109 年 國立中山大學海洋環境及工程學系碩士班丙組《統計學》

本題考查敘述統計學的應用。敘述統計學主要用於整理、描述和呈現資料的特性，例如集中趨勢、離散程度、分佈形狀等，而不涉及推論。

解題思路：
首先，需要選擇一個具體的環境污染案例。例如，某地區的空氣品質監測數據。
接著，說明需要蒐集哪些資料，例如：PM2.5濃度、SO2濃度、NO2濃度、O3濃度、氣象數據（溫度、濕度、風速）等，並說明資料的來源（如環保局監測站）。
然後，闡述可以採用的敘述統計分析方法，例如：

1. 集中趨勢測量：計算每日、每月、每年的平均濃度（均值）、中位數（中位數），以及眾數（眾數），以了解污染物的典型水平。
2. 離散程度測量：計算標準差（標準差）、變異數（變異數）、極差（極差），以了解污染濃度的波動程度。例如，標準差大表示污染變化劇烈。
3. 分佈形狀測量：繪製直方圖（直方圖）或盒狀圖（盒狀圖），觀察污染濃度的分佈是接近常態分佈（常態分佈）、偏態分佈（偏態分佈），還是呈現多峰（多峰）現象。計算偏度（偏度）和峰度（峰度）等統計量。
4. 資料呈現：製作趨勢圖（趨勢圖），顯示污染物濃度隨時間的變化；製作散佈圖（散佈圖），探討不同污染物之間或污染物與氣象因素之間的關係。
   最後，說明這些敘述統計分析結果如何幫助解決問題。例如：

• 平均濃度和中位數可以作為評估空氣品質是否符合國家標準的依據。
• 標準差和極差可以幫助識別污染事件的高峰期和低谷期，以便制定相應的應對措施。
• 分佈圖可以揭示污染物的排放特徵，例如，如果PM2.5濃度呈現右偏態分佈，可能意味著偶爾會出現非常高的污染峰值。
• 趨勢分析可以監測長期的污染變化趨勢，評估環保政策的效果。
• 污染物之間的關係分析，可以幫助找出主要的污染源。

不需要提供具體的數字計算，重點在於概念的闡述和方法的應用。

本題考查推論統計學的應用。推論統計學是利用樣本數據來推斷母體（母體）特徵的學科，常用於假設檢定（假設檢定）和信賴區間估計（信賴區間估計）。

解題思路：
首先，同樣需要選擇一個具體的環境污染案例。例如，評估某種新型環保材料對降低土壤污染物（如重金屬鉛）的影響。
接著，說明需要蒐集哪些資料，並強調樣本（樣本）和母體的概念。例如：

• 母體：所有使用該新型環保材料處理過的土壤，以及未處理過的土壤。
• 樣本：隨機抽取一定數量的土壤樣本，一部分經過處理，一部分未處理。
• 蒐集資料：測量處理過的樣本和未處理的樣本中鉛的平均含量（或比例）。

然後，闡述可以採用的推論統計分析方法，例如：

1. 假設檢定：

   • 目的：檢定新型環保材料是否顯著降低了土壤中鉛的含量。
   • 設定假設：
     • 虛無假設 ($H_0$)：新型環保材料對土壤鉛含量沒有影響（或平均含量相同）。
     • 對立假設 ($H_1$)：新型環保材料顯著降低了土壤鉛含量（或平均含量較低）。
   • 採用的檢定方法：
     • 如果比較兩組獨立樣本的平均值，可以使用獨立樣本 t 檢定 (independent samples t-test)。
     • 如果比較兩組配對樣本（例如，同一地點處理前後的土壤），則使用配對樣本 t 檢定 (paired samples t-test)。
     • 如果樣本量很大，或數據服從常態分佈，也可以考慮 Z 檢定。
   • 分析步驟：計算檢定統計量（檢定統計量），並與臨界值（臨界值）比較，或計算 p 值（p-value）。
   • 結論：根據顯著水準（顯著水準, $\alpha$），決定是否拒絕虛無假設。

2. 信賴區間估計：

   • 目的：估計新型環保材料處理後，土壤鉛含量降低的平均幅度。
   • 方法：計算樣本均值差的信賴區間（confidence interval）。
   • 解釋：例如，計算出95%信賴區間為 (0.5 mg/kg, 1.2 mg/kg)，表示我們有95%的信心認為，該材料能夠使土壤鉛含量平均降低0.5到1.2 mg/kg。

最後，說明這些推論統計分析結果如何幫助解決問題：

• 決策依據：假設檢定的結果（例如，拒絕 $H_0$）可以提供科學依據，證明新型環保材料的有效性，進而決定是否推廣使用。
• 效果量評估：信賴區間提供了對環保材料效果的量化估計，可以評估其經濟效益和實際應用價值。
• 風險評估：通過信賴區間，可以了解效果的變動範圍，進而評估推廣應用可能帶來的風險。
• 科學驗證：推論統計方法能夠提供統計上的證據，支持環保技術的科學性和可靠性。

