108 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《流體力學》

核心觀念

本題考查流體力學的基本定義與二維流函數、速度勢函數之間的關係，重點包括：

• 固體與流體的變形特性
• 連續體假設、黏性與無滑移條件
• 牛頓流體、渦度與環流
• 靜止流體開始流動的原因
• 表面張力與三種流線
• 二維不可壓縮無旋流中的流函數與速度勢函數

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(a) 固體運動與流體運動的主要差異

核心觀念

固體可以承受有限大小的剪應力而保持靜止；流體則無法在靜止狀態下承受剪應力。

解題方法與答案

固體運動通常可視為整體的平移與轉動，物體內各質點之間的相對位置大致保持不變。固體受到剪應力時，可以產生有限的剪切變形後達到新的平衡狀態。

流體受到任何非零剪應力時，只要剪應力持續存在，就會持續變形，形成流動。因此：

$$\boxed{\text{固體可承受靜態剪應力；流體無法承受靜態剪應力，會持續剪切變形。}}$$

解題技巧

判斷固體與流體最核心的關鍵不是「是否會變形」，而是：

是否能在剪應力作用下保持靜止。

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(b) 流體力學中的連續體假設

核心觀念

流體由大量分子組成，但流體力學將其視為連續分布的介質，使密度、壓力、速度與溫度等物理量能夠在空間中連續定義。

解題方法與答案

在宏觀尺度下，任一流體微小元素仍包含極大量分子。選取的流體微團必須同時滿足：

1. 尺寸相對於流場特徵長度足夠小，可視為微分元素。
2. 尺寸相對於分子平均自由程足夠大，內含大量分子。

在此尺度下，可定義局部平均物理量，例如：

$$\rho=\rho(x,y,z,t), \qquad p=p(x,y,z,t), \qquad \mathbf{V}=\mathbf{V}(x,y,z,t)$$

這就是連續體假設。它忽略單一分子的離散運動，改以連續場描述流體。

解題技巧與陷阱

連續體假設在一般液體與氣體工程流動中通常成立，但在下列情形可能失效：

• 稀薄氣體
• 高空大氣
• 分子尺度流動
• 特徵長度接近分子平均自由程的微流體

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(c) 黏性與無滑移條件

核心觀念

黏性源自流體分子間的動量傳遞。流體相鄰層具有不同速度時，較快流層會將動量傳給較慢流層，形成抵抗相對運動的剪應力。

黏性產生的原因

流體黏性主要來自：

• 液體中的分子間作用力
• 氣體分子穿越不同速度流層所造成的動量交換

黏性會使流體抵抗速度梯度。對牛頓流體而言：

$$\tau=\mu\frac{du}{dy}$$

其中：

• $\tau$ 為剪應力
• $\mu$ 為動力黏度
• $du/dy$ 為速度梯度

無滑移條件

當黏性流體接觸固體壁面時，流體與壁面之間的切向相對速度為零。因此，壁面上的流體速度等於壁面速度：

$$\boxed{\mathbf{V}_{\text{fluid, wall}}=\mathbf{V}_{\text{wall}}}$$

若固體壁面靜止，則：

$$\boxed{\mathbf{V}_{\text{fluid}}=0 \quad \text{於固壁表面}}$$

這稱為無滑移條件（no-slip condition）。

解題技巧

無滑移條件描述的是「黏性流體與固體壁面之間的切向速度」。法向速度則由不可穿透條件決定：

$$V_n=V_{n,\text{wall}}$$

因此，固壁邊界通常同時滿足：

• 法向：不可穿透
• 切向：無滑移

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(d) 牛頓流體

核心觀念

牛頓流體的剪應力與速度梯度成正比，黏度在指定溫度與壓力下為常數，且不隨剪切速率改變。

解題方法與答案

牛頓流體遵守牛頓黏性定律：

$$\boxed{\tau=\mu\frac{du}{dy}}$$

更一般的三維形式可表示為：

$$\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$

其中 $\mu$ 為動力黏度。

常見牛頓流體包括：

• 水
• 空氣
• 多數低分子量液體

非牛頓流體如：

• 牙膏
• 油漆
• 血液
• 高分子溶液

其剪應力與剪切速率通常不是簡單的線性關係。

解題技巧

看到「剪應力與速度梯度成正比」即可判定為牛頓流體。重點在於線性關係：

$$\tau\propto \frac{du}{dy}$$

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(e) 渦度與環流及其關係

1. 渦度

流體速度場為 $\mathbf{V}=(u,v,w)$ 時，渦度定義為速度的旋度：

$$\boxed{\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}}$$

流體微小元素的局部角速度向量為：

$$\boxed{\boldsymbol{\Omega}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}}$$

