108 年 國立臺灣大學工業工程學研究所碩士班產業與服務系統工程組《作業研究》

核心觀念

本題考查線性規劃中的：

1. 變數尺度轉換：若令 $y_i=10x_i$，可將 LP2 轉換成 LP1。
2. 影子價格與對偶變數：最大化問題的限制式為「$\le$」、變數非負時，其對偶為最小化問題，對偶變數皆非負。
3. 強對偶定理：原問題與對偶問題的最佳目標值相等。
4. 最佳基底不變性：題目已知 $x_1,x_2$ 為兩個模型最佳解的基本變數，因此可直接利用尺度轉換求解。

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解題方法

令

$$y_1=10x_1,\qquad y_2=10x_2。$$

則 LP2 的目標式為

$$10c_1x_1+10c_2x_2 =c_1(10x_1)+c_2(10x_2) =c_1y_1+c_2y_2。$$

LP2 的限制式則變為

$$a_{11}y_1+a_{12}y_2\le b_1,$$ $$a_{21}y_1+a_{22}y_2\le b_2,$$

且 $y_1,y_2\ge 0$。

因此，以 $y_1,y_2$ 表示的 LP2，與 LP1 完全相同。已知 LP1 的最佳解為

$$y_1=30,\qquad y_2=300,\qquad z^*=330。$$

由 $y_i=10x_i$，可得 LP2 的最佳解。

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a. LP2 的最佳解與目標值

由

$$10x_1=30,\qquad 10x_2=300，$$

得到

$$x_1^*=3,\qquad x_2^*=30。$$

LP2 的最佳目標值為

$$\begin{aligned} z^* &=10c_1x_1^*+10c_2x_2^*\\ &=c_1(10x_1^*)+c_2(10x_2^*)\\ &=c_1(30)+c_2(300)\\ &=330。 \end{aligned}$$

所以：

$$\boxed{x_1^*=3,\quad x_2^*=30,\quad z^*=330}$$

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b. LP2 的對偶問題

LP2 為

$$\max\ z=10c_1x_1+10c_2x_2$$

subject to

$$10a_{11}x_1+10a_{12}x_2\le b_1,$$ $$10a_{21}x_1+10a_{22}x_2\le b_2,$$ $$x_1,x_2\ge 0。$$

對兩個限制式分別設對偶變數 $u_1,u_2$。依照最大化問題的對偶形式：

• 原問題限制式為 $\le$，故 $u_1,u_2\ge 0$；
• 原問題目標係數形成對偶限制式右側；
• 原問題限制式右側 $b_1,b_2$ 形成對偶目標式係數。

因此，LP2 的對偶問題為

$$\min\ w=b_1u_1+b_2u_2$$

subject to

$$10a_{11}u_1+10a_{21}u_2\ge 10c_1,$$

本題考查指派問題（Assignment Problem）的建立與匈牙利演算法（Hungarian Method）的應用。

核心觀念：

1. 指派問題的結構：一對一的指派，最小化總成本（或最大化總收益）。
2. 指派問題的建立：如何將供應鏈中的生產、需求與運輸成本轉換為指派問題的成本矩陣。
3. 匈牙利演算法：求解指派問題的標準演算法，包含降低成本矩陣、尋找零元素、涵蓋零元素、調整矩陣等步驟。

解題步驟：

a. 建立指派問題

首先，我們需要釐清問題中的「指派」是什麼。在這個問題中，我們有兩家製造商（M1, M2）和兩家零售商（R1, R2）。
M1 的產能是 2 個單位，M2 的產能是 3 個單位。總產能為 $2+3=5$ 個單位。
R1 的需求是 1 個單位，R2 的需求是 4 個單位。總需求為 $1+4=5$ 個單位。
總產能等於總需求，因此是一個平衡的指派問題。

我們需要將 M1 和 M2 的產出指派給 R1 和 R2，以最小化總運輸成本。
但是，M1 和 M2 的產能不同。M1 只能提供 2 個單位，M2 則可以提供 3 個單位。
R1 需要 1 個單位，R2 需要 4 個單位。

這是一個運輸問題（Transportation Problem）的變形，但題目要求我們將其「公式化為指派問題」。
標準的指派問題是將 $n$ 個工人指派給 $n$ 個任務，每個工人只能做一個任務，每個任務只能由一個工人做。

