108 年國立中央大學能源工程研究所《工程數學》考古題與詳解

Question 1

1. (a) Find the solution for the following ordinary differential equations (ODEs): (i) $y y'' = 3y'^2$ (5%) (ii) $x^2y'' - xy' + y = 0$, $y(1) = 1.5$, $y'(1) = 0.25$ (5%) (iii) Solve the following integration equation by the Laplace transform, $y(t) + 4 \int{0}^{t} y(	au)(t-	au)d	au = 2t$ (5%) (b) Referring to the following figure, find the steady-state current in the RLC-circuit when $R = 50 \Omega$, $L = 30 H$, $C = 0.025 F$, and $E = 200 \sin 4t V$. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (10%)

Accepted Answer

(a)(i) 非線性二階微分方程 核心觀念： 方程只含 $y$、$y'$、$y''$，且沒有明確出現自變數 $x$，可令 $p(y)=y'$，利用 $$ y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} =p\frac{dp}{dy}. $$ 解題方法： 對非零解代入 $y''=p\,dp/dy$： $$ yp\frac{dp}{dy}=3p^2. $$ 若 $p
e 0$，除以 $p$，得 $$ y\frac{dp}{dy}=3p, \qquad \frac{dp}{p}=3\frac{dy}{y}. $$ 積分可得 $p=Cy^3$，因此 $$ \frac{dy}{dx}=Cy^3, \qquad y^{-3}dy=C\,dx. $$ 再積分： $$ -\frac{1}{2y^2}=Cx+D. $$ 將常數合併，可寫成 $$ y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C1x+C2}}. $$ 此解族包含非零常數解；另外，除法時排除的 $p=0$ 也給出常數解，$y\equiv 0$ 須另列。 解題技巧： 將 $y'$ 視為 $y$ 的函數後，記得用鏈鎖律 $y''=p\,dp/dy$。除以 $p$ 或 $y$ 前，也要將被排除的解另外檢查。 【答案】 $$ y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C1x+C2}} \quad	ext{或}\quad y(x)\equiv 0, $$ 其中解的定義區間須使 $C1x+C20$。 (a)(ii) 歐拉－柯西方程 核心觀念： 方程 $x^2y''+axy'+by=0$ 是歐拉－柯西方程，可設 $y=x^m$ 求特徵方程。本題初始條件給在 $x=1$，考慮 $x0$。 解題方法： 令 $y=x^m$，代入 $$ x^2y''-xy'+y=0, $$ 得到特徵方程 $$ m(m-1)-m+1=0, \qquad (m-1)^2=0. $$ 重根 $m=1$ 對應的通解為 $$ y=x(C1+C2\ln x). $$ 微分得 $$ y'=C1+C2(\ln x+1). $$ 套用 $y(1)=1.5$、$y'(1)=0.25$： $$ C1=1.5, \qquad C1+C2=0.25, $$ 所以 $C2=-1.25$。 解題技巧： 歐拉－柯西方程遇到重根 $m$ 時，第二個獨立解為 $x^m\ln x$。 【答案】 $$ y(x)=x\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{4}\ln xight), \qquad x0. $$ (a)(iii) 拉普拉斯轉換解積分方程

Question 2

2. A function $f(t)$ is defined as: $f(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ 1, & 0 \le t \le 3 \ 0, & 3 < t \end{cases}$ (a) Please write the Laplace transformation form of $f(t)$ as $F(s)$. (10%) (b) If $g(t) = 2e^{-2t}$, for $t \ge 0$, please find $h(t)$ for $t \ge 0$, where $h(t) = \int{0}^{\infty} g(t-	au) f(	au)d	au$ (15%)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形脈衝函數的拉普拉斯轉換，以及因果函數的卷積。拉普拉斯轉換定義為 $$ \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int0^\infty e^{-st}f(t)\,dt. $$ 卷積定理指出，若 $h(t)=(gf)(t)$，則 $$ \mathcal{L}\{h(t)\}=G(s)F(s). $$ 題目給定 $g(t)=2e^{-2t}$ 的範圍為 $t\geq 0$，因此計算卷積時，將其視為因果函數：當輸入時間小於 $0$ 時，$g(t)=0$。 解題方法 (a) 求 $F(s)$ 因為 $f(t)$ 在 $0\leq t\leq 3$ 時為 $1$，其餘時間為 $0$，依定義只需在非零區間積分： $$ F(s)=\int0^3 e^{-st}\,dt =\left[-\frac{e^{-st}}{s}ight]0^3 =\frac{1-e^{-3s}}{s}. $$ (b) 求 $h(t)$ 由卷積定義， $$ h(t)=\int0^\infty g(t-	au)f(	au)\,d	au. $$ 因為 $f(	au)$ 只在 $0\leq 	au\leq 3$ 非零，且因果函數 $g(t-	au)$ 在 $t-	au<0$ 時為零，所以有效積分範圍是 $0\leq 	au\leq \min(t,3)$。因此分兩段計算。 當 $0\leq t\leq 3$ 時，

Question 3

3. (a) At the beginning ($t = 0$), we struck a string of length $L$ by a flat hammer of width $2d$ centred at the point $\xi$, having velocity $v$, with the wave speed $c$. Could you please describe the ensuing motion of the string? (5%) (b) Suppose the hammer is curved, rather than flat as above, so that the initial velocity distribution is demonstrated in the following, $ut(x, 0) = \begin{cases} v \cos\left(\frac{\pi(x - \xi)}{2d}ight), & |x - \xi| < d \ 0, & |x - \xi| d \end{cases}$ Please find the ensuing motion. (10%) (c) Compare the kinetic energies of each harmonic in the two solutions. Where should the string be struck in order to maximise the energy in the $n^{th}$ harmonic in each case? (10%)

