109 年 國立成功大學工程科學系碩士班戊組《熱力學》

核心觀念

Carnot 循環由兩個可逆等溫過程與兩個可逆絕熱過程組成：

• 高溫熱源溫度：$T_H$
• 低溫熱源溫度：$T_L$
• 循環方向：$1\to2\to3\to4\to1$

在 $P$–$v$ 圖中：

• 水平較上方的曲線代表較高溫度 $T_H$
• 水平較下方的曲線代表較低溫度 $T_L$
• 等溫線之間的連接曲線為絕熱線

可利用熱力學第一定律與可逆過程定義判斷：

• 等溫過程：理想氣體溫度不變，通常伴隨熱量交換。
• 絕熱過程：$Q=0$，且 Carnot 循環中的絕熱過程同時為可逆過程，因此也稱為等熵過程。

解題方法

依照圖中循環方向逐段判斷：

1. 位於高溫等溫線 $T_H=\text{const.}$ 上的過程，是高溫等溫膨脹或壓縮。
2. 位於低溫等溫線 $T_L=\text{const.}$ 上的過程，是低溫等溫膨脹或壓縮。
3. 連接兩條等溫線的曲線為可逆絕熱過程。
4. 再根據比體積增加或減少，判定膨脹或壓縮。

各過程分析

(a) Process 1–2

狀態 1 到狀態 2 位於高溫等溫線：

$$T=T_H=\text{constant}$$

且由圖可見比體積增加、壓力下降，因此為膨脹過程。系統對外做功，並由高溫熱源吸收熱量 $Q_H$。

因此：

$$\boxed{\text{1–2：可逆等溫膨脹}}$$

(b) Process 2–3

狀態 2 到狀態 3 是連接高溫等溫線與低溫等溫線的曲線。過程中比體積增加、壓力下降，且沒有熱量傳遞：

$$Q_{2-3}=0$$

由於 Carnot 循環的絕熱過程為可逆絕熱過程，因此亦為等熵膨脹：

$$s_2=s_3$$

所以：

此題考查封閉系統或控制體積的熵產生率計算，應用熱力學第二定律的熵平衡式。

核心觀念：
系統的熵變率等於進入系統的熵流率減去離開系統的熵流率，再加上系統內部的熵產生率。對於穩態過程，系統本身的熵變率為零。
$\frac{dS_{control volume}}{dt} = \sum \dot{m}_i s_i - \sum \dot{m}_e s_e + \dot{S}_{gen}$
對於穩態（steady-state）過程，$\frac{dS_{control volume}}{dt} = 0$。
因此，$\dot{S}_{gen} = \sum \dot{m}_e s_e - \sum \dot{m}_i s_i$。
在本題中，控制體積是熱交換器本身。

解題步驟：

1. 定義控制體積：熱交換器。
2. 識別進出控制體積的物質和流率。
3. 計算進入系統的熵流率。
4. 計算離開系統的熵流率。
5. 計算系統的熵變率（穩態下為零）。
6. 利用熵平衡式計算熵產生率。

已知條件：

• 水蒸氣進口：$T_{in,w} = 45^\circ C$ (飽和水蒸氣), $\dot{m}_w = 2$ kg/s
• 水蒸氣出口：$T_{out,w} = 40^\circ C$ (飽和液體)
• 空氣進口：$P_{air} = 1$ atm, $T_{in,air} = 20^\circ C$
• 空氣出口：$P_{air} \approx 1$ atm, $T_{out,air} = 35^\circ C$
• 空氣比熱：$c_p = 1.005$ kJ/kg•°C

首先，我們需要知道水蒸氣的焓值和熵值。從蒸汽表中查閱（或使用內插法）：
在 $45^\circ C$ 時，飽和水蒸氣的熵 $s_g(45^\circ C)$。
在 $40^\circ C$ 時，飽和液體的熵 $s_f(40^\circ C)$。

查表 A-4 (Saturated water-Temperature table)：

• $T = 45^\circ C$: $s_g = 8.1633$ kJ/kg•K
• $T = 40^\circ C$: $s_f = 0.5724$ kJ/kg•K

水蒸氣的熵流率：
進入：$\dot{m}_w s_{in,w} = (2 \text{ kg/s}) \times (8.1633 \text{ kJ/kg•K})$
離開：$\dot{m}_w s_{out,w} = (2 \text{ kg/s}) \times (0.5724 \text{ kJ/kg•K})$

空氣的熵流率：
進入：$\dot{m}_{air} s_{in,air}$
離開：$\dot{m}_{air} s_{out,air}$

我們需要先計算空氣的質量流率 $\dot{m}_{air}$。這可以通過能量平衡來實現。
熱交換器放出的熱量 = 空氣吸收的熱量
$Q_{out,w} = Q_{in,air}$
$\dot{m}_w (h_{in,w} - h_{out,w}) = \dot{m}_{air} c_p (T_{out,air} - T_{in,air})$

從蒸汽表中查閱：

• $T = 45^\circ C$: 飽和水蒸氣焓 $h_g = 2582.4$ kJ/kg
• $T = 40^\circ C$: 飽和液體焓 $h_f = 167.53$ kJ/kg

水蒸氣放出的熱量：
$Q_{out,w} = \dot{m}_w (h_{in,w} - h_{out,w}) = (2 \text{ kg/s}) \times (2582.4 \text{ kJ/kg} - 167.53 \text{ kJ/kg}) = 2 \times 2414.87 = 4829.74$ kW

