}\right) = F(1.5a).$$

約去 $a$：

$$\frac{P}{2}=1.5F,$$

所以

$$P=3F.$$

接著分析夾具本體，取固定鉸支點 $B$ 作力矩平衡。

核心觀念

$AB$ 兩端以銷接，且桿上沒有其他外力，因此是二力構件：桿力沿 $AB$ 軸線作用。對起落架取自由體圖，再使用平面剛體平衡式 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$，即可求出桿力與 $C$ 點反力。

解題方法

圖中起落架在 $C$ 點鉸接，與鉛直夾 $20^\circ$；$C$ 到 $A$ 的垂直距離為 $400\,\text{mm}$，輪軸到 $A$ 的垂直距離為 $600\,\text{mm}$。輪端受向右 $2\,\text{kN}$ 與向上 $6\,\text{kN}$ 的力。$AB$ 與起落架夾 $30^\circ$，所以 $AB$ 與鉛直夾 $50^\circ$、與水平夾 $40^\circ$。

取向右、向上為正，逆時針力矩為正。由圖示尺寸及 $\tan20^\circ=0.364$，輪軸與 $A$ 相對於 $C$ 的水平距離分別為

$$x_{\text{輪}}=-1000(0.364)=-364\,\text{mm}, \qquad x_A=-400(0.364)=-145.6\,\text{mm}.$$

先對 $C$ 點取力矩，可消去 $C$ 點反力。輪端兩力的合力矩為

$$M_{\text{輪端}} =2(1000)-6(364) =-184\,\text{kN}\cdot\text{mm}.$$

假設 $AB$ 受拉，則它在 $A$ 點對起落架施力，方向沿 $A$ 指向 $B$。

核心觀念

本題運用平面剛體運動學：質心位於桿件中點；兩點間的速度與加速度關係式；以及瞬時轉動中心的幾何判定。取逆時針為角速度、角加速度的正方向。

解題方法

依原卷圖，$O$、$C$ 是固定鉸點，$A$、$B$ 是連桿間的鉸接點。以 $O$ 為原點，圖示 $OA=100\text{ mm}$、$C=(250,50)\text{ mm}$，且 $BC=75\text{ mm}$ 為水平桿，因此

$$A=(0,100)\text{ mm},\qquad B=(175,50)\text{ mm},\qquad C=(250,50)\text{ mm}.$$

故 $\overrightarrow{r}_{B/A}=(175,-50)\text{ mm}$，與圖示角度 $\theta=\tan^{-1}(50/175)=16^\circ$ 相符。$C$ 的位置是 $(250,50)\text{ mm}$，但因為它是固定鉸點，速度與加速度為零。題目只給 OA 的角速度大小，以下按 OA 當下逆時針轉動取 $\omega_{OA}=+1\text{ rad/s}$；若輸入轉向為順時針，所有角速度與線速度的符號反轉，角加速度不變。

平面剛體運動的關係式為

$$\mathbf v_P=\mathbf v_Q+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{P/Q}, \qquad \mathbf a_P=\mathbf a_Q+\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{P/Q}-\omega^2\mathbf r_{P/Q}.$$

(1) 各連桿質心座標

各桿質心在其中點，因此

$$G_{OA}=\left(0,\frac{0+100}{2}\right)=(0,50)\text{ mm},$$ $$G_{AB}=\left(\frac{0+175}{2},\frac{100+50}{2}\right)=(87.5,75)\text{ mm},$$ $$G_{BC}=\left(\frac{175+250}{2},\frac{50+50}{2}\right)=(212.5,50)\text{ mm}.$$

(2) AB 的瞬時轉動中心

OA 頂端的速度垂直於 OA，方向向左。先算出

$$\mathbf v_A =\omega_{OA}\hat{\mathbf k}\times\mathbf r_{A/O} =1\hat{\mathbf k}\times(0,100) =(-100,0)\text{ mm/s}.$$

