108 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

此題為基本熱力學概念題，主要在於繪製單一純物質 P-v 相圖，並標示出各個區域、線段與點的名稱。

解題步驟如下：

1. 繪製座標軸：繪製垂直的壓力 (P) 座標軸和水平的體積 (v) 座標軸。
2. 標示區域 (Regions)：
   • 單相區 (Single-phase regions)：分為液體區 (Liquid region) 和氣體區 (Vapor region)。在此區域內，物質只有一個相態。
   • 兩相區 (Two-phase regions)：例如液體+蒸氣區 (Liquid-vapor mixture region)。在此區域內，物質同時存在兩種相態。
3. 標示線段 (Lines)：
   • 飽和液體線 (Saturated liquid line)：單相液體區與兩相區的交界線。
   • 飽和蒸氣線 (Saturated vapor line)：兩相區與單相氣體區的交界線。
   • 臨界線 (Critical line)：指飽和蒸氣線的終點，即臨界點。
   • 固體+液體線 (Solid-liquid line)：若考慮固相，此為固相與液相共存的線。
   • 固體+蒸氣線 (Solid-vapor line)：若考慮固相，此為固相與氣相共存的線。
   • 昇華線 (Sublimation line)：固相與氣相共存的線。
   • 三相線 (Triple line)：固、液、氣三相共存的線。
   • 等溫線 (Isotherms)：在 P-v 圖中，若溫度恆定，則 P-v 關係曲線。
   • 等壓線 (Isobars)：若壓力恆定，則為水平線。

此題考驗氣體在多個過程中的熱力學分析，包含定容過程與定壓過程的結合，以及能量守恆定律的應用。

核心觀念：

1. 理想氣體狀態方程式：$PV = mRT$
2. 功的計算：$W_b = \int P dV$
3. 能量守恆定律 (第一類熱力學定律)：$Q = \Delta U + W_b$ (對於定容過程 $\Delta V = 0$, $W_b = 0$)
4. 理想氣體定容過程與定壓過程的溫度變化。

已知條件：

• 初始狀態 1：$P_1 = 200$ kPa, $T_1 = 25^\circ\text{C} = 298.15$ K, $V_1 = 0.5$ m³
• 活塞移動壓力：$P_{\text{stop}} = 480$ kPa
• 空氣的氣體常數：$R = 0.287$ kJ/kg.K
• 最終體積為初始體積的兩倍：$V_2 = 2 V_1 = 1.0$ m³
• 過程為加熱。

解題步驟：

步驟 1：計算空氣的質量 (m)
首先，我們需要知道空氣的質量才能進行後續計算。我們使用初始狀態的理想氣體狀態方程式：
$P_1 V_1 = m R T_1$
$m = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$
$m = \frac{(200 \text{ kPa})(0.5 \text{ m}^3)}{(0.287 \text{ kJ/kg.K})(298.15 \text{ K})}$
注意單位轉換：1 kPa = 1 kJ/m³
$m = \frac{100 \text{ kJ}}{(0.287 \text{ kJ/kg.K})(298.15 \text{ K})} \approx 1.166$ kg

步驟 2：分析過程
系統從狀態 1 ($P_1=200$ kPa, $V_1=0.5$ m³) 加熱到狀態 2 ($V_2=1.0$ m³)。

• 初始狀態 1：活塞 resting on stops，表示活塞受到外部大氣壓力、活塞本身的重量以及內部氣體壓力。當內部氣體壓力為 $P_1 = 200$ kPa 時，活塞是靜止的。
• 加熱過程：當空氣被加熱時，壓力會升高。當壓力達到 480 kPa 時，活塞開始移動。
• 體積加倍：最終體積 $V_2 = 1.0$ m³。

由於活塞在移動前（體積未達到 0.5 m³ 時，壓力小於 480 kPa）是靜止的，且體積是 0.5 m³，這表示活塞是由外部大氣壓力、活塞自身重量與內部壓力平衡的。當內部壓力從 200 kPa 升高時，活塞會保持不動，直到內部壓力足以克服外部壓力與活塞重量的總和，也就是 480 kPa。因此，從 $V_1 = 0.5$ m³ 到活塞開始移動前的體積，壓力是恆定的 $P_1 = 200$ kPa。

當加熱繼續，活塞開始移動，直到體積達到 $V_2 = 1.0$ m³。在這個移動過程中，活塞是自由移動的，其移動是受到外部大氣壓力、活塞重量以及內部氣體壓力的平衡。由於題目描述 "a 480 kPa pressure is required to move it"，這表示當內部壓力大於 480 kPa 時，活塞才會開始移動，並且在移動過程中，內部壓力會保持在 480 kPa（忽略活塞移動時的摩擦力或動態效應）。因此，從活塞開始移動到體積加倍的過程中，壓力是恆定的 $P = 480$ kPa。

這個過程可以分為兩個階段：

• 階段 A：從 $V_1=0.5$ m³ 加熱，直到壓力達到 480 kPa。在這個階段，由於活塞尚未移動，體積保持恆定 ($V = 0.5$ m³)。這是一個定容過程。
• 階段 B：從壓力 480 kPa 開始，體積從 0.5 m³ 加熱到 1.0 m³。在這個階段，活塞開始移動，並且壓力保持恆定 ($P = 480$ kPa)。這是一個定壓過程。

a) 計算最終溫度 ($T_2$)

