108 年 國立中央大學能源工程研究所《基礎熱力學》

核心觀念

本題考查空氣標準循環中的四個基本過程：

1. $1\to2$：定容加熱，體積不變。
2. $2\to3$：定壓加熱，壓力維持 $30$ psia。
3. $3\to4$：等熵膨脹，符合理想氣體等熵關係。
4. $4\to1$：定壓放熱，壓力維持 $14.7$ psia。

採用空氣標準分析，將空氣視為理想氣體，且 $c_v$、$c_p$ 為常數。

已知

$$T_1=70^\circ\mathrm{F},\qquad p_1=14.7\ \mathrm{psia}$$ $$p_2=p_3=30\ \mathrm{psia},\qquad T_3=1600^\circ\mathrm{F}$$ $$p_4=p_1=14.7\ \mathrm{psia}$$ $$c_v=0.171,\qquad c_p=0.24 \quad \mathrm{Btu/(lbm\cdot{}^\circ F)}$$

比熱比為

$$k=\frac{c_p}{c_v} =\frac{0.24}{0.171} =1.404$$

---

解題方法

溫度比例必須使用絕對溫標。華氏溫度換算為絕對溫度：

$$T(^\circ R)=T(^\circ F)+459.67$$

因此

$$T_1=70+459.67=529.67^\circ R$$ $$T_3=1600+459.67=2059.67^\circ R$$

---

（a）$p-v$ 圖

各過程在 $p-v$ 圖上的表示如下：

p
↑
│                 2 ───────────── 3
│                 │                 ╲
│                 │                  ╲  3→4：等熵膨脹
│                 │                   ╲
│                 1 ───────────────── 4
│
└────────────────────────────────────→ v

實際方向為

$$1\to2\to3\to4\to1$$

• $1\to2$：定容，故為垂直線。
• $2\to3$：定壓，故為水平線向右。
• $3\to4$：膨脹，體積增加、壓力下降，為向右下方的等熵曲線。
• $4\to1$：定壓冷卻，體積減少，為水平線向左。

---

（b）求 $T_2$

$1\to2$ 為定容過程。理想氣體在定容下有

$$\frac{p}{T}=\text{常數}$$

因此

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$

整理得

$$T_2=T_1\frac{p_2}{p_1}$$

代入數值：

$$T_2 = 529.67\left(\frac{30}{14.7}\right) = 1080.96^\circ R$$

換回華氏溫度：

$$T_2=1080.96-459.67 =621.29^\circ F$$

所以

$$\boxed{T_2\approx621^\circ F}$$

---

（c）求 $T_4$

$3\to4$ 為理想氣體等熵膨脹，使用關係式

$$\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{(k-1)/k}$$

由於

$$\frac{k-1}{k} = \frac{c_p-c_v}{c_p} = \frac{0.24-0.171}{0.24} = 0.2875$$

故

$$T_4 = T_3 \left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{0.2875}$$

代入：

$$T_4 = 2059.67 \left(\frac{14.7}{30}\right)^{0.2875}$$ $$T_4\approx1677.9^\circ R$$

換回華氏溫度：

$$T_4=1677.9-459.67 \approx1218.2^\circ F$$

所以

$$\boxed{T_4\approx1218^\circ F}$$

本題要求繪製五種常見熱力循環的 p-v 圖與 T-s 圖。這考驗對不同循環各過程（等熵、定容、定壓、定溫、定溫散熱等）在 p-v 與 T-s 圖上的幾何表示的理解。

核心觀念：

• p-v 圖： 橫軸為比容 (v)，縱軸為壓力 (p)。
  • 定容過程：垂直線。
  • 定壓過程：水平線。
  • 絕熱可逆過程 (Isentropic)：$pv^\gamma = \text{constant}$。斜率比定壓線陡。
  • 定溫過程 (Isothermal)：$pv = \text{constant}$。斜率比絕熱線平緩。
• T-s 圖： 橫軸為熵 (s)，縱軸為絕對溫度 (T)。
  • 定容過程：曲線，斜率 $\frac{dT}{ds} = T/c_v$。
  • 定壓過程：曲線，斜率 $\frac{dT}{ds} = T/c_p$。
  • 絕熱可逆過程 (Isentropic)：垂直線。
  • 定溫過程：水平線。
• 功 (Work)： p-v 圖上曲線下的面積。
• 熱 (Heat)： T-s 圖上積分 $Tds$ 的面積。