為了將此問題轉換為指派問題，我們需要讓「來源」和「目的」的數量相等，並且每個來源只能「發出」一次，每個目的只能「接收」一次。

由於 M1 的產能是 2，M2 的產能是 3，為了讓每個「單位產出」可以被獨立指派，我們需要將 M1 的產能分解成 2 個「來源點」，將 M2 的產能分解成 3 個「來源點」。
同樣地，R1 的需求是 1，R2 的需求是 4。為了讓每個「單位需求」可以被獨立接收，我們需要將 R1 的需求分解成 1 個「目的點」，將 R2 的需求分解成 4 個「目的點」。

然而，這會導致來源點和目的點數量不匹配。
來源點數量：M1_unit1, M1_unit2, M2_unit1, M2_unit2, M2_unit3 (共 5 個)
目的點數量：R1_unit1, R2_unit1, R2_unit2, R2_unit3, R2_unit4 (共 5 個)

這樣就可以建立一個 5x5 的成本矩陣。
成本矩陣的每一行代表一個「產出單位」，每一列代表一個「接收單位」。

成本定義：

• M1 供應 R1 的單位成本：3
• M1 供應 R2 的單位成本：1
• M2 供應 R1 的單位成本：2
• M2 供應 R2 的單位成本：3

建構 5x5 成本矩陣 C：

列（接收單位）：R1 (1 unit), R2 (4 units)
行（產出單位）：M1 (2 units), M2 (3 units)

為了讓矩陣是方陣，我們將 M1 的 2 個單位視為 M1a 和 M1b。將 M2 的 3 個單位視為 M2a, M2b, M2c。
我們將 R1 的 1 個單位視為 R1a。將 R2 的 4 個單位視為 R2a, R2b, R2c, R2d。

成本矩陣 C 的大小為 5x5。
行標示：M1a, M1b, M2a, M2b, M2c
列標示：R1a, R2a, R2b, R2c, R2d

成本 $C_{ij}$ 為從第 $i$ 個產出單位運送到第 $j$ 個接收單位的成本。

• M1a 供應 R1a 的成本：3

• M1a 供應 R2 的任何單位（R2a, R2b, R2c, R2d）的成本：1

• M1b 供應 R1a 的成本：3

• M1b 供應 R2 的任何單位（R2a, R2b, R2c, R2d）的成本：1

• M2a 供應 R1a 的成本：2

• M2a 供應 R2 的任何單位（R2a, R2b, R2c, R2d）的成本：3

• M2b 供應 R1a 的成本：2

• M2b 供應 R2 的任何單位（R2a, R2b, R2c, R2d）的成本：3

• M2c 供應 R1a 的成本：2

• M2c 供應 R2 的任何單位（R2a, R2b, R2c, R2d）的成本：3

成本矩陣 C (5x5):

	R1a	R2a	R2b	R2c	R2d
M1a	3	1	1	1	1
M1b	3	1	1	1	1
M2a	2	3	3	3	3
M2b	2	3	3	3	3
M2c	2	3	3	3	3

這個矩陣代表了將 M1 的兩個單位和 M2 的三個單位，分別指派給 R1 的一個單位和 R2 的四個單位。
指派問題的目標是選擇 5 個單元（每個行和每個列恰好一個）使得總成本最小。

b. 使用匈牙利演算法求解

步驟 1：降低成本矩陣
從每一行減去該行的最小值。

• M1a 行最小值是 1。
• M1b 行最小值是 1。
• M2a 行最小值是 2。
• M2b 行最小值是 2。
• M2c 行最小值是 2。

矩陣 C' (減行最小值後)：

	R1a	R2a	R2b	R2c	R2d
M1a	2	0	0	0	0
M1b	2	0	0	0	0
M2a	0	1	1	1	1
M2b	0	1	1	1	1
M2c	0	1	1	1	1

從每一列減去該列的最小值。

• R1a 列最小值是 0。
• R2a 列最小值是 0。
• R2b 列最小值是 0。
• R2c 列最小值是 0。
• R2d 列最小值是 0。

由於所有列最小值都是 0，矩陣 C'' (減列最小值後) 與 C' 相同。

矩陣 C''：

	R1a	R2a	R2b	R2c	R2d
M1a	2	0	0	0	0
M1b	2	0	0	0	0
M2a	0	1	1	1	1
M2b	0	1	1	1	1
M2c	0	1	1	1	1

