本題主要考查物體在流體中的浮力概念與受力平衡。
物體在流體中的受力主要有兩個：重力（向下）與浮力（向上）。浮力的大小由阿基米德原理決定，即物體排開流體所受的重力。

(a) 沉到底下：
當物體沉到底下時，表示其重力大於所能受到的最大浮力。此時，物體除了重力與浮力外，還會受到來自水底的支持力。
受力分析：

• 重力 $W = \rho_{obj} V_{obj} g$ （向下）
• 浮力 $F_B = \rho_{fluid} V_{submerged} g$ （向上），其中 $V_{submerged}$ 為物體浸入流體的部分體積。
• 支持力 $N$ （向上）
  由於物體已沉到底部且處於靜止狀態，合力為零：
  $F_B + N - W = 0$
  $N = W - F_B$
  因為 $W > F_B$ (最大浮力)，所以支持力 $N$ 為正值，表示水底對物體有向上的支持作用。

(b) 平衡在水中某位置：
當物體能夠懸浮在水中某個位置時，表示其重力恰好等於其所受到的浮力。此時，物體與周圍流體密度相同，或者透過其他方式（例如內部流體密度調整）達到此狀態。
受力分析：

• 重力 $W$ （向下）
• 浮力 $F_B$ （向上）
  由於物體在此位置平衡，合力為零：
  $F_B - W = 0$

核心觀念

本題考查以 Control Volume（控制體積） 進行流體線動量分析，求出潛水艇航行時受到的總阻力。

潛水艇以定常速度 $U$ 前進，表示在潛水艇固定座標系中，流場可視為定常流。潛水艇會使後方流體形成速度較低的尾流，流體動量的減少量即對應於潛水艇所承受的阻力。

總阻力包括：

• 表面壓力造成的阻力；
• 表面剪應力造成的摩擦阻力；
• 其他由尾流動量損失所反映的阻力。

若控制面取在潛水艇上游及遠方下游，且下游壓力已恢復為環境壓力，則可用尾流的動量虧損求得總阻力。

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解題方法

取一個包住潛水艇的控制體積，並以潛水艇的前進方向為 $x$ 軸正方向。

在潛水艇固定座標系中：

• 上游流體速度為 $U$；
• 下游尾流速度為 $u(y,z)$；
• 流場為定常流；
• 流體為不可壓縮流體，密度為 $\rho$；
• 控制面上的壓力近似為相同的環境壓力 $p_\infty$。

對控制體積套用 $x$ 方向線動量方程：

$$\sum F_x = \int_{\text{out}} \rho u_x(\mathbf{V}\cdot\mathbf{n})\,dA - \int_{\text{in}} \rho u_x(\mathbf{V}\cdot\mathbf{n})\,dA$$

將上游與下游控制面取在足夠遠處，並將壓力作用與控制面面積項消去後，可得到阻力的大小為尾流動量虧損：

$$D = \rho\int_A u(U-u)\,dA$$

其中：

• $D$：潛水艇受到的總阻力；
• $A$：下游尾流截面；
• $U$：上游均勻流速；
• $u$：尾流截面上各點的局部速度；
• $\rho$：水的密度。

若尾流速度只隨橫向座標 $y$ 變化，則可寫成：

$$D = \rho\int_A u(y)\,[U-u(y)]\,dA$$

這就是以控制體積分析得到的總阻力公式。

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物理意義

本題考查量綱分析（Dimensional Analysis）中的 Buckingham Pi 定理，用於推導無因次參數之間的關係。

核心觀念：
Buckingham Pi 定理指出，對於一個包含 $n$ 個變數的物理系統，這些變數之間存在 $k$ 個獨立的因次，則系統可以用 $m = n - k$ 個無因次參數（$\Pi$ 群）來描述。

步驟：

1. 確定所有相關變數及其因次：
   題目中給定的變數及其因次如下：

   • Drag force, $D$ (因次：質量 × 距離 / 時間$^2$，即 $[M L T^{-2}]$)
   • Fluid viscosity, $\mu$ (因次：質量 / (距離 × 時間)，即 $[M L^{-1} T^{-1}]$)
   • Velocity, $V$ (因次：距離 / 時間，即 $[L T^{-1}]$)
   • Characteristic length, $\lambda$ (因次：距離，即 $[L]$)

   我們有 $n=4$ 個變數。

2. 確定基本因次：
   在這個問題中，我們使用的基本因次是質量 $[M]$、長度 $[L]$ 和時間 $[T]$。因此，我們有 $k=3$ 個基本因次。

3. 計算無因次參數的數量：
   根據 Buckingham Pi 定理，無因次參數的數量 $m = n - k = 4 - 3 = 1$。
   這意味著，這四個變數之間的關係可以由一個無因次參數來描述。