以下分別繪製五種循環的 p-v 圖與 T-s 圖。假設為理想氣體，且所有過程均為可逆。

(1) Otto Cycle (奧圖循環)

• 過程：
  1-2：絕熱可逆壓縮 (Adiabatic compression)
  2-3：定容加熱 (Constant volume heat addition)
  3-4：絕熱可逆膨脹 (Adiabatic expansion)
  4-1：定容冷卻 (Constant volume heat rejection)

• p-v Diagram:
  (請想像一個 p-v 圖)

  1. 點 (1) 左下方。
  2. 線段 1-2：垂直向上（絕熱壓縮）。
  3. 線段 2-3：垂直向上（定容加熱）。
  4. 線段 3-4：垂直向下（絕熱膨脹）。
  5. 線段 4-1：垂直向下（定容冷卻）。
  • 注意：由於是壓縮和膨脹，點 (2) 和 (3) 的壓力高於點 (1) 和 (4)。點 (2) 和 (3) 的比容相同。點 (1) 和 (4) 的比容相同。

• T-s Diagram:
  (請想像一個 T-s 圖)

  1. 點 (1) 左下方。
  2. 線段 1-2：垂直向上（絕熱壓縮）。
  3. 線段 2-3：水平向右（定容加熱）。
  4. 線段 3-4：垂直向下（絕熱膨脹）。
  5. 線段 4-1：水平向左（定容冷卻）。
  • 注意：點 (2) 和 (3) 的溫度高於點 (1) 和 (4)。

(2) Diesel Cycle (狄賽爾循環)

• 過程：
  1-2：絕熱可逆壓縮 (Adiabatic compression)
  2-3：定壓加熱 (Constant pressure heat addition)
  3-4：絕熱可逆膨脹 (Adiabatic expansion)
  4-1：定容冷卻 (Constant volume heat rejection)

• p-v Diagram:
  (請想像一個 p-v 圖)

  1. 點 (1) 左下方。
  2. 線段 1-2：垂直向上（絕熱壓縮）。
  3. 線段 2-3：水平向右（定壓加熱）。
  4. 線段 3-4：向下且右移的曲線（絕熱膨脹）。
  5. 線段 4-1：垂直向下（定容冷卻）。
  • 注意：點 (2) 的壓力與點 (3) 相同。點 (2) 的比容小於點 (3)。

• T-s Diagram:
  (請想像一個 T-s 圖)

  1. 點 (1) 左下方。
  2. 線段 1-2：垂直向上（絕熱壓縮）。
  3. 線段 2-3：向上且右移的曲線（定壓加熱）。
  4. 線段 3-4：垂直向下（絕熱膨脹）。
  5. 線段 4-1：水平向左（定容冷卻）。
  • 注意：點 (2) 和 (3) 的溫度高於點 (1) 和 (4)。

(3) Brayton Cycle (布雷頓循環)

• 過程：
  1-2：絕熱可逆壓縮 (Adiabatic compression)
  2-3：定壓加熱 (Constant pressure heat addition)
  3-4：絕熱可逆膨脹 (Adiabatic expansion)

本題要求說明五個熱力學基本關係式成立的條件。這考驗對熱力學基本定義、理想氣體假設、定比熱假設的理解。

核心觀念：

• 焓 (Enthalpy) 的定義
• 熱容 (Specific Heat) 的定義與關係
• 理想氣體 (Ideal Gas) 的性質
• 絕熱可逆過程 (Isentropic Process) 的關係式