步驟 2：尋找最佳指派（涵蓋所有零元素）
嘗試用最少直線數目涵蓋所有的零元素。
在 C'' 中，我們有大量的零。

• M1a 行有 4 個零。

• M1b 行有 4 個零。

• M2a 行有 1 個零。

• M2b 行有 1 個零。

• M2c 行有 1 個零。

• R1a 列有 2 個零。

• R2a 列有 2 個零。

• R2b 列有 2 個零。

• R2c 列有 2 個零。

• R2d 列有 2 個零。

觀察矩陣：
M1a 的零在 R2a, R2b, R2c, R2d。
M1b 的零在 R2a, R2b, R2c, R2d。
M2a 的零在 R1a。
M2b 的零在 R1a。
M2c 的零在 R1a。

我們可以選擇涵蓋策略。
例如：

• 涵蓋 M1a 行。
• 涵蓋 M1b 行。
• 涵蓋 R1a 列。
  這樣就涵蓋了所有的零。
  直線數目 = 3 (M1a 行, M1b 行, R1a 列)。
  矩陣大小是 5x5。直線數目 3 < 5。因此，這不是一個最佳指派。

我們需要調整矩陣。
找出未被直線涵蓋的最小元素。
未被涵蓋的元素是：
C''[M2a, R2a]=1, C''[M2a, R2b]=1, C''[M2a, R2c]=1, C''[M2a, R2d]=1
C''[M2b, R2a]=1, C''[M2b, R2b]=1, C''[M2b, R2c]=1, C''[M2b, R2d]=1
C''[M2c, R2a]=1, C''[M2c, R2b]=1, C''[M2c, R2c]=1, C''[M2c, R2d]=1
最小的未涵蓋元素是 1。

步驟 3：調整矩陣
從未被直線涵蓋的所有元素中減去 1。
將被兩條直線（即直線交點）涵蓋的所有元素加上 1。
在我們上面的涵蓋方式中，交點是 (M1a, R1a) 和 (M1b, R1a)。
但是，M1a 和 M1b 行被涵蓋，R1a 列也被涵蓋。
交點是 M1a 行與 R1a 列、M1b 行與 R1a 列。
矩陣 C''：

	R1a	R2a	R2b	R2c	R2d
M1a	2	0	0	0	0
M1b	2	0	0	0	0
M2a	0	1	1	1	1
M2b	0	1	1	1	1
M2c	0	1	1	1	1

直線：M1a 行, M1b 行, R1a 列。
未被涵蓋的最小元素是 1。

調整矩陣 C'''：

• 未被涵蓋的元素減 1：
  M2a, R2a, R2b, R2c, R2d -> 1-1=0
  M2b, R2a, R2b, R2c, R2d -> 1-1=0
  M2c, R2a, R2b, R2c, R2d -> 1-1=0
• 被兩條直線涵蓋的元素加 1：
  (M1a, R1a) -> 2+1=3
  (M1b, R1a) -> 2+1=3
• 被一條直線涵蓋的元素不變：
  M1a, R2a, R2b, R2c, R2d -> 0
  M1b, R2a, R2b, R2c, R2d -> 0
  R1a, M2a, M2b, M2c -> 0

矩陣 C'''：

	R1a	R2a	R2b	R2c	R2d
M1a	3	0	0	0	0
M1b	3	0	0	0	0
M2a	0	0	0	0	0
M2b	0	0	0	0	0
M2c	0	0	0	0	0

步驟 4：重新尋找最佳指派
再次嘗試用最少直線數目涵蓋所有零元素。
現在，M2a, M2b, M2c 行都有 5 個零。R2a, R2b, R2c, R2d 列都有 5 個零。
M1a 行有 4 個零。M1b 行有 4 個零。

我們可以這樣涵蓋：

• 涵蓋 M2a 行。
• 涵蓋 M2b 行。
• 涵蓋 M2c 行。
• 涵蓋 R1a 列。
• 涵蓋 R2a 列。
• 涵蓋 R2b 列。
• 涵蓋 R2c 列。
• 涵蓋 R2d 列。

這樣涵蓋了所有零。直線數目是 8，這顯然不對。
應該是：

• 涵蓋 M2a 行。
• 涵蓋 M2b 行。
• 涵蓋 M2c 行。
• 涵蓋 M1a 行。
• 涵蓋 M1b 行。
  這樣涵蓋了所有 5 行。直線數目是 5。
  這意味著我們可能找到了最佳指派。

步驟 5：進行指派
當直線數目等於矩陣大小 (5x5) 時，我們可以在零元素處進行指派。
首先，尋找只有一個零的行或列。

• R1a 列，在 M2a, M2b, M2c 行都有零。

• R2a 列，在 M1a, M1b, M2a, M2b, M2c 行都有零。

• ... (其他 R2 列同理)