由於 C 固定，BC 上 B 點的速度垂直於水平桿 BC，方向為垂直方向。AB 的瞬時轉動中心是通過 A、B 且分別垂直於 $\mathbf v_A$、$\mathbf v_B$ 的兩條直線交點：通過 A 的垂線為 $x=0$，通過 B 的垂線為 $y=50$，所以

$$I_{AB}=(0,50)\text{ mm}.$$

(3) AB、BC 的角速度

對 AB 使用兩點速度式；由於 $\mathbf r_{B/A}=(175,-50)\text{ mm}$，

$$\mathbf v_B =\mathbf v_A+\omega_{AB}\hat{\mathbf k}\times\mathbf r_{B/A} =(-100,0)+\omega_{AB}(50,175).$$

另一方面，$\mathbf r_{B/C}=(-75,0)\text{ mm}$，且 $\mathbf v_C=0$，所以

$$\mathbf v_B =\omega_{BC}\hat{\mathbf k}\times\mathbf r_{B/C} =(0,-75\omega_{BC}).$$

比較 $x$、$y$ 分量：

$$-100+50\omega_{AB}=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{AB}=2\text{ rad/s},$$

核心觀念

鋼棒釋放鋼索後，僅受重力作用，繞固定鉸鏈 $A$ 作平面轉動。採用：

1. 繞固定點 $A$ 的轉動方程
   $\sum M_A=I_A\alpha$

2. 剛體質心加速度

$$\mathbf a_G=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{G/A} +\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{G/A})$$

3. 能量法
   $mg\Delta h=\frac12 I_A\omega^2$

以下令鋼棒由水平位置順時針轉下，轉角 $\theta$ 自水平線向下量測。由題目給定：

$I_A=\frac{mL^2}{3},\qquad AG=\frac L2$

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解題方法

角加速度與角速度

重力對 $A$ 的力矩為：

$M_A=mg\frac L2\cos\theta$

因此

$$mg\frac L2\cos\theta =\frac{mL^2}{3}\alpha$$

得到

$\alpha=\frac{3g}{2L}\cos\theta$

鋼棒質心下降高度為：

$\Delta h=\frac L2\sin\theta$

由能量守恆：

$$mg\frac L2\sin\theta =\frac12\left(\frac{mL^2}{3}\right)\omega^2$$

所以

$\omega^2=\frac{3g}{L}\sin\theta$

質心位置為：

$$\mathbf r_{G/A} =\frac L2(\cos\theta\,\mathbf i-\sin\theta\,\mathbf j)$$

計算質心加速度分量：

$$a_{Gx} =-\frac L2\left(\omega^2\cos\theta+\alpha\sin\theta\right) =-\frac{9g}{4}\sin\theta\cos\theta$$ $$a_{Gy} =\frac L2\left(\omega^2\sin\theta-\alpha\cos\theta\right) =\frac{3g}{2}\sin^2\theta-\frac{3g}{4}\cos^2\theta$$

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（1）鋼索剛釋放瞬間，鉸鏈 $A$ 的反力

剛釋放時 $\theta=0$，且 $\omega=0$。

因此：

$a_{Gx}=-\frac{3g}{4}$

$a_{Gy}=-\frac{3g}{4}$

對質心套用牛頓第二定律。

水平方向：

$A_x=ma_{Gx}=-\frac{3mg}{4}$

負號表示鉸鏈反力方向向左。

鉛直方向：

$A_y-mg=ma_{Gy}$

$A_y-mg=-\frac{3mg}{4}$

$A_y=\frac{mg}{4}$

故鉸鏈反力大小為：

$R_A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$

$$R_A=\sqrt{\left(\frac{3mg}{4}\right)^2+ \left(\frac{mg}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt{10}}{4}mg$$

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（2）鋼棒轉過 $30^\circ$ 時，鉸鏈 $A$ 的反力

