111 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

核心觀念

本題考查封閉系統定容冷卻、蒸氣表查值、濕蒸氣品質與第一定律。

定容過程滿足

$$v_2=v_1$$

且邊界功為

$$W_b=\int_1^2 P\,dV=0$$

初態為 $1\ \mathrm{MPa}$、$300^\circ\mathrm{C}$ 的過熱蒸氣；末態壓力為 $500\ \mathrm{kPa}$。由蒸氣表查得：

$$v_1=0.25799\ \mathrm{m^3/kg},\qquad u_1\approx2801.4\ \mathrm{kJ/kg}$$

在 $P_2=500\ \mathrm{kPa}$ 時：

$$T_{\mathrm{sat}}=151.83^\circ\mathrm{C}$$ $$v_f=0.001093,\qquad v_g=0.37483\ \mathrm{m^3/kg}$$ $$u_f\approx640.1,\qquad u_g\approx2560.7\ \mathrm{kJ/kg}$$

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解題方法與計算

（1）末態溫度

由定容條件，

$$v_2=v_1=0.25799\ \mathrm{m^3/kg}$$

比較末態飽和液體與飽和蒸氣比容：

$$v_f<v_2<v_g$$

因此末態位於濕蒸氣區。在兩相區內，溫度由壓力唯一決定，所以

$$T_2=T_{\mathrm{sat}}(500\ \mathrm{kPa}) =151.83^\circ\mathrm{C} \approx151.8^\circ\mathrm{C}$$

（2）末態品質

濕蒸氣品質定義為

$$x=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f}$$

代入數值：

$$x= \frac{0.25799-0.001093}{0.37483-0.001093} \approx0.687$$

因此

$$x\approx68.7\%$$

（3）末態比內能

濕蒸氣區的比內能為

$$u_2=u_f+xu_{fg}$$

其中

$$u_{fg}=u_g-u_f =2560.7-640.1 =1920.6\ \mathrm{kJ/kg}$$

故

$$u_2 =640.1+(0.687)(1920.6) \approx1960\ \mathrm{kJ/kg}$$

（4）水被冷卻所放出的能量

封閉系統第一定律為

$$Q-W_b=m(u_2-u_1)$$

由於定容過程 $W_b=0$，

$$Q=m(u_2-u_1)$$

代入 $m=1\ \mathrm{kg}$：

$$Q=1(1960.3-2801.4) \approx-841\ \mathrm{kJ}$$

負號表示熱量由水傳給外界。因此水放出的能量大小為

$$Q_{\mathrm{out}}=m(u_1-u_2) \approx841\ \mathrm{kJ} \approx840\ \mathrm{kJ}$$

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選項分析

（1）末態溫度

• （a）$137.5^\circ\mathrm{C}$：錯，與 $500\ \mathrm{kPa}$ 的飽和溫度不符。
• （b）$147.9^\circ\mathrm{C}$：錯。
• （c）$151.8^\circ\mathrm{C}$：對，為 $500\ \mathrm{kPa}$ 的飽和溫度。
• （d）$155.5^\circ\mathrm{C}$：錯。
• （e）$158.8^\circ\mathrm{C}$：錯。
• （f）$161.9^\circ\mathrm{C}$：錯。

（2）末態品質

計算得 $x\approx68.7\%$。

核心觀念

本題考查穩定流動絕熱擴散器的三個基本關係：

1. 理想氣體狀態方程式

$$pv=RT$$

2. 穩定流動連續方程式

$$\dot m=\frac{AV}{v}$$

3. 穩定流動能量方程式

擴散器絕熱、無軸功且忽略位能變化，因此

$$h_1+\frac{V_1^2}{2} = h_2+\frac{V_2^2}{2}$$

擴散器將入口空氣的動能轉換成焓，所以出口壓力與焓上升，而速度下降。

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解題方法

由圖得

$$p_1=100\ \text{kPa},\quad T_1=25^\circ\text{C}=298\ \text{K}$$ $$V_1=200\ \text{m/s},\quad A_1=0.25\ \text{m}^2$$ $$p_2=120\ \text{kPa},\quad A_2=6A_1=1.50\ \text{m}^2$$

