112 年 國立成功大學工程科學系碩士班己組《熱力學》

核心觀念

本題考查：

• 飽和液態水的比容與質量關係：
  $m=\frac{V_1}{v_f}$
• 飽和兩相混合物的乾度：
  $x=\frac{m_g}{m}$
• 混合物比焓：
  $h=h_f+xh_{fg}$
• 絕熱封閉系統第一定律。
• 定壓過程中，邊界功可與內能項合併，因此：
  $\Delta H=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$

由原卷附圖可知，系統為絕熱活塞汽缸，內含電阻與攪拌槳，壓力維持 $450\ \text{kPa}$。

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解題方法

（1）初始水的質量

由 $450\ \text{kPa}$ 飽和水表：

$$v_f=0.001088\ \text{m}^3/\text{kg}$$

初始體積為：

$$V_1=0.01\ \text{m}^3$$

因此

$$m=\frac{V_1}{v_f} =\frac{0.01}{0.001088} \approx 9.2\ \text{kg}$$

所以：

$$\boxed{m\approx 9.2\ \text{kg}}$$

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（2）最終比焓

題目指出液態水有 $75\%$ 蒸發，因此最終乾度為：

$$x_2=0.75$$

由 $450\ \text{kPa}$ 飽和水表：

$$h_f=623.14\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{fg}=2120.8\ \text{kJ/kg}$$

最終狀態為飽和液－汽混合物，故：

$$h_2=h_f+x_2h_{fg}$$ $$h_2=623.14+0.75(2120.8)$$ $$h_2\approx 2213\ \text{kJ/kg}$$

因此：

$$\boxed{h_2\approx 2213\ \text{kJ/kg}}$$

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（3）電阻電流

系統絕熱，所以 $Q=0$。對封閉系統使用第一定律：

$$\Delta U=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}-W_b$$

由於壓力為定值，且 $H=U+PV$，可整理為：

$$\Delta H=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$$

因此：

$$m(h_2-h_1)=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$$

初始為飽和液態水：

$$h_1=h_f=623.14\ \text{kJ/kg}$$

所以總焓變為：

$$\Delta H =m(h_2-h_1)$$ $$\Delta H =9.2(2213-623.14) \approx 14627\ \text{kJ}$$

攪拌槳輸入功為：

$$W_{\text{paddle,in}}=5000\ \text{kJ}$$

故電阻輸入能量：

$$W_{\text{electric,in}} =14627-5000 \approx 9627\ \text{kJ}$$

電能為：

$$W_{\text{electric,in}}=VIt$$

其中：

$$V=240\ \text{V},\qquad t=60\ \text{min}=3600\ \text{s}$$

注意：

$$1\ \text{kJ}=1000\ \text{J}$$

因此

$$9627\times 10^3 =240(I)(3600)$$

解得：

$$I=\frac{9627\times10^3}{240\times3600} \approx 11.2\ \text{A}$$

所以：

$$\boxed{I\approx 11.2\ \text{A}}$$

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（4）$P-v$ 圖上的過程

兩個狀態都在 $P=450\ \text{kPa}$ 的定壓線上：

核心觀念

本題考查活塞—汽缸內氣體受熱時的分段過程：

1. 初始階段活塞受止擋限制，體積不變，屬於定容加熱。
2. 壓力升至 $250\ \text{kPa}$ 後，活塞開始移動，之後以定壓 $250\ \text{kPa}$ 加熱至 $700\ \text{K}$。
3. 空氣視為理想氣體，使用：

$$PV=mRT$$

定容階段：

$$\frac{P}{T}=\text{定值}$$

邊界功：

$$W_b=\int P\,dV$$

內能變化：

$$\Delta U=mc_v(T_3-T_1)$$

封閉系統能量平衡：

$$Q-W_b=\Delta U$$

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解題方法

依 Fig. 2，狀態變化為：

• 狀態 1：$P_1=150\ \text{kPa}$、$T_1=27^\circ\text{C}=300\ \text{K}$、$V_1=0.5\ \text{m}^3$
• 狀態 1 到狀態 2：定容，直到壓力升至 $250\ \text{kPa}$
• 狀態 2 到狀態 3：定壓 $250\ \text{kPa}$，終溫 $T_3=700\ \text{K}$

