108 年 國立中山大學海洋環境及工程學系碩士班丙組《統計學》

此題旨在考察學生對統計學中兩種基本研究設計方法的理解，即觀察型研究與實驗型研究。

觀察型研究 (Observational Study)：
在觀察型研究中，研究者僅觀察並測量感興趣的變數，而不對研究對象進行任何干預或控制。研究者被動地收集數據，試圖找出變數之間的關聯性。此類研究的優點是可以在不干預的情況下研究現象，缺點是難以確定因果關係，因為可能存在潛在的混淆變數。

此題考查二項實驗的定義與二項分配與常態分配的關係。

二項實驗 (Binomial Experiment) 的四種條件：
一個實驗若要滿足二項實驗的條件，必須符合以下四點：

1. 固定試驗次數 (Fixed number of trials)：實驗包含一系列固定次數的試驗，通常以 $n$ 表示。
2. 兩種類型的結果 (Two types of outcomes)：每次試驗只有兩種可能結果，通常稱為「成功」(success) 和「失敗」(failure)。
3. 獨立試驗 (Independent trials)：每次試驗的結果與其他試驗的結果是相互獨立的。
4. 固定成功機率 (Constant probability of success)：每次試驗中「成功」的機率是固定的，通常以 $p$ 表示，而「失敗」的機率則為 $1-p$。

此題考查區間估計相較於點估計的優勢，以及信賴區間與假設檢定的關聯。

為何參數的「區間估計」比「點估計」更加客觀：

• 點估計 (Point Estimation)：點估計是用一個單一的數值來估計母體參數。例如，用樣本平均數 $\bar{X}$ 來估計母體平均數 $\mu$。點估計的優點是簡單直接，但它有一個很大的缺點：幾乎不可能恰好等於真實的母體參數。任何一個單一的數值，都有可能與真實參數有偏差，而且我們無法得知這個偏差的大小。

• 區間估計 (Interval Estimation)：區間估計是用一個數值區間來估計母體參數，並給出這個區間包含真實參數的機率（即信賴水準）。例如，我們可以說「我們有 95% 的信心，母體平均數 $\mu$ 落在 $(\bar{X}-c, \bar{X}+c)$ 這個區間內」。

  • 客觀性：區間估計比點估計更「客觀」或更「誠實」的原因在於，它承認估計的不確定性。它沒有聲稱一個單一的數值就是真實的參數，而是提供了一個範圍，並量化了我們對這個範圍包含真實參數的信心程度。這比單純給出一個可能不準確的點估計更有信息量，也更能反映真實情況。
  • 包含真實值：區間估計的設計目標是，在多次重複抽樣的情況下，有一定比例（即信賴水準）的區間會包含真實的母體參數。這使得區間估計能夠提供一個關於真實參數可能位置的更可靠範圍。

「信賴區間」與「假設檢定」之間的關係：
信賴區間和假設檢定是統計推論的兩種主要方法，它們在概念上是緊密相關的，並且可以相互轉換。

此題考查學生對迴歸分析中變異數分解的理解，以及變異數與相關係數之間的關係。

迴歸模型中的變異：

在迴歸分析中，我們試圖用一個或多個自變數 (predictors) 來解釋應變數 (response variable) 的變異。總變異是應變數的總體變異量，而迴歸模型則將這個總變異分解為兩個部分：可解釋變異和無法解釋變異。

1. 總變異 (Total Variation, SST)：
   總變異衡量了應變數的觀測值相對於其平均數的總離散程度。它代表了應變數未經模型解釋的總體變異。
   數學上，總變異定義為：
   $SST = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$
   其中 $Y_i$ 是第 $i$ 個觀測值的應變數，$\bar{Y}$ 是應變數的樣本平均數，$n$ 是觀測值的數量。

2. 可解釋變異 (Explained Variation, SSR 或 SSE)：
   可解釋變異（也稱為迴歸變異或模型變異）衡量了迴歸模型能夠解釋的應變數的變異量。它代表了自變數的變化所導致的應變數變化的部分。
   在簡單線性迴歸中，可解釋變異是迴歸線上的預測值 $\hat{Y}_i$ 相對於應變數平均數 $\bar{Y}$ 的離差平方和。
   $SSR = \sum_{i=1}^{n} (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$
   其中 $\hat{Y}_i$ 是迴歸模型預測的第 $i$ 個應變數值。