且

$$R=0.287\ \text{kJ/(kg·K)}$$

（1）入口比體積

由理想氣體方程式：

$$v_1=\frac{RT_1}{p_1} =\frac{(0.287)(298)}{100} =0.855\ \text{m}^3/\text{kg}$$

因此

$$\boxed{v_1\approx0.86\ \text{m}^3/\text{kg}}$$

（2）空氣質量流率

由連續方程式：

$$\dot m=\frac{A_1V_1}{v_1} =\frac{(0.25)(200)}{0.855} =58.5\ \text{kg/s}$$

因此

$$\boxed{\dot m\approx58.5\ \text{kg/s}}$$

（3）出口焓

由題目所述出口為低速，先忽略出口動能：

$$h_2\approx h_1+\frac{V_1^2}{2}$$

空氣在 $T_1=298\ \text{K}$ 時，由理想氣體空氣性質表得

$$h_1\approx298.2\ \text{kJ/kg}$$

入口動能以 $\text{kJ/kg}$ 表示為

$$\frac{V_1^2}{2} = \frac{(200)^2}{2(1000)} =20.0\ \text{kJ/kg}$$

故

$$h_2\approx298.2+20.0 =318.2\ \text{kJ/kg}$$

因此

$$\boxed{h_2\approx318.2\ \text{kJ/kg}}$$

（4）出口溫度

空氣的定壓比熱約為

$$c_p\approx1.005\ \text{kJ/(kg·K)}$$

因此

$$h_2-h_1\approx c_p(T_2-T_1)$$ $$T_2 \approx298+\frac{318.2-298.2}{1.005} \approx318\ \text{K}$$

因此

$$\boxed{T_2\approx318\ \text{K}}$$

（5）出口速度

先求出口比體積：

$$v_2=\frac{RT_2}{p_2} =\frac{(0.287)(318)}{120} =0.761\ \text{m}^3/\text{kg}$$

再由連續方程式：

$$V_2=\frac{\dot m v_2}{A_2} =\frac{(58.5)(0.761)}{1.50} =29.7\ \text{m/s}$$

因此

$$\boxed{V_2\approx29.7\ \text{m/s}}$$

此出口動能為

$$\frac{V_2^2}{2(1000)} \approx0.44\ \text{kJ/kg}$$

相較於入口動能 $20.0\ \text{kJ/kg}$ 很小，符合題目「低速出口」的近似。

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選項分析

（1）入口比體積 $v_1$

計算值為 $0.855\ \text{m}^3/\text{kg}$，取至選項精度為 $0.86$。

• （a）$0.86$：符合 $v_1=RT_1/p_1$，正確。
• （b）$0.90$：代入後 $p_1v_1=90$，不等於 $RT_1\approx85.6$，錯誤。
• （c）$0.94$：代入後 $p_1v_1=94$，不符合狀態方程式，錯誤。
• （d）$0.98$：代入後 $p_1v_1=98$，不符合狀態方程式，錯誤。
• （e）$1.02$：代入後 $p_1v_1=102$，不符合狀態方程式，錯誤。
• （f）$1.06$：代入後 $p_1v_1=106$，不符合狀態方程式，錯誤。

（2）質量流率 $\dot m$

計算值為 $58.5\ \text{kg/s}$。

核心觀念

本題考查具有抽汽功能之多段等熵蒸汽渦輪。渦輪為穩態、絕熱且忽略動能與位能變化，因此：

1. 等熵過程：
   $s_1=s_2=s_3$

2. 穩態能量方程：
   $\dot W_t=\dot m_1h_1-\dot m_2h_2-\dot m_3h_3$

其中：

• 入口流量：$\dot m_1=2\ \mathrm{kg/s}$
• 抽汽流量：$\dot m_2=0.2(2)=0.4\ \mathrm{kg/s}$
• 排氣流量：$\dot m_3=0.8(2)=1.6\ \mathrm{kg/s}$