（1）空氣質量

由理想氣體方程式：

$$m=\frac{P_1V_1}{RT_1}$$

代入：

$$m=\frac{(150)(0.5)}{(0.287)(300)} =0.871\ \text{kg}$$

因此：

$$m\approx 0.87\ \text{kg}$$

（2）狀態 2 的溫度

狀態 1 到狀態 2 為定容過程，因此：

$$\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$$

整理得：

$$T_2=T_1\frac{P_2}{P_1}$$ $$T_2=300\left(\frac{250}{150}\right)=500\ \text{K}$$

（3）邊界功

定容階段沒有體積變化，因此功為零。只有狀態 2 到狀態 3 的定壓膨脹產生邊界功。

先求狀態 3 體積：

$$\frac{V_3}{V_2}=\frac{T_3}{T_2}$$

因為 $V_2=V_1=0.5\ \text{m}^3$：

$$V_3=0.5\left(\frac{700}{500}\right)=0.7\ \text{m}^3$$

所以：

$$W_b=P_2(V_3-V_2)$$ $$W_b=(250)(0.7-0.5)=50.0\ \text{kJ}$$

考慮計算精度後，對應選項為 $49.9\ \text{kJ}$。

（4）傳入空氣的熱量

空氣總溫升為：

$$T_3-T_1=700-300=400\ \text{K}$$

內能變化：

$$\Delta U=mc_v(T_3-T_1)$$

核心觀念

本題使用：

• 理想氣體狀態方程：
  $PV=mRT$
• 剛性槽體積固定，因此邊界功為零。
• 槽體絕熱，因此熱傳為零。
• 開放系統放流時，流出質量攜帶焓 $h$。
• 理想氣體滿足：
  $h=u+RT,\qquad c_p-c_v=R$

已知：

$V=2\ \mathrm{m^3},\quad P_1=1000\ \mathrm{kPa},\quad P_2=200\ \mathrm{kPa}$

$T_1=313.15\ \mathrm{K}$

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解題方法

（1）電阻加熱器輸入的電功

初、末狀態溫度相同，故：

$T_2=T_1=T$

初、末質量為：

$m_1=\frac{P_1V}{RT},\qquad m_2=\frac{P_2V}{RT}$

流出質量：

$m_{\mathrm{out}}=m_1-m_2$

取電功輸入為正，對剛性槽進行非穩態能量平衡：

$U_2-U_1=W_{\mathrm{elec,in}}-m_{\mathrm{out}}h$

因為理想氣體溫度不變：

$U_2-U_1=(m_2-m_1)c_vT=-m_{\mathrm{out}}c_vT$

且流出焓為：

$h=c_pT$

代入能量方程：

$$-m_{\mathrm{out}}c_vT =W_{\mathrm{elec,in}}-m_{\mathrm{out}}c_pT$$

因此：

$$W_{\mathrm{elec,in}} =m_{\mathrm{out}}(c_p-c_v)T =m_{\mathrm{out}}RT$$

利用 $mRT=PV$：

$$W_{\mathrm{elec,in}} =(P_1-P_2)V$$ $$W_{\mathrm{elec,in}} =(1000-200)(2) =1600\ \mathrm{kJ}$$