因此，渦度是流體局部旋轉程度的兩倍。

二維流動 $\mathbf{V}=(u,v,0)$ 中：

$$\boldsymbol{\omega} = \left( 0,0, \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)$$

2. 環流

沿著封閉曲線 $C$ 對速度作線積分，稱為環流：

$$\boxed{\Gamma=\oint_C \mathbf{V}\cdot d\mathbf{l}}$$

它表示流體沿封閉路徑的總切向速度效應。

3. 二者關係

由 Stokes 定理：

$$\boxed{ \Gamma = \iint_S (\nabla\times\mathbf{V})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_S \boldsymbol{\omega}\cdot\mathbf{n}\,dS }$$

所以，環流等於穿過該封閉曲線所圍面積的渦度通量。

若渦度在面積 $S$ 上近似均勻，則：

$$\Gamma=\omega_n S$$

解題技巧與陷阱

• $\boldsymbol{\omega}$ 是局部量，描述某一點附近的旋轉。
• $\Gamma$ 是整個封閉路徑的積分量。
• $\boldsymbol{\omega}=0$ 表示局部無旋，但不代表任意區域的環流都必然非零；在單連通區域內，無旋流的封閉環流為零。

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(f) 使靜止流體開始流動的三種條件

核心觀念

靜止流體若受到未被平衡的外力，便會產生加速度而開始流動。

三種情形

1. 壓力梯度或壓力差

   若流體內存在未平衡的壓力梯度，流體會由高壓處往低壓處加速：

   $$-\nabla p\neq 0$$

2. 體積力不平衡

   例如重力、電磁力或離心力。對重力場而言，靜止流體的平衡條件為：

   $$\nabla p=\rho\mathbf{g}$$

   若壓力分布不符合此關係，流體便會開始運動。

3. 固體邊界移動或施加剪切作用

   例如活塞移動、平板拖動或攪拌器轉動。由於黏性與無滑移條件，固體運動會將動量傳給流體，使流體形成流動。

因此可寫成：

$$\boxed{ \text{壓力差、未平衡體積力、移動邊界或剪切作用} }$$

解題技巧

不要只寫「有力就會流動」。靜止流體也可能受到力，但若各方向力完全平衡，仍可保持靜止。關鍵是「合力不為零」或「邊界造成速度差」。

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(g) 空氣與液體界面為何存在表面張力

核心觀念

表面張力源自液體分子間的內聚力，以及界面分子受力不對稱的結果。

解題方法與答案

在液體內部，一個分子四周都有其他液體分子，分子間吸引力大致互相抵消。

但在液體表面的分子，上方接觸的是氣體分子，下方與側方則主要受到液體分子的吸引，因此受到指向液體內部的淨吸引力。液體表面因而具有較高的表面自由能，系統會傾向減少表面面積。

沿著界面作用的力稱為表面張力，通常記為 $\sigma$，單位為：

$$\mathrm{N/m}$$

表面張力會造成：

• 液滴趨近球形
• 毛細現象
• 肥皂泡與液面彎曲
• 壓力跨越曲面界面產生差異

對曲面界面，Young–Laplace 關係為：

$$\Delta p = \sigma \left( \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \right)$$

解題技巧

表面張力不是因為「空氣流動」造成，而是界面分子受力不對稱所產生。其根本來源是液體分子間的內聚力。

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(h) 流線、路徑線與跡線

1. 流線 Streamline

流線是在某一瞬間，其每一點的切線方向都與當地速度方向一致的曲線。

若曲線參數為 $\mathbf{x}(s)$，則：

$$d\mathbf{x}\parallel \mathbf{V}$$

二維流場中：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}$$

流線描述的是「同一時刻整個流場的速度方向」。

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2. 路徑線 Pathline

路徑線是單一流體質點隨時間移動所走過的實際軌跡。

其方程由流體質點運動方程決定：

$$\frac{dx}{dt}=u(x,y,z,t)$$ $$\frac{dy}{dt}=v(x,y,z,t)$$

核心觀念

本題使用：

1. 連續方程式：穩態、不可壓縮流中，控制體內質量守恆。
2. 動量方程式：以 $x$ 方向線動量分析潛艇對流體的作用力。
3. 拋物線速度分布：由中心速度與上下邊界速度決定出口速度函數。
4. 二維控制體：以下皆以單位深度分析。