4. 選擇重複變數：
   我們需要選擇 $k=3$ 個重複變數，這些變數必須能夠組合起來代表所有的基本因次（[M], [L], [T]）。通常選擇物理系統中較為基礎或獨立的變數。在這裡，我們選擇 $\mu$, $V$, $\lambda$ 作為重複變數。

   • $\mu$: 包含 $[M]$, $[L]$, $[T]$
   • $V$: 包含 $[L]$, $[T]$
   • $\lambda$: 包含 $[L]$

   這三個變數可以組合來代表所有的基本因次。

5. 建立無因次參數 $\Pi_1$：
   我們假設 drag force $D$ 與其他三個變數的關係可以表示為：
   $D = C \cdot \mu^a V^b \lambda^c$
   其中 $C$ 是一個無因次常數，而 $a, b, c$ 是待定的指數，使得整個表達式是無因次的。

   將各變數的因次代入：
   $[M L T^{-2}] = [M L^{-1} T^{-1}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c$
   $[M L T^{-2}] = [M^a L^{-a} T^{-a}] [L^b T^{-b}] [L^c]$
   $[M L T^{-2}] = [M^a L^{-a+b+c} T^{-a-b}]$

核心觀念

本題考查：

• 穩態二維不可壓縮流的連續方程式與動量方程式。
• 傾斜平行板間的重力驅動流，又稱平面 Poiseuille 流。
• Fully-developed flow 的條件：$u=u(y)$，因此速度沿 $x$ 方向不再變化。
• 無滑移邊界條件：兩固定平板表面皆有 $u=0$。
• 體積流率由速度剖面積分求得，剪應力由牛頓黏性定律求得。

以下取 $x$ 軸沿斜板向下、$y$ 軸垂直斜板向上，兩板間距為 $h$。重力分量為

$$g_x=g\sin\theta,\qquad g_y=-g\cos\theta$$

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解題方法

(a) 穩態二維不可壓縮流方程式

令速度向量為

$$\vec{v}=u(x,y)\,\vec{i}+v(x,y)\,\vec{j}$$

質量守恆

不可壓縮流的連續方程式為

$$\nabla\cdot\vec{v}=0$$

在笛卡兒座標中：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

$x$ 方向動量守恆

穩態條件下 $\partial/\partial t=0$，因此

$$\boxed{ u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right) +g\sin\theta }$$

$y$ 方向動量守恆

$$\boxed{ u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} +\nu\left( \frac{\partial^2v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2} \right) -g\cos\theta }$$

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(b) 速度分布

完全發展流的條件為

$$u=u(y)$$

且兩板皆為固定板，因此沒有法向流動：

$$v=0$$

由連續方程式可知：

\frac{\partial u}{\partial x}=0 \] 另外，題目說明流動完全由重力驅動，因此沿 $x$ 方向沒有壓力梯度：

\frac{\partial p}{\partial x}=0

代入 $x$ 方向動量方程式：

0=\nu\frac{d^2u}{dy^2}+g\sin\theta

$$因此$$

\frac{d^2u}{dy^2}

-\frac{g\sin\theta}{\nu}

$$積分兩次：$$

\frac{du}{dy}

-\frac{g\sin\theta}{\nu}y+C_1

$$$$

u(y)

-\frac{g\sin\theta}{2\nu}y^2+C_1y+C_2

$$套用無滑移邊界條件：$$

u(0)=0,\qquad u(h)=0

由 $u(0)=0$ 得 $C_2=0$；由 $u(h)=0$ 得

C_1=\frac{g h\sin\theta}{2\nu}

$$所以速度分布為$$

\boxed{

核心觀念

人在空氣中穩定下落時，會受到向下的重力與向上的空氣阻力。當下落速度達到終端速度 $V_t$ 時，加速度為零，因此合力為零：

$$mg=F_D$$

傘的阻力採用阻力公式：

$$F_D=\frac{1}{2}C_D\rho A V_t^2$$

其中：

• $m=70\ \mathrm{kg}$：人的質量
• $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：重力加速度
• $\rho$：空氣密度
• $A$：傘的迎風投影面積
• $C_D$：阻力係數

半球形傘的直徑為 $4\ \mathrm{m}$，半徑為 $2\ \mathrm{m}$。取標準空氣密度 $\rho=1.225\ \mathrm{kg/m^3}$，並採用半球形傘常用阻力係數 $C_D\approx1.42$。

解題方法

終端速度時，重力與阻力平衡：

$$mg=\frac{1}{2}C_D\rho A V_t^2$$

傘的迎風投影面積為圓形：

$$A=\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi \approx12.57\ \mathrm{m^2}$$

代入終端速度公式：

$$V_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_D\rho A}}$$

因此：

$$V_t = \sqrt{ \frac{2(70)(9.81)} {(1.42)(1.225)(12.57)} }$$