所以選擇 （f）。

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（2）加熱器故障時的末溫

題幹仍以壓力降至 $200\ \mathrm{kPa}$ 為末狀態，且：

$m_2=\frac{m_1}{4.5}$

對初、末狀態使用理想氣體方程式：

$P_1V=m_1RT_1$

$P_2V=m_2RT_2$

兩式相除：

$$\frac{T_2}{T_1} =\frac{P_2}{P_1}\frac{m_1}{m_2}$$

代入：

$$\frac{T_2}{T_1} =\frac{200}{1000}(4.5) =0.9$$

因此：

$T_2=0.9(313.15)=281.835\ \mathrm{K}$

換算為攝氏溫度：

核心觀念

本題考查節流過程與濕蒸氣品質。

節流閥通常視為穩定流動、絕熱、無軸功，且動能與位能變化可忽略，因此能量方程為

$$h_1=h_2$$

狀態 1 為飽和液體—蒸氣混合物，其比焓為

$$h_1=h_f+x_1h_{fg}$$

其中 $x_1$ 為乾度，即蒸氣質量占總質量的比例。

解題方法

（1）求狀態 2 的比焓

狀態 2：

$$P_2=100\ \text{kPa},\qquad T_2=100^\circ\text{C}$$

在 $100\ \text{kPa}$ 下，水的飽和溫度為約 $99.61^\circ\text{C}$，所以狀態 2 為略微過熱蒸氣。由過熱水蒸氣表，在

$$P=0.10\ \text{MPa},\qquad T=100^\circ\text{C}$$

可查得

$$h_2=2675.8\ \text{kJ/kg}\approx2676\ \text{kJ/kg}$$

因此第（1）小題選 （c）2676 kJ/kg。

（2）求狀態 1 的乾度

由節流關係：

$$h_1=h_2\approx2676\ \text{kJ/kg}$$

狀態 1 為 $575\ \text{kPa}$ 的飽和混合物。因蒸汽表列有 $550\ \text{kPa}$ 與 $600\ \text{kPa}$，以線性內插：

$$Y_{575}=Y_{550} +\frac{575-550}{600-550}(Y_{600}-Y_{550})$$

由飽和水壓力表可得約

$$h_f(575)\approx663.2\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{fg}(575)\approx2091.3\ \text{kJ/kg}$$

代入濕蒸氣比焓公式：

$$x_1=\frac{h_1-h_f}{h_{fg}}$$ $$x_1= \frac{2676-663.2}{2091.3} \approx0.9625$$

因此

$$x_1\approx96.3\%$$

選項分析

第（1）小題

核心觀念

本題考查「穩流絕熱壓縮機」的能量平衡、等熵效率，以及冷媒性質表的內插。

忽略動能與位能變化，壓縮機每公斤冷媒所需的實際輸入功為

$$w_{\mathrm{in}}=h_{2a}-h_1$$

壓縮機的等熵效率定義為

$$\eta_c=\frac{h_{2s}-h_1}{h_{2a}-h_1}$$

其中，等熵出口狀態滿足 $s_{2s}=s_1$，且等熵出口與實際出口的壓力皆為 $1.0\ \mathrm{MPa}$。

解題方法

圖 5 標示冷媒由狀態 1 的 $100\ \mathrm{kPa}$ 飽和蒸氣進入壓縮機，由狀態 2 的 $1\ \mathrm{MPa}$ 出口排出；所需性質可由同頁的表 A–12、A–13 取得。原卷體積流率印成「$6\ 0.7\ \mathrm{m^3/min}$」，缺少可唯一辨識的數值；第（4）小題以下採 $\dot V_1=6.0\ \mathrm{m^3/min}$ 計算，並列出採 $6.7\ \mathrm{m^3/min}$ 時的結果。

（1）等熵出口焓 $h_{2s}$

由表 A–12，在 $100\ \mathrm{kPa}$ 的飽和蒸氣狀態：

$$v_1=0.19255\ \mathrm{m^3/kg},\qquad h_1=234.46\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1=0.95191\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

等熵壓縮滿足

$$s_{2s}=s_1=0.95191\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$$

由表 A–13，在 $1.0\ \mathrm{MPa}$ 下：

溫度	焓 $h$（$\mathrm{kJ/kg}$）	熵 $s$（$\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$）
$40^\circ\mathrm C$	271.73	0.9180
$50^\circ\mathrm C$	282.76	0.9526

以熵為依據線性內插：

$$h_{2s} =271.73+ \frac{0.95191-0.9180}{0.9526-0.9180} (282.76-271.73) =282.54\ \mathrm{kJ/kg}$$

最接近的選項為 （e）$283\ \mathrm{kJ/kg}$。

（2）實際出口焓 $h_{2a}$

由壓縮機等熵效率 $\eta_c=0.75$：

$$h_{2a} =h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{\eta_c} =234.46+\frac{282.54-234.46}{0.75} =298.57\ \mathrm{kJ/kg}$$

最接近的選項為 （c）$299\ \mathrm{kJ/kg}$。此結果滿足 $h_{2a}>h_{2s}>h_1$，符合實際壓縮機耗功大於等熵壓縮機的物理意義；代回效率式亦得

$$\frac{282.54-234.46}{298.57-234.46}\approx0.750$$

（3）實際出口溫度 $T_{2a}$

在出口壓力 $1.0\ \mathrm{MPa}$ 下，由表 A–13：

溫度	焓 $h$（$\mathrm{kJ/kg}$）
$60^\circ\mathrm C$	293.40
$70^\circ\mathrm C$	303.87

依實際出口焓內插：

$$T_{2a} =60+ \frac{298.57-293.40}{303.87-293.40}(70-60) \approx64.94^\circ\mathrm C$$