• M1a 行，有零在 R2a, R2b, R2c, R2d。

• M1b 行，有零在 R2a, R2b, R2c, R2d。

• M2a 行，有零在 R1a, R2a, R2b, R2c, R2d。

• M2b 行，有零在 R1a, R2a, R2b, R2c, R2d。

• M2c 行，有零在 R1a, R2a, R2b, R2c, R2d。

這表示有很多可能的指派。我們需要選擇一個。
由於 M1a 和 M1b 的成本矩陣（在 C''' 中）是相同的 (0,0,0,0)，而 M2a, M2b, M2c 的成本矩陣（在 C''' 中）也是相同的 (0,0,0,0)。
這表示 M1a 和 M1b 的指派是可交換的，M2a, M2b, M2c 的指派也是可交換的。

讓我們嘗試一個指派：

1. 指派 M2a -> R1a (成本 0 在 C''')。
   由於 R1a 已被指派，M2a 已被指派，劃掉 R1a 列和 M2a 行。
   剩餘矩陣：

   	R2a	R2b	R2c	R2d
   M1a	0	0	0	0
   M1b	0	0	0	0
   M2b	0	0	0	0
   M2c	0	0	0	0

2. 在剩餘的 4x4 矩陣中，M1a, M1b, M2b, M2c 行都有 4 個零。R2a, R2b, R2c, R2d 列也有 4 個零。
   我們需要指派 M1a, M1b, M2b, M2c 到 R2a, R2b, R2c, R2d。
   由於 M1a 和 M1b 的零都在 R2 列，M2b 和 M2c 的零也在 R2 列。
   這表示 M1a, M1b, M2b, M2c 必須指派給 R2 的四個單位。
   由於 M1a, M1b 來自 M1，M2b, M2c 來自 M2，這意味著 M1 的兩個單位指派給 R2，M2 的兩個單位指派給 R2。

   讓我們指派 M1a -> R2a (成本 0)。
   劃掉 M1a 行和 R2a 列。
   剩餘矩陣：

   	R2b	R2c	R2d
   M1b	0	0	0
   M2b	0	0	0
   M2c	0	0	0

3. 在剩餘的 3x3 矩陣中，M1b 行有 3 個零，M2b, M2c 行有 3 個零。R2b, R2c, R2d 列有 3 個零。
   指派 M1b -> R2b (成本 0)。
   劃掉 M1b 行和 R2b 列。
   剩餘矩陣：

   	R2c	R2d
   M2b	0	0
   M2c	0	0

4. 在剩餘的 2x2 矩陣中，M2b 行有 2 個零，M2c 行有 2 個零。R2c, R2d 列有 2 個零。
   指派 M2b -> R2c (成本 0)。

本題主要考查整數規劃（Integer Programming, IP）及其線性規劃鬆弛（LP Relaxation）的相關性質。

核心觀念：

1. 整數規劃的可行域與 LP 鬆弛的可行域的關係。
2. 整數規劃與 LP 鬆弛的求解難易度比較。
3. 整數規劃解的性質（例如，最佳解的特性）。

解題步驟：

a. 關於純整數規劃（Pure IP）在有界可行區域下的可行解數量。
一個純整數規劃問題是指所有變數都必須是整數的規劃問題。
「有界可行區域」（bounded feasible region）意味著存在一個下界和上界限制了所有變數的取值範圍。
如果一個變數 $x_i$ 必須是整數，並且其取值範圍是 $[L_i, U_i]$，其中 $L_i$ 和 $U_i$ 是有限的，那麼 $x_i$ 可以取的值的數量是有限的（例如，若 $x_i$ 是整數且 $0 \le x_i \le 10$，則 $x_i$ 可取 0, 1, ..., 10 共 11 個值）。
如果一個整數規劃問題有多個整數變數，且每個變數都有一個有限的整數範圍，那麼所有變數組合起來的可行解數量必然是有限的。
因此，這個陳述是正確的。

【答案】True**

b. 整數規劃問題一般比其 LP 鬆弛更容易求解。

LP 鬆弛是將整數規劃中的整數約束去除，只保留線性約束和非負約束（如果有的話）。
LP 鬆弛問題通常比原來的整數規劃問題更容易求解，因為 LP 問題有成熟且高效的演算法（如單純形法、內點法），並且其可行域是連續的（一個凸多面體）。
整數規劃問題則需要在連續的可行域中尋找整數解。即使可行區域有界，變數的整數約束使得問題的結構變得複雜，可能需要使用分支定界法（Branch and Bound）、割平面法（Cutting Plane）等更複雜的演算法，並且求解時間通常遠長於 LP 鬆弛。
因此，整數規劃問題一般比其 LP 鬆弛更難求解。這個陳述是錯誤的。