由原卷 Fig. 2 可知：

• 狀態 1：$P_1=3\ \mathrm{MPa}$
• 狀態 2：$P_2=400\ \mathrm{kPa}$
• 狀態 3：$P_3=200\ \mathrm{kPa},\ T_3=150^\circ\mathrm{C}$

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解題方法

先由狀態 3 的過熱蒸汽表查得：

$s_3=7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

由於渦輪為等熵過程：

$s_1=s_2=s_3=7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

同時，狀態 3 的焓為：

$h_3\approx2776\ \mathrm{kJ/kg}$

（1）過程熵

因此：

$s_1=s_2=s_3=7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

答案為：

$\boxed{(b)\ 7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}}$

（2）入口焓 $h_1$

在 $P_1=3\ \mathrm{MPa}$ 且

$s_1=7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

的條件下，由過熱蒸汽表插值可得：

$h_1\approx3502\ \mathrm{kJ/kg}$

故答案為：

$\boxed{(f)\ 3502\ \mathrm{kJ/kg}}$

（3）抽汽狀態焓 $h_2$

在 $P_2=400\ \mathrm{kPa}$ 且

$s_2=7.281\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

的條件下，由過熱蒸汽表插值可得：

$h_2\approx2945\ \mathrm{kJ/kg}$

故答案為：

$\boxed{(f)\ 2945\ \mathrm{kJ/kg}}$

（4）渦輪輸出功率

抽汽流量為：

$\dot m_2=0.4\ \mathrm{kg/s}$

排氣流量為：

$\dot m_3=1.6\ \mathrm{kg/s}$

代入能量方程：

$$\begin{aligned} \dot W_t &=\dot m_1h_1-\dot m_2h_2-\dot m_3h_3\\ &=(2)(3502)-(0.4)(2945)-(1.6)(2776) \end{aligned}$$ $$\dot W_t\approx1384\ \mathrm{kW}$$

依題目選項取最接近值：

本題考驗定常流熱力學第一定律在涉及電功率輸入的系統上的應用，特別是對於一個連續流動的裝置（吹風機）。

核心觀念：定常流能量方程式、電功率輸入、理想氣體性質。

已知條件：
入口狀態 1：$P_1 = 150$ kPa, $T_1 = 350$ K
入口速度 $V_1 \approx 0$ (negligible)
出口狀態 2：$\dot{m}_2 = 0.1$ kg/s, $V_2 = 15$ m/s
電功率輸入 $\dot{W}_{elec} = 1000$ W $= 1$ kW。
過程是定壓 ($P_2 = P_1 = 150$ kPa) 且絕熱 ($\dot{Q} = 0$)。
空氣性質：$R = 0.287$ kJ/kg·K, $c_p = 1.005$ kJ/kg·K。

解題步驟：

(a) 確定出口溫度 $T_2$。
我們使用定常流能量方程式。對於一個穩態、絕熱、單一入口單一出口的系統，且有電功率輸入，能量方程式為：
$\dot{Q}_{in/out} - \dot{W}_{out} + \dot{W}_{elec} = \dot{m} [ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} + g(z_2 - z_1) ]$
這裡 $\dot{Q} = 0$, $\dot{W}_{out}$ (機械功) $= 0$, 忽略位能變化 $g(z_2 - z_1)$。
所以，$\dot{W}_{elec} = \dot{m} [ (h_2 - h_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} ]$。

對於理想氣體，$h_2 - h_1 = c_p (T_2 - T_1)$。
$\dot{W}_{elec} = \dot{m} [ c_p (T_2 - T_1) + \frac{V_2^2 - V_1^2}{2} ]$

將已知值代入：
$\dot{W}_{elec} = 1$ kW
$\dot{m} = 0.1$ kg/s
$c_p = 1.005$ kJ/kg·K
$T_1 = 350$ K
$V_1 \approx 0$ m/s
$V_2 = 15$ m/s