設控制體上下邊界為 $y=\pm H$，流向為 $+x$。

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(a) 出口速度分布 $u(y)$

出口速度為關於 $y=0$ 對稱的拋物線，因此可設為

$$u(y)=a+by^2.$$

由題意：

$$u(0)=0.5U,$$

所以

$$a=\frac{U}{2}.$$

又因為

$$u(H)=u(-H)=U,$$

故

$$\frac{U}{2}+bH^2=U,$$

得到

$$b=\frac{U}{2H^2}.$$

因此出口速度分布為

$$\boxed{ u(y)=\frac{U}{2}\left(1+\frac{y^2}{H^2}\right), \qquad -H\le y\le H }$$

快速驗算：

$$u(0)=\frac{U}{2},\qquad u(\pm H)=U.$$

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(b) 通過 $AB$ 與 $CD$ 的質量流率

入口 $AC$ 的質量流率為

$$\dot m_{\mathrm{in}} =\rho U(2H) =2\rho UH.$$

出口 $BD$ 的質量流率為

$$\begin{aligned} \dot m_{\mathrm{out}} &=\rho\int_{-H}^{H}u(y)\,dy\\ &=\rho\int_{-H}^{H} \frac{U}{2}\left(1+\frac{y^2}{H^2}\right)dy\\ &=\rho\frac{U}{2} \left(2H+\frac{2H}{3}\right)\\ &=\frac{4}{3}\rho UH. \end{aligned}$$

因此由連續方程式，$AB$ 與 $CD$ 的總流出質量流率為

$$\dot m_{AB}+\dot m_{CD} =\dot m_{\mathrm{in}}-\dot m_{\mathrm{out}} =\frac{2}{3}\rho UH.$$

由上下對稱性，

$$\boxed{ \dot m_{AB}=\dot m_{CD} =\frac{1}{3}\rho UH }$$

方向為由控制體內流向外。

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(c) 潛艇所需推力

1. 出口動量流率

出口的 $x$ 方向動量流率為

$$\begin{aligned} \dot{P}_{x,\mathrm{out}} &=\rho\int_{-H}^{H}u^2(y)\,dy\\ &=\rho U^2\int_{-H}^{H} \frac{1}{4} \left(1+\frac{y^2}{H^2}\right)^2dy. \end{aligned}$$

令 $\eta=y/H$，則

核心觀念

本題考查：

• 二維、穩態、不可壓縮流的連續方程式與動量方程式。
• 平行平板間的 fully developed laminar flow。
• 壓力梯度、黏性剪應力與速度分布的關係。
• 速度梯度所造成的渦度與微小流體圓盤的旋轉方向。

設流速為

$$\mathbf{V}=u(x,y)\mathbf{i}+v(x,y)\mathbf{j}$$

其中 $x$ 軸沿流動方向，兩固定平板位於 $y=\pm h$，間距為 $2h$。

(a) 二維穩態不可壓縮流方程式

質量守恆方程式

不可壓縮流的連續方程式為

$$\nabla\cdot\mathbf{V}=0$$

在二維笛卡兒座標中展開為

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

$x$ 方向動量方程式

穩態條件使時間項消失，因此

$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right)$$

$y$ 方向動量方程式

$$u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left( \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} \right)$$

因此，二維穩態不可壓縮流的控制方程式為

$$\boxed{ \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 }$$ $$\boxed{ u u_x+v u_y = -\frac{1}{\rho}p_x+\nu(u_{xx}+u_{yy}) }$$ $$\boxed{ u v_x+v v_y = -\frac{1}{\rho}p_y+\nu(v_{xx}+v_{yy}) }$$