令 $\theta=30^\circ$：

$$\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

水平方向反力：

$A_x=-\frac{9mg}{4}\sin30^\circ\cos30^\circ$

$A_x=-\frac{9\sqrt3}{16}mg$

鉛直方向由

$A_y-mg=ma_{Gy}$

得：

$$A_y =mg+m\left(\frac{3g}{2}\sin^2\theta -\frac{3g}{4}\cos^2\theta\right)$$

整理為：

這題主要在考驗學生對工程力學基本概念的理解，包含牛頓運動定律、慣性參考座標系、行星運動定律、角動量守恆、機械能守恆以及恢復係數等。這些都是力學分析的基石，理解其定義與數學表達式至關重要。

以下針對題目要求逐一說明：

(1) Newton's laws of motion and inertial reference frame.

說明：
牛頓運動定律是古典力學的基礎，描述了物體運動與受力之間的關係。慣性參考座標系則是牛頓運動定律成立的前提。在慣性參考座標系中，不受外力的物體會保持靜止或等速度直線運動；物體運動狀態的改變（即加速度）與其所受的淨外力成正比，且方向相同；作用力與反作用力大小相等、方向相反，並作用於不同物體上。

數學式：

• 牛頓第一運動定律 (慣性定律)：
  若淨外力為零，則物體保持靜止或等速度直線運動。
  $\sum \vec{F} = 0 \implies \vec{v} = \text{constant}$

• 牛頓第二運動定律：
  物體所受淨外力等於其質量與加速度的乘積。
  $\sum \vec{F} = m\vec{a}$
  其中 $\sum \vec{F}$ 為物體所受的淨外力向量，$m$ 為物體的質量，$\vec{a}$ 為物體的加速度向量。

• 牛頓第三運動定律 (作用力與反作用力定律)：
  兩個物體之間的交互作用力，大小相等、方向相反，且作用在不同物體上。
  $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$
  其中 $\vec{F}_{AB}$ 是物體 A 施加於物體 B 的力，$\vec{F}_{BA}$ 是物體 B 施加於物體 A 的力。

• 慣性參考座標系 (Inertial Reference Frame)：
  一個不隨時間加速的參考座標系。在這樣的座標系中，牛頓運動定律成立。例如，遠離其他大質量天體的自由空間中的參考系，或相對於遙遠恆星靜止或等速移動的參考系。

【答案】

(2) Kepler's laws of motion, perigee and apogee.

說明：
克卜勒運動定律是描述行星繞太陽運動的經驗定律，後來被牛頓的萬有引力定律所解釋。這三個定律分別描述了軌道的形狀、掃過面積的速率以及週期的平方與軌道半長軸的關係。遠地點 (apogee) 和近地點 (perigee) 是描述橢圓軌道上離中心天體最近和最遠的點。

數學式：

• 克卜勒第一定律 (軌道定律)：
  所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽位於其中一個焦點上。
  $r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$
  其中 $r$ 是行星到太陽的距離，$a$ 是軌道的半長軸，$e$ 是軌道的離心率，$\theta$ 是行星相對於近日點的角度。

• 克卜勒第二定律 (面積定律)：
  行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。這實際上是角動量守恆定律在重力作用下的體現。
  $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{L}{2m} = \text{constant}$
  其中 $A$ 是掃過的面積，$t$ 是時間，$\dot{\theta}$ 是角速度，$L$ 是角動量，$m$ 是行星質量。

• 克卜勒第三定律 (週期定律)：
  行星繞太陽公轉週期的平方與其軌道半長軸的立方成正比。
  $T^2 \propto a^3$
  對於繞同一中心天體運動的行星，有：
  $\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$

• 遠地點 (Apogee) 與近地點 (Perigee)：
  對於繞地球運動的衛星或月球，

  • 近地點 (Perigee)： 軌道上離地球中心最近的點。
  • 遠地點 (Apogee)： 軌道上離地球中心最遠的點。
    對於繞太陽運動的行星或彗星，則分別稱為近日點 (Perihelion) 和遠日點 (Aphelion)。

【答案】

(3) Principle of conservation of angular momentum.