(a) $h=u+pv$
此關係式是焓 (h) 的定義式。

• 成立條件：
  1. 普遍適用： 這個關係式是焓的定義，對於任何物質（純物質、混合物、固體、液體、氣體）和任何狀態（平衡態或非平衡態），只要 $u$ 是內能，$p$ 是壓力，$v$ 是比容，這個定義式就成立。
  2. 特定系統： 通常用於封閉系統 (Closed system) 或在分析流體機械 (如渦輪機、壓縮機) 的控制體積 (Control volume) 問題時，用來簡化能量方程，其中 $h$ 代表進入或離開控制體積的流體的「流動功」(flow work) 與內能的總和。

【答案】 焓的定義式，適用於任何物質和狀態。**

(b) $c_p-c_v=R$
此關係式是定壓比熱 ($c_p$) 與定容比熱 ($c_v$) 之間的關係，其中 $R$ 是特定氣體常數。

• 成立條件：
  1. 理想氣體 (Ideal Gas)： 這個關係式僅適用於理想氣體。
  2. 定比熱 (Constant Specific Heats)： 嚴格來說，這個關係式成立的基礎是比熱不隨溫度變化。對於真實氣體，即使在低壓下近似為理想氣體，但若溫度範圍很大，比熱會變化，此公式的準確性會下降。然而，在許多工程應用中，即使比熱略有變化，仍可近似使用此公式。
  3. 特定氣體常數 R： $R = R_u / M$，其中 $R_u$ 是通用氣體常數，$M$ 是莫耳質量。

[答案] 適用於理想氣體，且假設比熱為常數。

(c) $h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)$
此關係式是計算焓差與溫度變化之間的關係。

• 成立條件：

核心觀念

本題考查定壓比熱 $c_p$ 與定容比熱 $c_v$ 的定義，以及不可壓縮流體的特性。

比熱定義為

$$c_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v$$ $$c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p$$

其中 $u$ 為比內能，$h$ 為比焓，且

$$h=u+pv$$

不可壓縮流體的特性為比體積 $v$ 為常數，因此

$$dv=0$$

解題方法

由比焓定義微分：

$$dh=d(u+pv)$$ $$dh=du+p\,dv+v\,dp$$

對不可壓縮流體而言，$dv=0$，故

$$dh=du+v\,dp$$

在定壓過程中，$dp=0$，因此

$$dh=du$$

定壓比熱的定義為

$$c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p$$

由於定壓時 $dh=du$，可得

$$c_p=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_p$$

不可壓縮流體的比體積為常數，所以定壓加熱與定容加熱所對應的狀態變化相同，因而

本題考驗對「內能」(Internal Energy) 的概念理解。

核心觀念：
內能是物質系統內部的總能量，它包含了與物質分子運動和分子間交互作用相關的所有能量形式。它不包含系統整體的動能和位能（例如，如果整個系統在移動或處於重力場中）。

內能的組成：

內能主要由以下幾部分組成：

1. 分子動能 (Molecular Kinetic Energy)：

   • 平移動能 (Translational Kinetic Energy)： 分子在空間中的隨機移動所產生的動能。
   • 轉動動能 (Rotational Kinetic Energy)： 分子繞其質心的旋轉運動所產生的動能（適用於多原子分子）。
   • 振動動能 (Vibrational Kinetic Energy)： 分子內部原子間的振動所產生的動能（適用於多原子分子）。

2. 分子位能 (Molecular Potential Energy)：

本題考驗對「對應狀態原理」(Principle of Corresponding States) 的理解。

核心觀念：
對應狀態原理是一種簡化的方法，用於預測真實氣體在不同壓力、溫度下的性質。它基於這樣一個想法：當兩種或多種不同的物質在相同的「約化參數」(reduced parameters) 下時，它們的行為會相似。

對應狀態原理的內容：

對應狀態原理指出，對於所有的簡單可壓縮流體（simple compressible substances），它們在相同的約化溫度 $T_r$ 和約化壓力 $p_r$ 下，具有相同的約化體積 $v_r$。

約化參數 (Reduced Parameters)：
這些參數是將實際的溫度、壓力、體積與物質的臨界點 (critical point) 參數進行比較所得到的無因次參數：

• 約化溫度 (Reduced Temperature), $T_r$：
  $T_r = \frac{T}{T_c}$
  其中 $T$ 是絕對溫度， $T_c$ 是臨界溫度。