答案：False

c. LP 鬆弛的可行域是純 IP 問題可行域的一個子集。

一個純整數規劃問題 P 的形式為：
max $z = c^T x$
s.t. $Ax \le b$
$x_i \in \mathbb{Z}$ for all $i$

其 LP 鬆弛問題 P_LP 的形式為：
max $z = c^T x$
s.t. $Ax \le b$
$x_i \in \mathbb{R}$ for all $i$ (或者 $x_i \ge 0$ 如果原問題有此約束)

核心觀念

本題考的是具固定成本的租賃決策與存貨平衡。每週必須滿足旅遊巴士需求，且可以：

• 租車：當週支付固定成本 $600$，並對當週持有的每輛車支付租金 $330$。
• 還車：當週只要發生還車，就支付固定成本 $600$。
• 保留多餘車輛：不需額外操作，但每輛車每週仍支付 $330$。

設第 $t$ 週：

• $R_t$：租入的車輛數
• $C_t$：歸還的車輛數
• $I_t$：第 $t$ 週實際持有的車輛數
• $D_t$：第 $t$ 週需求量

存量平衡式為

$$I_t=I_{t-1}+R_t-C_t$$

並且必須滿足

$$I_t\ge D_t$$

需求量為

$$(D_1,D_2,D_3,D_4)=(8,5,8,9)$$

以下依一般租賃題慣例，假設第一週開始時沒有既有車輛。

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解題方法與關鍵判斷

第一週：租入 8 輛

第一週需求為 $8$ 輛，因此至少必須租入 $8$ 輛：

$$R_1=8,\qquad I_1=8$$

第一週多租車輛沒有好處，因為額外車輛至少要支付當週租金，且後續仍可再租車。

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第二週：歸還 3 輛

第二週需求為 $5$ 輛。第一週持有的 $8$ 輛中，最多只能歸還

$$8-5=3\text{ 輛}$$

因此考慮是否歸還這 $3$ 輛。

若保留這 $3$ 輛至第二週，需支付租金

$$3(330)=990$$

若歸還這 $3$ 輛，只需支付一次還車固定成本

$$600$$

因為

$$600<990$$

所以歸還 $3$ 輛較有利。第二週結束後保留 $5$ 輛：

$$R_2=0,\qquad C_2=3,\qquad I_2=5$$

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第三週：租入 4 輛，持有 9 輛

第三週需求為 $8$ 輛，目前有 $5$ 輛，因此至少要租入 $3$ 輛。

但第四週需求增加至 $9$ 輛。比較以下兩種方式：

方案一：第三週只租 3 輛，第四週再租 1 輛

第四週租 1 輛需支付：

$$600+330=930$$

方案二：第三週多租 1 輛，提前持有 9 輛

第三週多持有 1 輛只增加一週租金：

$$330$$

由於第三週本來就要租車，固定租車成本 $600$ 已經發生。因此第三週直接租入 $4$ 輛，使持有量達到 $9$ 輛較便宜：

$$330<930$$

所以

核心觀念

本題考的是有限狀態馬可夫鏈（Markov chain）。

四個地點為：

• 動物園 $Z$
• 博物館 $M$
• 水族館 $A$
• 海灘 $B$

每天的地點只與前一天的地點有關，因此符合馬可夫性質。

每天：

• 留在原地的機率為 $0.55$
• 移動到其餘任一地點的機率為

$$\frac{0.45}{3}=0.15$$

因此轉移矩陣為

$$P= \begin{bmatrix} 0.55&0.15&0.15&0.15\\ 0.15&0.55&0.15&0.15\\ 0.15&0.15&0.55&0.15\\ 0.15&0.15&0.15&0.55 \end{bmatrix}$$

