111 年 國立成功大學航空太空工程學系碩士班乙組《材料力學》

本題考驗圓軸扭轉的應力與應變分析，特別是當材料性質或幾何形狀非均一時，如何計算總扭矩的承受比例。

核心觀念：

1. 圓軸扭轉公式：扭矩 $T$ 與最大剪應力 $\tau_{max}$ 的關係為 $T = \frac{J \tau_{max}}{c}$，其中 $J$ 為極慣性矩，$c$ 為外半徑。
2. 剪應力分佈：對於均質、線彈性材料，剪應力 $\tau$ 與距離 $r$ 成正比，即 $\tau(r) = \frac{Tr}{J}$。
3. 扭矩的計算：任一圓柱殼體的扭矩貢獻可透過對其體積內的剪應力進行積分來計算。

解題步驟：

(a) 計算內半徑 $c/2$ 至外半徑 $c$ 的材料所承受的扭矩比例

假設整個實心圓軸為均質、線彈性材料，並承受總扭矩 $T$。
實心圓軸的極慣性矩 $J_{total}$ 為：
$J_{total} = \frac{\pi c^4}{2}$
在圓軸內任一點距離軸心 $r$ 處的剪應力為：
$\tau(r) = \frac{Tr}{J_{total}} = \frac{Tr}{\frac{\pi c^4}{2}} = \frac{2Tr}{\pi c^4}$

我們需要計算由內半徑 $r_1 = c/2$ 到外半徑 $r_2 = c$ 的圓環區域所承受的扭矩 $T_{outer}$。
考慮一個厚度為 $dr$ 的薄圓殼，其半徑為 $r$ ($c/2 \le r \le c$)，則此薄殼所承受的扭矩 $dT$ 為：
$dT = r \cdot (\tau(r) \cdot dA)$
其中 $dA$ 是此薄殼的橫截面積，對於半徑為 $r$、厚度為 $dr$ 的薄圓殼，其面積 $dA = 2\pi r dr$。
$dT = r \cdot \left(\frac{2Tr}{\pi c^4}\right) \cdot (2\pi r dr) = \frac{4\pi T}{\pi c^4} r^3 dr = \frac{4T}{c^4} r^3 dr$

將此式從 $r_1 = c/2$ 積到 $r_2 = c$，即可得到外圍區域承受的扭矩 $T_{outer}$：
$T_{outer} = \int_{c/2}^{c} dT = \int_{c/2}^{c} \frac{4T}{c^4} r^3 dr$

核心觀念

本題使用：

• 簡支梁受均佈載重時的支承反力與最大彎矩。
• 彎曲應力公式
  $\sigma=\frac{My}{I}$
• 平行軸定理計算 I 形截面的慣性矩。
• 截面各部分所承受的彎矩比例與其慣性矩成正比。
• 剪應力公式
  $\tau=\frac{VQ}{It}$

由圖得：

$L=6\ \mathrm{m},\qquad w=5\ \mathrm{kN/m}$

截面尺寸為：

$b_f=250\ \mathrm{mm},\quad t_f=20\ \mathrm{mm},\quad t_w=20\ \mathrm{mm}$

依圖中尺寸，中性軸至最外緣距離為 $150\ \mathrm{mm}$，故總高度為 $300\ \mathrm{mm}$。

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截面幾何性質

截面上下對稱，因此中性軸位於截面中央。

腹板高度：

$h_w=300-2(20)=260\ \mathrm{mm}$

上下翼板形心至中性軸距離：

$d=150-\frac{20}{2}=140\ \mathrm{mm}$

上下翼板的總慣性矩：

$$I_f =2\left[ \frac{b_f t_f^3}{12} +(b_f t_f)d^2 \right]$$ $$I_f =2\left[ \frac{250(20)^3}{12} +(250\times20)(140)^2 \right] =1.9633\times10^8\ \mathrm{mm^4}$$

腹板慣性矩：

$$I_w=\frac{t_w h_w^3}{12} =\frac{20(260)^3}{12} =2.9293\times10^7\ \mathrm{mm^4}$$

因此整個截面的慣性矩為：

$$I=I_f+I_w =2.2563\times10^8\ \mathrm{mm^4}$$

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(a) 最大彎曲應力

均佈載重對稱作用，因此兩端支承反力相等：

$$R_A=R_B=\frac{wL}{2} =\frac{5(6)}{2} =15\ \mathrm{kN}$$

跨中剪力為零，所以最大彎矩發生在跨中：

$$M_{\max}=\frac{wL^2}{8} =\frac{5(6)^2}{8} =22.5\ \mathrm{kN\cdot m}$$

換算為 $\mathrm{N\cdot mm}$：

$$M_{\max}=22.5\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}$$

最大彎曲應力發生在上下最外緣，距離中性軸：

$$c=150\ \mathrm{mm}$$

因此：

$$\sigma_{\max} =\frac{M_{\max}c}{I} =\frac{(22.5\times10^6)(150)} {2.2563\times10^8}$$ $$\boxed{\sigma_{\max}=14.96\ \mathrm{MPa}}$$