• 約化壓力 (Reduced Pressure), $p_r$：
  $p_r = \frac{p}{p_c}$
  其中 $p$ 是絕對壓力， $p_c$ 是臨界壓力。

• 約化體積 (Reduced Volume), $v_r$：
  $v_r = \frac{v}{v_c}$

本題考驗對水蒸氣相圖的理解，特別是飽和壓力、過熱蒸汽和壓縮液體的判斷。

核心觀念：

• 飽和壓力 (Saturation Pressure)： 在給定的溫度下，液體與蒸汽能夠共存的壓力。
• 飽和溫度 (Saturation Temperature)： 在給定的壓力下，液體與蒸汽能夠共存的溫度。
• 飽和液體 (Saturated Liquid)： 在飽和壓力下，處於剛剛開始汽化的狀態的液體。
• 飽和蒸汽 (Saturated Vapor)： 在飽和壓力下，處於剛剛開始冷凝的狀態的蒸汽。
• 飽和混合物 (Saturated Mixture)： 在飽和壓力下，液體和蒸汽共存的狀態（包含飽和液體和飽和蒸汽）。
• 壓縮液體 (Compressed Liquid)： 在給定溫度下，其壓力高於該溫度的飽和壓力時的液體狀態。或者說，在給定壓力下，其溫度低於該壓力的飽和溫度時的液體狀態。
• 過熱蒸汽 (Superheated Vapor)： 在給定壓力下，其溫度高於該壓力的飽和溫度時的蒸汽狀態。

已知條件：

• 水在 20°C 的飽和壓力 $p_{sat}(20°C) = 2.34$ kPa。
• 容器中的水狀態：溫度 $T = 20$°C，壓力 $p = 3$ kPa。
• 容器是剛性的，意味著體積固定。

本題考驗應用熱力學第一定律於穩定流系統（steady-flow system）的能量方程，以計算壓縮所需的功率輸入。

核心觀念：

• 穩定流能量方程 (Steady-flow Energy Equation, SFEE)：
  對於一個穩定流系統，在忽略動能和位能變化時，能量方程可以寫成：
  $\dot{Q}_{in} + \dot{W}_{in} + \sum_{in} \dot{m} (h + \frac{V^2}{2} + gz) = \sum_{out} \dot{m} (h + \frac{V^2}{2} + gz)$
  若忽略動能 (KE) 和位能 (PE) 的變化，則簡化為：
  $\dot{Q}_{in} + \dot{W}_{in} + \dot{m} h_{in} = \dot{m} h_{out}$
  或者，針對單位質量的流體（除以 $\dot{m}$）：
  $q_{in} + w_{in} + h_{in} = h_{out}$
  其中 $q_{in}$ 是單位質量的熱量輸入，$w_{in}$ 是單位質量的功輸入，$h$ 是比焓。
  重新整理得：
  $w_{in} = (h_{out} - h_{in}) - q_{in}$
  我們需要計算的是「輸入的功率」(power input)，即 $\dot{W}_{in}$。

• 焓的變化： 對於理想氣體，焓的變化可以通過比熱計算：
  $\Delta h = h_{out} - h_{in} = c_p (T_{out} - T_{in})$

• 功率 (Power)： 功率是功的變化率，即 $\dot{W} = \dot{m} \times w$，其中 $\dot{m}$ 是質量流率。

已知條件：

• 入口狀態 (in)：$p_{in} = 120$ kPa, $T_{in} = 310$ K
• 出口狀態 (out)：$p_{out} = 700$ kPa, $T_{out} = 430$ K
• 熱量損失 (Heat loss)：$\dot{Q}_{loss} = 20$ kJ/kg。這表示進入系統的熱量 $\dot{Q}_{in} = -\dot{Q}_{loss} = -20$ kJ/kg (因為是損失，所以是負值)。
• 質量流率：$\dot{m} = 90$ kg/min
• 氦氣的定壓比熱：$c_p = 5.1926$ kJ/kg·K
• 忽略動能和位能變化。

計算步驟：