同樣，不需要提供具體的數字計算，重點在於概念的闡述和方法的應用。

本題考查機率的基本概念，包含邊際機率、條件機率以及聯合機率的計算與應用。

首先，我們整理一下題目給出的數據。總人數為 100 位民眾。
表格數據如下：

每天飲用次數 (X)	胃潰瘍 (Y=1)	無胃潰瘍 (Y=0)	小計
0	1	22	23
1	3	19	22
2	3	32	35
>2	4	16	20
總計	11	89	100

注意： 題目中的「胃潰瘍」人數加總為 1+3+3+4 = 11 人。
「無胃潰瘍」人數加總為 22+19+32+16 = 89 人。
總人數為 11 + 89 = 100 人。

(a) (3%) 民眾有胃潰瘍的比例?
這是計算母體的比例，直接從總計列可以得到。
有胃潰瘍的人數為 11 人。
總人數為 100 人。
比例 = (有胃潰瘍人數) / (總人數)

計算：
比例 = $11 / 100 = 0.11$

【答案】0.11 (或 11%)

(b) (4%) 已知某人患有胃潰瘍,但是他不喝酒的機率為何?
這是一個條件機率問題。我們已知某人患有胃潰瘍 (Y=1)，要求他在這種情況下，每天飲用次數為 0 的機率。
我們需要計算 $P(X=0 | Y=1)$。
根據條件機率的定義：$P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$。
在這裡，$A$ 是事件「每天飲用次數為 0」(X=0)，$B$ 是事件「患有胃潰瘍」(Y=1)。
$P(X=0 | Y=1) = P(X=0 \cap Y=1) / P(Y=1)$。

• $P(Y=1)$ 是民眾有胃潰瘍的機率，我們在 (a) 小題已經計算出來，為 0.11。
• $P(X=0 \cap Y=1)$ 是「每天飲用次數為 0」且「患有胃潰瘍」的聯合機率。從表格中，符合這個條件的人數是 1 人。
  所以，$P(X=0 \cap Y=1) = 1 / 100 = 0.01$。

計算：
$P(X=0 | Y=1) = 0.01 / 0.11 = 1 / 11$

$1 / 11 \approx 0.0909$

【答案】$1/11$ 或約 0.0909

(c) (8%) 每天飲用次數對應沒有胃潰瘍的機率為何?從答案可以看出什麼結論嗎?
這題要求計算不同飲酒次數下，沒有胃潰瘍的機率。這實際上是計算 $P(Y=0 | X=x)$ 對於不同的 $x$ 值。
這裡的 $x$ 是「每天飲用次數」。
我們要計算：

• $P(Y=0 | X=0)$
• $P(Y=0 | X=1)$
• $P(Y=0 | X=2)$
• $P(Y=0 | X>2)$

根據條件機率的定義：$P(Y=0 | X=x) = P(Y=0 \cap X=x) / P(X=x)$。
或者，更直接地，根據表格中的小計（列），我們可以計算：
$P(Y=0 | X=0) = (\text{無胃潰瘍且飲用次數為0的人數}) / (\text{飲用次數為0的總人數})$

本題考查二項分佈 (Binomial Distribution) 的概念與應用。二項分佈適用於描述獨立的、只有兩種結果（成功/失敗）的重複試驗。

此情境符合二項分佈的條件：

1. 有固定的試驗次數：共 10 題選擇題，即 $n = 10$。
2. 每次試驗有兩種結果：答對（成功）或答錯（失敗）。
3. 每次試驗成功的機率是獨立且相同的。
4. 我們關心的是成功的次數。

(a) (3%) 每一題大雄猜中正確答案的機率為何?
每一題有 5 個選項，只有 1 個是正確的。因此，隨機猜中正確答案的機率是：
$p = 1 / 5 = 0.2$

答錯的機率為 $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$。

【答案】0.2

(b) (4%) 大雄答對兩題的機率為何?
這是在 10 次獨立試驗中，成功（答對）2 次的機率。
使用二項分佈的機率質量函數 (PMF)：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
其中：

• $n = 10$ (試驗次數)
• $k = 2$ (成功的次數)
• $p = 0.2$ (成功的機率)
• $q = 0.8$ (失敗的機率)

計算：
$P(X=2) = \binom{10}{2} (0.2)^2 (0.8)^{10-2}$
$P(X=2) = \binom{10}{2} (0.2)^2 (0.8)^8$

首先計算組合數 $\binom{10}{2}$:
$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

本題考查假設檢定與信賴區間的應用，涉及單一樣本平均值檢定。題目已知母體標準差，因此應使用 Z 檢定。

核心觀念：

• 假設檢定：用於判斷樣本數據是否足以支持對母體參數的某種聲明（假設）。
• 信賴區間：提供母體參數可能範圍的估計。

已知資訊：

• 原先葉子長度母體平均值 $\mu_0 = 4$ 公分。
• 原先葉子長度母體標準差 $\sigma = 0.6$ 公分。
• 新肥料處理後，樣本大小 $n = 20$ 片葉子。
• 樣本平均長度 $\bar{x} = 4.2$ 公分。
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$。