• 階段 A (定容過程)：

  • 初始狀態 1: $P_1 = 200$ kPa, $V_1 = 0.5$ m³, $T_1 = 298.15$ K
  • 中間狀態 'm' (活塞開始移動時): $P_m = 480$ kPa, $V_m = V_1 = 0.5$ m³
  • 根據理想氣體狀態方程式，定容過程 $P/T = \text{constant}$
  • $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_m}{T_m}$
  • $T_m = T_1 \frac{P_m}{P_1} = (298.15 \text{ K}) \frac{480 \text{ kPa}}{200 \text{ kPa}} = 298.15 \times 2.4 = 715.56$ K

• 階段 B (定壓過程)：

  • 初始狀態 'm': $P_m = 480$ kPa, $V_m = 0.5$ m³, $T_m = 715.56$ K
  • 最終狀態 2: $P_2 = P_m = 480$ kPa, $V_2 = 1.0$ m³
  • 根據理想氣體狀態方程式，定壓過程 $V/T = \text{constant}$
  • $\frac{V_m}{T_m} = \frac{V_2}{T_2}$

此題考驗冷凝器、壓縮機與蒸發器的熱力學分析，以及熱泵的性能係數 (COP) 計算。

核心觀念：

1. 熱泵的工作原理：從低溫熱源吸收熱量，經壓縮機做功後，將高溫熱量釋放到高溫空間。
2. 熱泵的性能係數 (COP)：$COP_R = \frac{\text{Desired Output}}{\text{Required Input}} = \frac{\text{Heat delivered to the hot space}}{\text{Work input to the compressor}}$
3. 能量守恆定律應用於各組件。
4. 查閱冷媒 (R-134a) 的熱力學性質表。

已知條件：

• 冷媒：R-134a
• 冷凝器入口：$P_{cond,in} = 1$ MPa, 狀態為飽和蒸氣 ($x=1$)
• 冷凝器出口：$P_{cond,out} = 1$ MPa, 狀態為飽和液體 ($x=0$)
• 冷媒質量流量：$\dot{m} = 0.1$ kg/s
• 壓縮機消耗功率：$\dot{W}_{comp} = 6$ kW
• 圖 3 顯示了一個簡化的熱泵循環，包含蒸發器、壓縮機、冷凝器和膨脹閥。

解題步驟：

步驟 1：確定冷媒在冷凝器進出口的焓值
我們需要查詢 R-134a 在 1 MPa 下的飽和蒸氣焓 ($h_g$) 和飽和液體焓 ($h_f$)。
查閱 Table 2 Saturated R-134a - Pressure table，當壓力 P = 1000 kPa = 1 MPa 時：

• 飽和蒸氣焓：$h_g = h_g|_{1 \text{ MPa}} \approx 270.20$ kJ/kg
• 飽和液體焓：$h_f = h_f|_{1 \text{ MPa}} \approx 104.52$ kJ/kg

步驟 2：計算冷凝器釋放的熱量 ($\dot{Q}_{cond}$)
冷凝器是將熱量釋放到高溫空間的組件。根據能量守恆定律，冷凝器釋放的熱量等於冷媒焓值的減少乘以質量流量。
$\dot{Q}_{cond} = \dot{m} (h_{in} - h_{out}) = \dot{m} (h_g|_{1 \text{ MPa}} - h_f|_{1 \text{ MPa}})$

核心觀念

本題考查穩態絕熱渦輪的能量平衡與等熵效率。

忽略動能、位能變化，且渦輪為絕熱設備：

$$\dot W_{\text{out}}=\dot m(h_1-h_2)$$

渦輪等熵效率定義為：

$$\eta_t=\frac{\text{實際焓降}}{\text{等熵焓降}} =\frac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}}$$

其中狀態 $2s$ 為壓力等於實際出口壓力、且滿足 $s_{2s}=s_1$ 的理想等熵出口狀態。

解題方法

1. 查表取得狀態 1 與實際狀態 2 的性質

由題目：

$$P_1=3\text{ MPa},\qquad T_1=400^\circ\text{C}$$

由過熱水蒸氣表查得：

$$h_1=3231.7\text{ kJ/kg},\qquad s_1=6.9235\text{ kJ/(kg·K)}$$

出口實際狀態為：

$$P_2=50\text{ kPa},\qquad T_2=100^\circ\text{C}$$

在 $50\text{ kPa}$ 時，飽和溫度為 $81.32^\circ\text{C}$。因為 $T_2>T_{\text{sat}}$，出口為過熱蒸氣，由過熱水蒸氣表查得：

$$h_2=2682.4\text{ kJ/kg}$$

2. 求等熵出口狀態 $2s$

等熵過程滿足：

$$s_{2s}=s_1=6.9235\text{ kJ/(kg·K)}$$

在 $P_{2s}=50\text{ kPa}$ 下，飽和水蒸氣表給出：

$$s_f=1.0912,\qquad s_{fg}=6.5019$$

因為

$$s_f<s_{2s}<s_g$$

所以狀態 $2s$ 位於濕蒸氣區，其乾度為：

$$x_{2s}=\frac{s_{2s}-s_f}{s_{fg}} =\frac{6.9235-1.0912}{6.5019} \approx 0.8970$$

同一壓力下：

$$h_{2s}=h_f+x_{2s}h_{fg}$$

查表得：