上緣為壓應力，下緣為拉應力。

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(b) 翼板所承受的彎矩比例

彎曲應力為：

核心觀念

本題考查「均勻邊界壓力造成平面內等向壓應力」及平面應力下的虎克定律。

取材料區域外法向量為 $\mathbf n$。六個受壓邊界的面力皆為

$$\mathbf t=-p\mathbf n.$$

令平面內應力為

$$\boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} -p&0\\ 0&-p \end{bmatrix}.$$

此應力場滿足平衡方程，且在六個受壓邊界上皆有 $\boldsymbol{\sigma}\mathbf n=-p\mathbf n$。在 $AB$ 處，

$$\boldsymbol{\sigma}\mathbf n=-p\mathbf n$$

只有法向反力、沒有切向摩擦力，因此正好符合摩擦less剛壁接觸條件。故實際平面內應力為

$$\sigma_x=\sigma_y=-p,\qquad \tau_{xy}=0.$$

解題方法與推導

薄板採平面應力狀態，使用虎克定律：

核心觀念

本題探討雙材料複材平板（Bi-material plate）在平面應力狀態下的變形與相容性（Kinematic compatibility），主要考核要點包括：

1. 主材料軸向與全域座標轉換：
   • 直交各向異性（Orthotropic）材料的主軸 $1$ 軸指向 $+y$、$2$ 軸指向 $-x$。
   • 應力狀態在正交軸的對映關係：$\sigma_1 = \sigma_y$、$\sigma_2 = \sigma_x$。
2. 正交各向異性材料與各向同性（Isotropic）材料之廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）：
   • 直交各向異性層應變： $$\epsilon_1 = \frac{\sigma_1}{E_1} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_2$$ $$\epsilon_2 = -\frac{\nu_{12}}{E_1}\sigma_1 + \frac{1}{E_2}\sigma_2$$ 其中對稱性關係式滿足 $\frac{\nu_{12}}{E_1} = \frac{\nu_{21}}{E_2}$。
   • 各向同性層應變（材料參數 $E = E_2$、$\nu = \nu_{21}$）： $$\epsilon_x^{\text{iso}} = \frac{\sigma_x}{E} - \nu\frac{\sigma_y}{E} = \frac{\sigma_x}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_y$$ $$\epsilon_y^{\text{iso}} = \frac{\sigma_y}{E} - \nu\frac{\sigma_x}{E} = \frac{\sigma_y}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_x$$
3. 介面接合邊界相容條件（Perfect Bonding Condition）：
   • 沿介面（平行於 $x$ 軸）接合處，兩材料的 $x$ 方向應變必須連續相符（$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \epsilon_x^{\text{iso}}$）。

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解題方法與推導

步驟 1：分析直交各向異性材料的應變分量

由題意，直交各向異性材料的主軸為：

• $1$ 軸沿 $+y$ 方向 $\implies \sigma_1 = \sigma_y$、$\epsilon_y^{\text{ortho}} = \epsilon_1$
• $2$ 軸沿 $-x$ 方向 $\implies \sigma_2 = \sigma_x$、$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \epsilon_2$

利用題給之柔度矩陣關係式：

$$\epsilon_y^{\text{ortho}} = \epsilon_1 = \frac{\sigma_y}{E_1} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_x$$ $$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \epsilon_2 = -\frac{\nu_{12}}{E_1}\sigma_y + \frac{1}{E_2}\sigma_x$$

利用彈性常數之倒易互惠關係（Betti's reciprocal theorem）$\frac{\nu_{12}}{E_1} = \frac{\nu_{21}}{E_2}$，可將 $\epsilon_x^{\text{ortho}}$ 寫為：

$$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \frac{\sigma_x}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_y$$

步驟 2：分析各向同性材料的應變分量

各向同性材料之楊氏模數 $E = E_2$、卜松比 $\nu = \nu_{21}$，承受邊界應力 $\sigma_x$ 與 $\sigma_y$：

$$\epsilon_x^{\text{iso}} = \frac{\sigma_x}{E} - \nu\frac{\sigma_y}{E} = \frac{\sigma_x}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_y$$ $$\epsilon_y^{\text{iso}} = \frac{\sigma_y}{E} - \nu\frac{\sigma_x}{E} = \frac{\sigma_y}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_x$$

步驟 3：介面應變相容性檢驗

比較兩材料在平行於接合面（$x$ 方向）的正應變：

$$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \frac{\sigma_x}{E_2} - \frac{\nu_{21}}{E_2}\sigma_y = \epsilon_x^{\text{iso}}$$

兩層材料在 $x$ 方向的應變完全相同（$\epsilon_x^{\text{ortho}} = \epsilon_x^{\text{iso}}$）。因此接合介面上無剪應變產生，亦不會發生拘束引起的彎曲或應力重分配，整塊板子在 $x$ 方向呈均勻伸長，變形後兩層材料在 $x$ 方向長度維持一致。

步驟 4：計算變形後各幾何尺寸

初始狀態下，每塊材料半板之長度均為 $a$（$x$ 方向）、寬度均為 $b$（$y$ 方向）。變形後尺寸如下：

1. 板長（$x$ 方向）$a'$： $$a' = a(1 + \epsilon_x) = a\left[1 + \left(\frac{\sigma_x}{E_2} - \frac{\nu_{21}\sigma_y}{E_2}\right)\right]$$
2. 直交各向異性材料層之變形後寬度 $b_{\text{ortho}}'$：