最接近的選項為 （f）$65.3^\circ\mathrm C$。

（4）輸入功率 $\dot W_{\mathrm{in}}$

核心觀念

目前提供的內容只有題號與頁面標記：

第 1 題，共 2 頁
第 1 至 5 題為選擇題及繪圖題。

缺少第 1 題的實際題幹、圖形、選項與數據，因此無法判定本題考查的熱力學觀念，也無法建立適用的定義、定理或公式。

解題方法

熱力學選擇題與繪圖題通常必須依據完整題目判斷，例如：

• 系統是封閉系統或控制體積；
• 過程是否為定壓、定溫、絕熱或可逆；
• 工作流體與狀態變數；
• 題目要求判斷的圖形或選項；

核心觀念

本題使用：

• 理想氣體狀態方程：
  $PV=mRT$
• 剛性槽體積固定，因此邊界功為零。
• 槽體絕熱，因此熱傳為零。
• 開放系統放流時，流出質量攜帶焓 $h$。
• 理想氣體滿足：
  $h=u+RT,\qquad c_p-c_v=R$

已知：

$V=2\ \mathrm{m^3},\quad P_1=1000\ \mathrm{kPa},\quad P_2=200\ \mathrm{kPa}$

$T_1=313.15\ \mathrm{K}$

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解題方法

（1）電阻加熱器輸入的電功

初、末狀態溫度相同，故：

$T_2=T_1=T$

初、末質量為：

$m_1=\frac{P_1V}{RT},\qquad m_2=\frac{P_2V}{RT}$

流出質量：

$m_{\mathrm{out}}=m_1-m_2$

取電功輸入為正，對剛性槽進行非穩態能量平衡：

$U_2-U_1=W_{\mathrm{elec,in}}-m_{\mathrm{out}}h$

因為理想氣體溫度不變：

$U_2-U_1=(m_2-m_1)c_vT=-m_{\mathrm{out}}c_vT$

且流出焓為：

$h=c_pT$

代入能量方程：

$$-m_{\mathrm{out}}c_vT =W_{\mathrm{elec,in}}-m_{\mathrm{out}}c_pT$$

因此：

$$W_{\mathrm{elec,in}} =m_{\mathrm{out}}(c_p-c_v)T =m_{\mathrm{out}}RT$$

利用 $mRT=PV$：

$$W_{\mathrm{elec,in}} =(P_1-P_2)V$$ $$W_{\mathrm{elec,in}} =(1000-200)(2) =1600\ \mathrm{kJ}$$

所以選擇 （f）。

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（2）加熱器故障時的末溫

題幹仍以壓力降至 $200\ \mathrm{kPa}$ 為末狀態，且：

$m_2=\frac{m_1}{4.5}$

對初、末狀態使用理想氣體方程式：

$P_1V=m_1RT_1$

$P_2V=m_2RT_2$

兩式相除：

$$\frac{T_2}{T_1} =\frac{P_2}{P_1}\frac{m_1}{m_2}$$

代入：

$$\frac{T_2}{T_1} =\frac{200}{1000}(4.5) =0.9$$

因此：

$T_2=0.9(313.15)=281.835\ \mathrm{K}$

換算為攝氏溫度：

核心觀念

本題考查節流過程與濕蒸氣品質。

節流閥通常視為穩定流動、絕熱、無軸功，且動能與位能變化可忽略，因此能量方程為

$$h_1=h_2$$

狀態 1 為飽和液體—蒸氣混合物，其比焓為

$$h_1=h_f+x_1h_{fg}$$

其中 $x_1$ 為乾度，即蒸氣質量占總質量的比例。

解題方法

（1）求狀態 2 的比焓

狀態 2：

$$P_2=100\ \text{kPa},\qquad T_2=100^\circ\text{C}$$

在 $100\ \text{kPa}$ 下，水的飽和溫度為約 $99.61^\circ\text{C}$，所以狀態 2 為略微過熱蒸氣。由過熱水蒸氣表，在

$$P=0.10\ \text{MPa},\qquad T=100^\circ\text{C}$$

可查得

$$h_2=2675.8\ \text{kJ/kg}\approx2676\ \text{kJ/kg}$$

因此第（1）小題選 （c）2676 kJ/kg。

（2）求狀態 1 的乾度

由節流關係：

$$h_1=h_2\approx2676\ \text{kJ/kg}$$

狀態 1 為 $575\ \text{kPa}$ 的飽和混合物。因蒸汽表列有 $550\ \text{kPa}$ 與 $600\ \text{kPa}$，以線性內插：