3. 無法解釋變異 (Unexplained Variation, SSE 或 RSE)：
   無法解釋變異（也稱為殘差變異或誤差變異）衡量了迴歸模型未能解釋的應變數的變異量。它代表了由於隨機因素、未包含在模型中的其他變數，或模型本身的不完美性而導致的應變數的變異。

此題考查學生對二項分配和常態分配的應用能力。

(a) 二項分配應用

題目要求計算隨機挑選 60 位美國公民時，預期有多少位是在美國出生的，以及在外國出生人數的平均數和標準差。

這是一個典型的二項分配問題，因為：

1. 有固定的試驗次數：$n = 60$ (挑選 60 位美國公民)。
2. 每次試驗有兩種結果：在美國出生 (成功) 或在外國出生 (失敗)。
3. 每次試驗是獨立的（假設抽樣是隨機且足夠大的母體）。
4. 每次試驗成功的機率是固定的：題目給的是「在外國出生的美國公民比例是 12.2%」。因此，我們需要的是「在美國出生的美國公民比例」。
   設 $p_{in}$ 為在美國出生的機率，$p_{out}$ 為在外國出生的機率。
   $p_{out} = 0.122$
   因此，$p_{in} = 1 - p_{out} = 1 - 0.122 = 0.878$。

題目實際詢問的是「預期會有幾位是在美國出生的」，以及「在外國出生人數的平均數、與標準差」。
我們需要明確是計算「在美國出生的人數」還是「在外國出生的人數」。
從題意「預期會有幾位是在美國出生的?」來看，我們應以「在美國出生」作為成功。
然而，後續又問「求出在外國出生人數的平均數、與標準差」。這表示我們應該將「在外國出生」定義為成功，因為題目明確要求的是「在外國出生人數」的統計量。

我們重新定義：
Let $X$ be the number of US citizens born outside the US among the 60 selected.
The probability of a US citizen being born outside the US is $p = 0.122$.
The number of trials is $n = 60$.
So, $X \sim Binomial(n=60, p=0.122)$.

• 預期在外國出生的人數 (平均數)：
  對於二項分配，平均數 (期望值) 為 $E(X) = np$。
  $E(X) = 60 \times 0.122 = 7.32$

  所以，預期會有 7.32 位是在外國出生的。

• 在外國出生人數的標準差：
  對於二項分配，標準差為 $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$。
  $1-p = 1 - 0.122 = 0.878$
  $\sigma = \sqrt{60 \times 0.122 \times 0.878} = \sqrt{7.32 \times 0.878} = \sqrt{6.4270} \approx 2.535$

  所以，在外國出生人數的標準差約為 2.535。

【答案】
預期在外國出生的人數為 7.32 位。
在外國出生人數的平均數為 7.32。
在外國出生人數的標準差約為 2.535。

(b) 常態分配應用

題目要求計算隨機挑選 15 位已開發國家樣本時，其平均用水量介於 120 到 126 加侖之間的機率。已知母體平均數和標準差，且假設用水量服從常態分配。

此題考查學生在已知樣本數據的情況下，計算信賴區間以及進行假設檢定的能力。

(a) 信賴區間計算

題目要求在 95% 的信心水準下，估計 15 家公司平均股價。這是一個關於母體平均數的信賴區間估計問題。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 15$
• 樣本資料：41.53, 19.83, 15.18, 50.4, 29.97, 58.42, 21.63, 121.17, 5.49, 54.87, 13.1, 87.78, 19.32, 54.83, 13.89
• 信心水準 = 95%

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本大小 $n=15$ 較小（通常 $n < 30$ 時視為小樣本），我們應使用 t-分布來構建信賴區間。

步驟 1：計算樣本平均數 ($\bar{x}$) 和樣本標準差 ($s$)

首先，我們需要計算樣本的平均數和標準差。
將所有數據加總：
$\sum x = 41.53 + 19.83 + 15.18 + 50.4 + 29.97 + 58.42 + 21.63 + 121.17 + 5.49 + 54.87 + 13.1 + 87.78 + 19.32 + 54.83 + 13.89 = 587.41$

樣本平均數：
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{587.41}{15} \approx 39.1607$