Accepted Answer

核心觀念 以下假設弦長為 $L$、兩端固定，弦的線密度為 $\mu$、波速為 $c$，且打擊區完全落在弦上，即 $d\le \xi\le L-d$。弦的初始位移為零，錘擊造成的初始速度分布為 $g(x)=ut(x,0)$。 固定端弦的振動方程與正弦模態為 $$ u{tt}=c^2u{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0,\qquad kn=\frac{n\pi}{L},\quad \omegan=ckn. $$ 將初始速度展開成正弦級數： $$ g(x)=\sum{n=1}^{\infty}bn\sin(knx),\qquad bn=\frac{2}{L}\int0^L g(x)\sin(knx)\,dx. $$ 因初始位移為零，各模態的振動解可寫成 $$ u(x,t)=\sum{n=1}^{\infty}\frac{bn}{\omegan} \sin(knx)\sin(\omegant). $$ (a) 平錘打擊 平錘在寬度 $2d$ 的區域內給弦相同的初始速度 $v$： $$ g(x)= \begin{cases} v,&\xi-d<x<\xi+d,\ 0,&\text{其他位置}. \end{cases} $$ 第 $n$ 個模態的初始速度係數為 $$ \begin{aligned} bn &=\frac{2v}{L}\int{\xi-d}^{\xi+d}\sin(knx)\,dx\ &=\frac{4v}{Lkn}\sin(knd)\sin(kn\xi). \end{aligned} $$ 因此弦的運動為 $$ u{\mathrm{平}}(x,t) =\sum{n=1}^{\infty} \frac{4v}{Lckn^2}\sin(knd)\sin(kn\xi) \sin(knx)\sin(cknt). $$ 代入 $kn=n\pi/L$，也可寫成 $$ u{\mathrm{平}}(x,t) =\sum{n=1}^{\infty} \frac{4vL}{c\pi^2n^2} \sin\left(\frac{n\pi d}{L}\right) \sin\left(\frac{n\pi \xi}{L}\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n\pi ct}{L}\right). $$ (b) 曲錘打擊 令 $$ g(x)= \begin{cases} v\cos\left(\dfrac{\pi(x-\xi)}{2d}\right),&|x-\xi|<d,\[4pt] 0,&|x-\xi|d, \end{cases} \qquad \alpha=\frac{\pi}{2d}. $$ 利用 $y=x-\xi$，以及奇偶性，可得 $$ \begin{aligned…

Question 4

4. (a) The temperature in a rectangular box can be approximated by $T(x, y, z) = xyz(1 - x)(2 - y)(3 - z)$, $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 3$. If a mosquito is located at $(1/2, 1, 1)$, in which direction should it fly to cool off as rapidly as possible? Hint: evaluate the gradient of $T(x, y, z)$ (10%) (b) Please diagonalize the matrix, $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}$ by evaluating both eigenvalues and eigenvectors (8%); Please also evaluate $A^{10}$ (7%)

Accepted Answer

(a) 蚊子最快降溫的方向 核心觀念： 溫度上升最快的方向是梯度 $
abla T$；溫度下降最快的方向則是負梯度 $-
abla T$。若要給出單位方向，使用 $-
abla T/\|
abla T\|$。 解題方法： 將溫度函數對 $x,y,z$ 分別偏微分，再代入蚊子的位置 $(\frac12,1,1)$。 $$ T(x,y,z)=xyz(1-x)(2-y)(3-z) $$ $$ \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x} &=yz(2-y)(3-z)(1-2x),\ \frac{\partial T}{\partial y} &=xz(1-x)(3-z)(2-2y),\ \frac{\partial T}{\partial z} &=xy(1-x)(2-y)(3-2z). \end{aligned} $$ 代入 $(x,y,z)=(\frac12,1,1)$： $$ 
abla T\left(\frac12,1,1ight) = \left(0,\,0,\,\frac14ight). $$ 因此最快降溫方向為負梯度方向： $$ -
abla T\left(\frac12,1,1ight) = \left(0,\,0,\,-\frac14ight). $$ 將方向向量單位化後，得到 $(0,0,-1)$，也就是沿著 $z$ 軸負方向飛行。 解題技巧： 梯度的大小表示該點溫度變化率的最大值，梯度方向是升溫最快的方向；題目問最快降溫時，方向要取負梯度。此處 $z=1$，沿負 $z$ 方向仍在題目給定的範圍 $0\le z\le3$ 內。 (b) 矩陣對角化與計算 $A^{10}$ 核心觀念： 若矩陣有一組線性獨立的特徵向量組成矩陣 $P$，則可對角化為 $A=PDP^{-1}$，其中 $D$ 的對角元素是對應的特徵值。此時 $A^n=PD^nP^{-1}$。 解題方法： 先解特徵方程 $\det(A-\lambda I)=0$，再求各特徵值對應的特徵向量。 $$ A-\lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&0\ 1&1-\lambda&0\ 0&0&-4-\lambda \end{bmatrix} $$ $$ \det(A-\lambda I) =(-4-\lambda)\big((1-\lambda)^2-1\big) =(-4-\lambda)\lambda(\lambda-2). $$

108 年國立中央大學能源工程研究所《工程數學》

第 1 題

(a)(i) 非線性二階微分方程

(a)(ii) 歐拉－柯西方程

(a)(iii) 拉普拉斯轉換解積分方程

第 2 題

第 3 題

第 4 題

(a) 蚊子最快降溫的方向

(b) 矩陣對角化與計算 $A^{10}$

其他考古題

108 年中央大學的其他科目

中央大學《工程數學》其他年度

其他學校的工程科學與其他考古題

108 年 國立中央大學能源工程研究所《工程數學》