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解題方法

矩陣中的每一列都具有相同結構：對角線元素為 $0.55$，其餘元素為 $0.15$。

此矩陣可寫成

$$P=0.4I+0.15J$$

其中 $I$ 為單位矩陣，$J$ 為所有元素皆為 $1$ 的矩陣。

由於四個地點完全對稱，經過 $n$ 天後，從某一地點到另一個不同地點的機率為

$$P^n_{ij}=\frac{1-0.4^n}{4},\qquad i\ne j$$

留在原地的機率則為

$$P^n_{ii}=\frac{1+3(0.4)^n}{4}$$

其中 $0.4$ 來自

$$0.55-0.15=0.40$$

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（a）星期五位於博物館的機率

星期一在動物園，星期五之間共有四次地點轉移：

• 星期一到星期二
• 星期二到星期三
• 星期三到星期四
• 星期四到星期五

因此要求的是四步轉移機率：

$$P(X_{\text{Friday}}=M\mid X_{\text{Monday}}=Z) =(P^4)_{ZM}$$

因為動物園與博物館是不同地點：

$$(P^4)_{ZM} =\frac{1-0.4^4}{4}$$

計算得

$$0.4^4=0.0256$$

所以

$$(P^4)_{ZM} =\frac{1-0.0256}{4} =\frac{0.9744}{4} =0.2436$$

故星期五在博物館的機率為

$$\boxed{0.2436}$$

亦即：

本題考查單變數與多變數的利潤最大化問題，其中價格函數（需求函數的逆函數）與成本函數均為給定。

核心觀念：

1. 收益（Revenue）的計算：價格 × 數量。
2. 利潤（Profit）的計算：收益 - 成本。
3. 最大化利潤：利用微積分求導，令導數為零，找到極值點。
4. 二階條件：驗證極值點為最大值點。

解題步驟：

1. 定義收益函數

產品 A 的需求函數（價格函數）為 $P_A(q_1) = 210 - 12q_1$。
產品 A 的收益函數 $R_A(q_1)$ 為：
$R_A(q_1) = P_A(q_1) \times q_1 = (210 - 12q_1) q_1 = 210q_1 - 12q_1^2$。

產品 B 的需求函數（價格函數）為 $P_B(q_2) = 450 - 45q_2$。
產品 B 的收益函數 $R_B(q_2)$ 為：
$R_B(q_2) = P_B(q_2) \times q_2 = (450 - 45q_2) q_2 = 450q_2 - 45q_2^2$。

2. 定義總收益函數

總收益函數 $R(q_1, q_2)$ 為產品 A 和產品 B 的收益函數之和：
$R(q_1, q_2) = R_A(q_1) + R_B(q_2) = (210q_1 - 12q_1^2) + (450q_2 - 45q_2^2)$。

3. 定義總成本函數

總生產成本函數 $C(q_1, q_2)$ 為：
$C(q_1, q_2) = 300 + 45 (q_1 + q_2)$。

4. 定義總利潤函數

總利潤函數 $\Pi(q_1, q_2)$ 為總收益減去總成本：
$\Pi(q_1, q_2) = R(q_1, q_2) - C(q_1, q_2)$
$\Pi(q_1, q_2) = (210q_1 - 12q_1^2 + 450q_2 - 45q_2^2) - (300 + 45q_1 + 45q_2)$
$\Pi(q_1, q_2) = 210q_1 - 12q_1^2 + 450q_2 - 45q_2^2 - 300 - 45q_1 - 45q_2$

整理後得到：
$\Pi(q_1, q_2) = -12q_1^2 + (210 - 45)q_1 - 45q_2^2 + (450 - 45)q_2 - 300$
$\Pi(q_1, q_2) = -12q_1^2 + 165q_1 - 45q_2^2 + 405q_2 - 300$。

5. 最大化利潤函數

為了找到最大化利潤的 $q_1$ 和 $q_2$，我們需要計算利潤函數對 $q_1$ 和 $q_2$ 的偏導數，並令它們等於零。

對 $q_1$ 的偏導數：
$\frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = \frac{\partial}{\partial q_1} (-12q_1^2 + 165q_1 - 45q_2^2 + 405q_2 - 300)$
$\frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = -24q_1 + 165$

令偏導數等於零：
$-24q_1 + 165 = 0$
$24q_1 = 165$
$q_1 = 165 / 24$
$q_1 = 55 / 8 = 6.875$。

對 $q_2$ 的偏導數：
$\frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = \frac{\partial}{\partial q_2} (-12q_1^2 + 165q_1 - 45q_2^2 + 405q_2 - 300)$
$\frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = -90q_2 + 405$

令偏導數等於零：
$-90q_2 + 405 = 0$
$90q_2 = 405$
$q_2 = 405 / 90$
$q_2 = 40.5 / 9 = 4.5$。

6. 驗證二階條件

為了確認這是一個最大值點，我們需要檢查二階偏導數。
$\frac{\partial^2 \Pi}{\partial q_1^2} = -24$