核心觀念

本題探討封閉系統（活塞－汽缸裝置，Piston-cylinder device）在定壓加熱過程中的狀態變化與能量守恆。涉及的核心觀念包含：

1. 純物質狀態判別與性質查表：根據溫度與壓力，判定水在初態與終態的相態（壓縮液體、飽和混合物或過熱蒸汽），並從熱力性質表（蒸氣表）查取比容 $v$、比焓 $h$。
2. 密閉系統熱力學第一定律（定壓過程）：
   對於靜態準平衡定壓膨脹過程，膨脹功為 $W_b = P(V_2 - V_1)$。系統忽略動能與位能變化時，由能量守恆： $$Q - W_b = \Delta U = m(u_2 - u_1)$$ $$Q = m(u_2 - u_1) + P(V_2 - V_1) = m(h_2 - h_1)$$ 即定壓過程傳入的熱量等於焓的變化量（$Q = \Delta H$）。
3. 熱力圖繪製：在 $P$-$v$ 圖上標示飽和液體線、飽和蒸汽線、臨界點，以及定壓加熱路徑與對應之定溫線。

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解題方法與步驟

1. 狀態 1（初態）：$T_1 = 60^\circ\text{C}$，$P_1 = 100\text{ kPa} = 0.1\text{ MPa}$，$V_1 = 50\text{ L} = 0.05\text{ m}^3$

• 在 $T_1 = 60^\circ\text{C}$ 下，查飽和水溫度表得飽和壓力： $$P_{\text{sat}@60^\circ\text{C}} = 19.947\text{ kPa}$$
• 由於實際壓力 $P_1 = 100\text{ kPa} > P_{\text{sat}}$，初態為壓縮液體（Compressed liquid）（或次冷液體）。
• 壓縮液體在無專用高壓壓縮液體表時，一般以該溫度下的飽和液體性質近似： $$v_1 \approx v_f(60^\circ\text{C}) = 0.001017\text{ m}^3/\text{kg}$$ $$h_1 \approx h_f(60^\circ\text{C}) = 251.18\text{ kJ/kg}$$ （註：若考慮壓力修正 $h_1 \approx h_f + v_f(P - P_{\text{sat}}) = 251.18 + 0.001017 \times (100 - 19.95) = 251.26\text{ kJ/kg}$，差異極微，實務上直接採用 $h_f$ 即可）。

2. (a) 計算水的質量 $m$

由質量、體積與比容關係：

$$m = \frac{V_1}{v_1} = \frac{0.05\text{ m}^3}{0.001017\text{ m}^3/\text{kg}} \approx 49.164\text{ kg}$$

3. 狀態 2（終態）：定壓過程 $P_2 = P_1 = 100\text{ kPa}$，$T_2 = 280^\circ\text{C}$

• 在 $P_2 = 100\text{ kPa} = 0.1\text{ MPa}$ 下，查飽和水壓力表得飽和溫度： $$T_{\text{sat}@100\text{ kPa}} = 99.61^\circ\text{C} \approx 99.6^\circ\text{C}$$
• 由於 $T_2 = 280^\circ\text{C} > T_{\text{sat}}$，終態為過熱蒸汽（Superheated vapor）。
• 查過熱水蒸氣表（$P = 0.1\text{ MPa}$）：
  • 在 $T = 250^\circ\text{C}$：$v = 2.4062\text{ m}^3/\text{kg}$，$h = 2974.5\text{ kJ/kg}$
  • 在 $T = 300^\circ\text{C}$：$v = 2.6389\text{ m}^3/\text{kg}$，$h = 3074.5\text{ kJ/kg}$
  • 在 $T_2 = 280^\circ\text{C}$ 進行線性內插： $$v_2 = 2.4062 + \frac{280 - 250}{300 - 250}(2.6389 - 2.4062) = 2.4062 + 0.6 \times 0.2327 = 2.5458\text{ m}^3/\text{kg}$$ $$h_2 = 2974.5 + \frac{280 - 250}{300 - 250}(3074.5 - 2974.5) = 2974.5 + 0.6 \times 100.0 = 3034.5\text{ kJ/kg}$$

4. (b) 計算最終體積 $V_2$

由質量與終態比容：

核心觀念

本題是穩態、穩流控制體的能量平衡。忽略動能與位能變化，冷凝器內有三股能量交互作用：

• R-134a 放出熱量；
• 冷卻水吸收熱量；
• 冷凝器向外界散失熱量 $100\ \text{kW}$。

基本能量平衡為

$$\dot m_R(h_1-h_2) = \dot Q_{\text{water}}+\dot Q_{\text{loss}}$$

其中

$$\dot Q_{\text{water}} = \dot m_w(h_4-h_3)$$

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(a) 冷卻水質量流率

由水蒸氣表，在 $10\ \text{kPa}$ 時：

$$h_f \approx 191.8\ \text{kJ/kg},\qquad h_{fg}\approx 2392.8\ \text{kJ/kg}$$

出口為飽和液－汽混合物，乾度 $x=0.05$，因此

$$h_4=h_f+xh_{fg}$$ $$h_4=191.8+0.05(2392.8) \approx311.4\ \text{kJ/kg}$$

入口水溫為 $30^\circ\text{C}$，且壓力僅 $10\ \text{kPa}$，可視為壓縮液，其焓近似為同溫飽和液焓：

$$h_3\approx h_f(30^\circ\text{C}) \approx125.7\ \text{kJ/kg}$$

因此冷卻水每公斤吸收的熱量為

$$\Delta h_w=h_4-h_3 =311.4-125.7 =185.7\ \text{kJ/kg}$$

由 R-134a 性質表，在 $1\ \text{MPa}$：

$$h_1\;(150^\circ\text{C})\approx 545\ \text{kJ/kg}$$

出口為 $1\ \text{MPa}$、$40^\circ\text{C}$，接近飽和蒸氣狀態：

$$h_2\approx419\ \text{kJ/kg}$$

所以 R-134a 放出的熱量為