計算樣本標準差 $s$：
首先計算樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$。
我們可以先計算 $\sum x^2$：
$\sum x^2 = 41.53^2 + 19.83^2 + 15.18^2 + 50.4^2 + 29.97^2 + 58.42^2 + 21.63^2 + 121.17^2 + 5.49^2 + 54.87^2 + 13.1^2 + 87.78^2 + 19.32^2 + 54.83^2 + 13.89^2$
$\sum x^2 \approx 1724.72 + 393.23 + 230.43 + 2540.16 + 898.20 + 3412.84 + 467.86 + 14681.71 + 30.14 + 3010.72 + 171.61 + 7705.13 + 373.26 + 3006.32 + 192.93 = 39749.28$

樣本變異數：
$s^2 = \frac{\sum x^2 - n\bar{x}^2}{n-1} = \frac{39749.28 - 15 \times (39.1607)^2}{15-1}$
$s^2 = \frac{39749.28 - 15 \times 1533.55}{14} = \frac{39749.28 - 23003.25}{14} = \frac{16746.03}{14} \approx 1196.145$

樣本標準差：
$s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{1196.145} \approx 34.585$

步驟 2：確定 t 分配的臨界值

信心水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
由於是雙尾信賴區間，我們需要 $\alpha/2 = 0.025$ 的尾機率。
自由度 $df = n-1 = 15-1 = 14$。
查 t 分配表，在 $df=14$ 和尾機率 0.025 下，臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 14} \approx 2.145$。

步驟 3：計算信賴區間

此題考查學生計算相關係數、進行相關性檢定以及建立迴歸直線並進行預測的能力。

首先，我們需要整理數據並計算所需的總和。
樣本大小 $n=6$。
數據如下：
X (畢業年數): 1, 5, 3, 10, 7, 6
Y (捐款金額): 500, 100, 300, 50, 75, 80

計算相關的總和：
$\sum X = 1 + 5 + 3 + 10 + 7 + 6 = 32$
$\sum Y = 500 + 100 + 300 + 50 + 75 + 80 = 1105$
$\sum X^2 = 1^2 + 5^2 + 3^2 + 10^2 + 7^2 + 6^2 = 1 + 25 + 9 + 100 + 49 + 36 = 220$
$\sum Y^2 = 500^2 + 100^2 + 300^2 + 50^2 + 75^2 + 80^2 = 250000 + 10000 + 90000 + 2500 + 5625 + 6400 = 364525$
$\sum XY = (1 \times 500) + (5 \times 100) + (3 \times 300) + (10 \times 50) + (7 \times 75) + (6 \times 80)$
$\sum XY = 500 + 500 + 900 + 500 + 525 + 480 = 3405$

(a) 相關係數、決定係數與無決定係數

• 相關係數 $r$：
  公式：$r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2][n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}}$
  $n=6$
  分子：$n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y) = 6(3405) - (32)(1105) = 20430 - 35360 = -14930$

  分母的平方根第一項：$n(\sum X^2) - (\sum X)^2 = 6(220) - (32)^2 = 1320 - 1024 = 296$
  分母的平方根第二項：$n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2 = 6(364525) - (1105)^2 = 2187150 - 1221025 = 966125$

  分母：$\sqrt{296 \times 966125} = \sqrt{286173000} \approx 16916.65$

  $r = \frac{-14930}{16916.65} \approx -0.8826$

• 決定係數 $R^2$：
  決定係數是相關係數的平方。
  $R^2 = r^2 = (-0.8826)^2 \approx 0.7790$

• 無決定係數 (Unexplained Variation Proportion)：
  無決定係數是指模型未能解釋的變異比例，它等於 $1 - R^2$。
  無決定係數 $= 1 - R^2 = 1 - 0.7790 = 0.2210$

【答案】
相關係數 $r \approx -0.8826$。
決定係數 $R^2 \approx 0.7790$。
無決定係數 $\approx 0.2210$。

(b) 相關性檢定

題目要求在 $\alpha = 0.05$ 下，檢定數據是否線性相關。使用 $t$ 檢定。

• 假設：
  • $H_0: \rho = 0$ (母體相關係數為 0，即無線性相關)
  • $H_1: \rho \ne 0$ (母體相關係數不為 0，即存在線性相關)
    這是雙尾檢定。