$$Y_{575}=Y_{550} +\frac{575-550}{600-550}(Y_{600}-Y_{550})$$

由飽和水壓力表可得約

$$h_f(575)\approx663.2\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{fg}(575)\approx2091.3\ \text{kJ/kg}$$

代入濕蒸氣比焓公式：

$$x_1=\frac{h_1-h_f}{h_{fg}}$$ $$x_1= \frac{2676-663.2}{2091.3} \approx0.9625$$

因此

$$x_1\approx96.3\%$$

選項分析

第（1）小題

核心觀念

本題考查：

• 飽和液態水的比容與質量關係：
  $m=\frac{V_1}{v_f}$
• 飽和兩相混合物的乾度：
  $x=\frac{m_g}{m}$
• 混合物比焓：
  $h=h_f+xh_{fg}$
• 絕熱封閉系統第一定律。
• 定壓過程中，邊界功可與內能項合併，因此：
  $\Delta H=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$

由原卷附圖可知，系統為絕熱活塞汽缸，內含電阻與攪拌槳，壓力維持 $450\ \text{kPa}$。

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解題方法

（1）初始水的質量

由 $450\ \text{kPa}$ 飽和水表：

$$v_f=0.001088\ \text{m}^3/\text{kg}$$

初始體積為：

$$V_1=0.01\ \text{m}^3$$

因此

$$m=\frac{V_1}{v_f} =\frac{0.01}{0.001088} \approx 9.2\ \text{kg}$$

所以：

$$\boxed{m\approx 9.2\ \text{kg}}$$

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（2）最終比焓

題目指出液態水有 $75\%$ 蒸發，因此最終乾度為：

$$x_2=0.75$$

由 $450\ \text{kPa}$ 飽和水表：

$$h_f=623.14\ \text{kJ/kg}$$ $$h_{fg}=2120.8\ \text{kJ/kg}$$

最終狀態為飽和液－汽混合物，故：

$$h_2=h_f+x_2h_{fg}$$ $$h_2=623.14+0.75(2120.8)$$ $$h_2\approx 2213\ \text{kJ/kg}$$

因此：

$$\boxed{h_2\approx 2213\ \text{kJ/kg}}$$

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（3）電阻電流

系統絕熱，所以 $Q=0$。對封閉系統使用第一定律：

$$\Delta U=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}-W_b$$

由於壓力為定值，且 $H=U+PV$，可整理為：

$$\Delta H=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$$

因此：

$$m(h_2-h_1)=W_{\text{paddle,in}}+W_{\text{electric,in}}$$

初始為飽和液態水：

$$h_1=h_f=623.14\ \text{kJ/kg}$$

所以總焓變為：

$$\Delta H =m(h_2-h_1)$$ $$\Delta H =9.2(2213-623.14) \approx 14627\ \text{kJ}$$

攪拌槳輸入功為：

$$W_{\text{paddle,in}}=5000\ \text{kJ}$$

故電阻輸入能量：

$$W_{\text{electric,in}} =14627-5000 \approx 9627\ \text{kJ}$$

電能為：

$$W_{\text{electric,in}}=VIt$$

其中：

$$V=240\ \text{V},\qquad t=60\ \text{min}=3600\ \text{s}$$

注意：

$$1\ \text{kJ}=1000\ \text{J}$$

因此

$$9627\times 10^3 =240(I)(3600)$$

解得：

$$I=\frac{9627\times10^3}{240\times3600} \approx 11.2\ \text{A}$$

所以：

$$\boxed{I\approx 11.2\ \text{A}}$$

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（4）$P-v$ 圖上的過程

兩個狀態都在 $P=450\ \text{kPa}$ 的定壓線上：