檢定問題： 農夫「有理由相信，新肥料造成葉子成長改變嗎？」
這句話意味著我們需要檢定母體平均值是否與原先不同，即平均值是否發生了變化，而不是僅僅增加或減少。因此，這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)。

虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：

• $H_0: \mu = \mu_0 = 4$ (新肥料對葉子平均長度沒有改變)
• $H_1: \mu \neq \mu_0 = 4$ (新肥料對葉子平均長度有改變)

(a) (10%) 請使用顯著水準 $\alpha=0.01$ 與 P 值法進行檢定。

步驟 1：計算檢定統計量 (Z 統計量)
由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 檢定。
檢定統計量公式為：$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

計算：
$Z = \frac{4.2 - 4}{0.6 / \sqrt{20}}$
$Z = \frac{0.2}{0.6 / \sqrt{20}}$

首先計算 $\sqrt{20}$:
$\sqrt{20} \approx 4.4721$

然後計算標準誤 (Standard Error, SE):
$SE = \sigma/\sqrt{n} = 0.6 / \sqrt{20} \approx 0.6 / 4.4721 \approx 0.13416$

現在計算 Z 值：
$Z = \frac{0.2}{0.13416} \approx 1.4907$

步驟 2：計算 P 值
P 值是觀察到樣本統計量（或更極端）的機率，假設虛無假設為真。
由於是雙尾檢定，$P\text{-value} = P(|Z| \ge |z_{\text{observed}}|) = 2 \times P(Z \ge |z_{\text{observed}}|)$
我們的觀察值是 $Z \approx 1.4907$。

我們要計算 $P(|Z| \ge 1.4907) = 2 \times P(Z \ge 1.4907)$。
查閱標準常態分配表 (Z-table)。標準常態分配表通常給出 $P(Z \le z)$ 或 $P(Z \ge z)$。
查表可得 $P(Z \le 1.49) \approx 0.9319$。
因此，$P(Z \ge 1.49) = 1 - P(Z \le 1.49) \approx 1 - 0.9319 = 0.0681$。
(更精確的查表或使用軟體，對於 Z=1.4907， $P(Z \ge 1.4907) \approx 0.0680$)

本題考查配對樣本 t 檢定 (Paired t-test)。由於是同一組學生比較平日與週末的睡覺時間，這兩組數據是相關的（配對的），因此應使用配對樣本 t 檢定來判斷兩者平均值是否有顯著差異。

核心觀念：
配對樣本 t 檢定用於比較兩組相關樣本的平均值是否有顯著差異。

已知資訊：

• 樣本數 $n = 8$ (共 8 位學生)。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

數據整理：
首先，計算每位學生平日與週末睡覺時間的差值 ($d_i = \text{平日} - \text{周末}$ 或 $\text{周末} - \text{平日}$)。我們選擇計算 $d_i = \text{平日} - \text{周末}$。

學生	平日 (X)	周末 (Y)	差值 $d_i = X - Y$
1	8	4	4
2	5.5	7	-1.5
3	7.5	10.5	-3
4	8	12	-4
5	7	11	-4
6	6	9	-3
7	6	6	0
8	8	9	-1

虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
我們想知道「平均睡覺時間是否有差別」。這意味著我們檢定平日平均睡眠時間與週末平均睡眠時間是否相等。
令 $\mu_d$ 為平日與週末睡覺時間差值的母體平均數。

• $H_0: \mu_d = 0$ (平日與週末的平均睡覺時間沒有差異)
• $H_1: \mu_d \neq 0$ (平日與週末的平均睡覺時間有差異)

這是一個雙尾檢定。

步驟 1：計算差值的樣本平均數 ($\bar{d}$) 和樣本標準差 ($s_d$)

計算差值 $d_i$ 的平均數：
$\sum d_i = 4 + (-1.5) + (-3) + (-4) + (-4) + (-3) + 0 + (-1) = -12.5$
$\bar{d} = \sum d_i / n = -12.5 / 8 = -1.5625$

計算差值 $d_i$ 的樣本標準差 $s_d$：
首先計算差值的平方和 $SS_d = \sum (d_i - \bar{d})^2$。
$d_i - \bar{d}$:
4 - (-1.5625) = 5.5625
-1.5 - (-1.5625) = 0.0625
-3 - (-1.5625) = -1.4375
-4 - (-1.5625) = -2.4375
-4 - (-1.5625) = -2.4375
-3 - (-1.5625) = -1.4375
0 - (-1.5625) = 1.5625
-1 - (-1.5625) = 0.5625

$(d_i - \bar{d})^2$:
$5.5625^2 \approx 30.9414$
$0.0625^2 \approx 0.0039$
$(-1.4375)^2 \approx 2.0664$
$(-2.4375)^2 \approx 5.9414$