(b) 平行固定平板間的速度分布與質量流率

解題方法與基本假設

題目所述為兩無限寬、靜止平板間的穩態層流，且流動沿 $x$ 軸方向。因此採用 fully developed flow 假設：

$$u=u(y),\qquad v=0$$

並且

$$\frac{\partial u}{\partial x}=0$$

由連續方程式可知 $v=0$ 與此假設一致。

平板為固定壁面，因此無滑移邊界條件為

$$u(h)=0,\qquad u(-h)=0$$

簡化 $x$ 方向動量方程式

原本的 $x$ 方向方程式為

$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2}$$

由於 $u_x=0$、$v=0$，可得

$$0=-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} +\nu\frac{d^2u}{dy^2}$$

利用 $\nu=\mu/\rho$：

$$\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}$$

積分兩次：

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}y^2+C_1y+C_2$$

由上下壁面條件 $u(h)=u(-h)=0$，可得

$$C_1=0,\qquad C_2=-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}h^2$$

所以速度分布為

$$u(y) = -\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}(h^2-y^2)$$

若入口壓力高於出口壓力，定義

$$\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}>0$$

且流道長度為 $L$，則

$$\frac{dp}{dx}=-\frac{\Delta p}{L}$$

因此

$$\boxed{ u(y)=\frac{\Delta p}{2\mu L}(h^2-y^2) }$$

這是典型的拋物線速度分布，最大速度出現在中心線 $y=0$：

$$u_{\max}=\frac{\Delta p\,h^2}{2\mu L}$$

質量流率

若以單位寬度流率表示，單位寬度體積流率為

$$Q'=\int_{-h}^{h}u(y)\,dy$$

代入速度分布：

$$Q' = \frac{\Delta p}{2\mu L} \int_{-h}^{h}(h^2-y^2)\,dy$$ $$Q' = \frac{\Delta p}{2\mu L} \left[ h^2y-\frac{y^3}{3} \right]_{-h}^{h}$$

因此

核心觀念

本題考查 Navier–Stokes 方程式中的無因次參數，以及 Buckingham $\Pi$ 定理。無因次化時，將各物理量除以代表性的尺度，觀察方程式中不同項的相對大小；Buckingham $\Pi$ 定理則利用變數的基本量綱，求出描述物理關係所需的無因次群數目。

題目中的 $u$ 與 $p$ 分別視為動力黏度 $\mu$ 與流體密度 $\rho$；$Ap$ 視為壓降 $\Delta p$。

(a) Navier–Stokes 方程式的無因次參數

考慮不可壓縮流體的 Navier–Stokes 方程式：

$$\rho\left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} \right) =-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}$$

令特徵長度、速度、時間與壓力量級分別為 $L$、$U$、$T$ 與 $P$，並定義

$$\mathbf{x}=L\mathbf{x}^*,\qquad t=Tt^*,\qquad \mathbf{u}=U\mathbf{u}^*,\qquad p=Pp^*$$

將各項除以慣性項的尺度 $\rho U^2/L$，可得

$$\frac{L}{UT} \frac{\partial\mathbf{u}^*}{\partial t^*} +\mathbf{u}^*\cdot\nabla^*\mathbf{u}^* =-\frac{P}{\rho U^2}\nabla^*p^* +\frac{\mu}{\rho UL}\nabla^{*2}\mathbf{u}^*$$

因此可辨認出三個重要無因次參數：

1. Strouhal 數

   $\mathrm{St}=\frac{L}{UT}$

   衡量非定常慣性項相對於對流慣性項的大小。若特徵時間取流體通過特徵長度的時間 $T=L/U$，則 $\mathrm{St}=1$。

2. Euler 數

   $\mathrm{Eu}=\frac{P}{\rho U^2}$

   衡量壓力作用相對於慣性作用的大小。若壓力尺度取動壓 $\rho U^2$，則 $\mathrm{Eu}=1$；若考察壓力變化相對於動壓的比值，常以 $\Delta p/(\rho U^2)$ 表示。

3. Reynolds 數

   $\mathrm{Re}=\frac{\rho UL}{\mu}$

   其倒數 $1/\mathrm{Re}$ 是無因次方程式中黏滯項的係數。Reynolds 數衡量慣性作用與黏滯作用的相對大小。

(b) Buckingham $\Pi$ 定理

壓降與相關變數的關係寫成

$$\Delta p=f(L,V,\mu,D,\rho)$$

共有 $n=6$ 個物理量。以質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$ 為基本量綱，基本量綱數為 $k=3$，因此獨立無因次群數為