$1 \text{ kW} = (0.1 \text{ kg/s}) [ 1.005 \text{ kJ/kg·K} \times (T_2 - 350 \text{ K}) + \frac{(15 \text{ m/s})^2 - (0 \text{ m/s})^2}{2} ]$

請注意單位換算：
$1 \text{ kW} = 1 \text{ kJ/s}$
$\frac{V_2^2}{2} = \frac{(15 \text{ m/s})^2}{2} = \frac{225 \text{ m²/s²}}{2} = 112.5 \text{ m²/s²}$
為了與 kJ/kg·K 單位一致，需要將 $\frac{V_2^2}{2}$ 轉換為 kJ/kg。

本題要求繪製反向卡諾循環 (Reversed Carnot Cycle) 的 P-v 圖，並標示各過程的名稱。反向卡諾循環是製冷機或熱泵的工作原理。

反向卡諾循環包含四個可逆過程：

1. 過程 1-2：可逆等溫壓縮 (Reversible Isothermal Compression)
   • 在這個過程中，工質從低溫熱源吸熱，並在等溫條件下被壓縮。在 P-v 圖上，這是一條向下傾斜的曲線。
2. 過程 2-3：可逆絕熱壓縮 (Reversible Adiabatic Compression)
   • 工質被絕熱壓縮，溫度升高，壓力也升高。在 P-v 圖上，這是一條比等溫線更陡峭的向下傾斜曲線。
3. 過程 3-4：可逆等溫膨脹 (Reversible Isothermal Expansion)
   • 工質在高溫熱源放熱，並在等溫條件下膨脹。在 P-v 圖上，這是一條向上傾斜的曲線。
4. 過程 4-1：可逆絕熱膨脹 (Reversible Adiabatic Expansion)
   • 工質被絕熱膨脹，溫度降低，壓力也降低。在 P-v 圖上，這是一條比等溫線更平緩的向上傾斜曲線。

繪圖說明：
在 P-v 圖上：

• 壓力 (P) 軸在縱軸，比體積 (v) 軸在橫軸。
• 繪製一個封閉的循環，通常為矩形或類似形狀，但其邊界是曲線。
• 過程 1-2 是等溫壓縮，從較大的體積和較低的壓力壓縮到較小的體積和較高的壓力。
• 過程 2-3 是絕熱壓縮，從狀態 2 壓縮到狀態 3，體積減小，壓力升高，溫度升高。此過程的曲線比等溫線陡峭。
• 過程 3-4 是等溫膨脹，從狀態 3 (高壓、高溫) 膨脹到狀態 4 (低壓、高溫)。
• 過程 4-1 是絕熱膨脹，從狀態 4 膨脹到狀態 1 (低壓、低溫)。此過程的曲線比等溫線平緩。

【繪圖】
請在 P-v 圖上繪製一個封閉的循環，標示四個過程：

• 從右下方 (較大 v, 較低 P) 到左上方 (較小 v, 較高 P)，標示「可逆等溫壓縮 (Reversible Isothermal Compression)」。
• 從左上方 (較小 v, 較高 P) 到右上方 (較大 v, 較高 P)，標示「可逆絕熱壓縮 (Reversible Adiabatic Compression)」。
• 從右上方 (較大 v, 較高 P) 到左下方 (較小 v, 較低 P)，標示「可逆等溫膨脹 (Reversible Isothermal Expansion)」。
• 從左下方 (較小 v, 較低 P) 到右下方 (較大 v, 較低 P)，標示「可逆絕熱膨脹 (Reversible Adiabatic Expansion)」。

請注意，反向卡諾循環的順序是：絕熱壓縮 -> 等溫膨脹 -> 絕熱膨脹 -> 等溫壓縮。
或者，製冷循環的順序通常是：

1. 蒸發器 (等溫吸熱膨脹)
2. 壓縮機 (絕熱壓縮)
3. 冷凝器 (等溫放熱壓縮)
4. 膨脹閥 (絕熱節流膨脹，此處非卡諾循環)