108 年 國立臺灣大學工業工程學研究所碩士班產業與服務系統工程組《統計學（H）》

核心觀念

本題要比較四位代言人廣告的平均購買意願評分，判斷哪一位代言人的效果較佳。自變數是「代言人」，共有四個類別；依變數是購買意願評分。當研究問題是比較三組以上獨立樣本的平均數時，最適合的整體檢定方法是單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

解題方法

參與者被隨機分派觀看四則廣告，每位參與者評估其中一則，因此四組屬於獨立樣本。可先設定假設：

$$H_0:\mu_{\text{Alex}}=\mu_{\text{Sanya}}=\mu_{\text{Jess}}=\mu_{\text{Kevin}}$$ $$H_a:\text{至少有一組的母體平均購買意願不同}$$

ANOVA 以組間變異與組內變異的比值形成 $F$ 統計量：

$$F=\frac{\text{組間均方}}{\text{組內均方}}$$

若檢定結果顯著，代表四位代言人的平均購買意願並非全都相同；接著可使用事後比較，確認哪些代言人之間有顯著差異。

核心觀念

本題考察「假設檢定結果與管理決策」的結合，並涉及：

1. $p$-value 的判斷
2. 顯著水準 $\alpha=0.05$
3. 未拒絕虛無假設不等於證明兩者完全相同
4. 統計結果與成本效益的決策整合

假設行銷研究比較 Kevin Hart 與 Alex Morgan 的代言吸引力：

• 虛無假設 $H_0$：兩人的吸引力沒有顯著差異。
• 對立假設 $H_1$：兩人的吸引力有顯著差異。
• 顯著水準：$\alpha=0.05$。

假設檢定的判斷規則為：

$$p\text{-value}<0.05 \Rightarrow \text{拒絕 }H_0$$ $$p\text{-value}>0.05 \Rightarrow \text{不拒絕 }H_0$$

當 $p$-value 大於 $0.05$ 時，只能表示研究沒有足夠證據認定兩位代言人的吸引力存在顯著差異；在管理決策上，可視為兩人的代言效果沒有統計上的明顯差別。此時若 Kevin Hart 的代言費用最低，選擇 Kevin 可降低成本。

解題方法

本題的切入點是依序判斷：

第一步：判斷吸引力是否有顯著差異

若 $p$-value 大於 $0.05$，則不拒絕 $H_0$，表示研究結果不足以支持「Kevin 與 Alex 的吸引力有顯著差異」。

因此，兩人的預期代言效果可視為沒有顯著差別。

第二步：比較代言成本

既然研究沒有顯示兩人的吸引力有顯著差異，企業便應進一步考量成本。若 Kevin Hart 的代言費用最低，則在效果相近的情況下，選擇 Kevin 能以較低成本達成相同的行銷目的。

所以合理條件為：

$$p\text{-value}>0.05 \quad\text{且}\quad \text{Kevin Hart 的代言成本最低}$$

因此正確選項為 (C)。

選項分析

(A) Under no condition should Kevin Hart be selected.

錯誤。題目並未提供證據顯示 Kevin Hart 在任何情況下都不應被選用。

本題在探討 F 統計量與其他統計量（eta square, R square, between group sum of square, p-value）之間的關係。F 統計量是 ANOVA 或迴歸分析中常用的統計量，用於檢定組間差異或模型顯著性。

F 統計量的計算公式通常為：
$F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}$
其中，$MS_{between}$ 是組間均方（Mean Square Between Groups），代表組間變異；$MS_{within}$ 是組內均方（Mean Square Within Groups），代表組內變異。
$MS_{between} = \frac{SS_{between}}{df_{between}}$
$MS_{within} = \frac{SS_{within}}{df_{within}}$

$SS_{between}$ 是組間平方和（Sum of Squares Between Groups）。
$df_{between}$ 是組間自由度。
$df_{within}$ 是組內自由度。

(A) Eta Square ($\eta^2$) 是在 ANOVA 中用來衡量自變數解釋依變數變異的比例，計算公式為 $\eta^2 = \frac{SS_{between}}{SS_{total}}$。$SS_{total}$ 是總平方和。

本題是關於 p-value < 0.05 的統計解釋。在 ANOVA 分析中，如果總體 F 檢定的 p-value 小於顯著水準 $\alpha$（在此為 0.05），則表示至少有一對組別的平均值之間存在統計上的顯著差異。

(A) 「are statistically identical independent of celebrity endorsers」：這與 p-value < 0.05 的結果相反。p-value < 0.05 表示購買意願「不」是獨立於代言人，也就是說，代言人對購買意願有顯著影響。
(B) 「are statistically identical at least between two treatments」：如果 p-value < 0.05，我們不能得出購買意願是「相同」的結論。相反，我們得出的是「顯著不同」的結論。

本題探討在不同市場（美國 vs. 中國）進行的市場測試結果的關聯性與推論。題目指出，中國市場的平均評分與先前的美國市場（雖然題目中未直接列出中國市場的評分，但從選項 (C) 和 (D) 可推知，美國市場的代言人是 Alex Morgan, Sanya Richards, Jess Glynne, Kevin Hart，而中國市場是 Chi-Ling Lin, Cheng-Wu Jin, Jay Chou, Bing-Bing Fan）的結果「平行」（parallel）。這表示兩組結果在相對順序和差異上可能相似。

(A) 「If Kevin Hart is selected in the earlier test marketing, Bing-Bing Fan should be selected in China.」：Kevin Hart 的評分為 8.00（最低），Bing-Bing Fan 的評分也是 8.00（最低）。如果 Kevin Hart 是最低分的，那麼 Bing-Bing Fan 也是最低分的，這符合「平行」的說法，但這不代表「應該」選擇 Bing-Bing Fan，而是兩者在該市場的相對表現相似。然而，題目並未說明選擇 Kevin Hart 的依據。
(B) 「If p-value in the earlier test marketing is less than .05, the p-value in China's test marketing should be less than .05 as well.」： p-value 的大小與樣本特性、變異數、效應大小等因素有關。即使兩個市場的結果「平行」（評分趨勢相似），也不能保證統計檢定的 p-value 會有相同的顯著性。例如，中國市場的樣本量或變異數可能不同，導致 p-value 發生變化。

本題探討在統計分析中，當一個變數（如 income）被納入模型，用來解釋或控制另一變數（如 purchase intention）時，它扮演的角色。

題目提到，研究者發現消費者的「收入」（income）可能與「購買意願」（purchase intention）有關，並且「高收入消費者可能比低收入消費者更有可能購買」。因此，收入被納入了分析，與「名人代言」（celebrity endorser）一起。

(A) Treatment (處理): 在實驗設計中，treatment 指的是被操弄的變數，也就是實驗者改變的因素，以觀察其對結果的影響。名人代言是實驗者操弄的因素，因此是 treatment。但收入不是實驗者操弄的，而是消費者本身的特徵。
(B) Covariate (共變數): Covariate 是指一個與依變數相關，但不是主要研究對象的自變數。在分析中，它被用來控制或解釋依變數的額外變異，或者用來提高其他自變數的檢定力。

本題探討在分析中加入共變數（Income）後，對主要自變數（Celebrity endorser）的 p-value 和解釋力的影響。

當一個共變數（covariate）被加入模型時，它會解釋一部分依變數（purchase intention）的變異。這部分變異原本可能被其他自變數（如 celebrity endorser）所解釋。

(A) 「p-value of celebrity endorser is likely to be greater than .05」：如果 income 解釋了 celebrity endorser 所解釋的部分變異，那麼 celebrity endorser 所能解釋的「剩餘」變異可能會減少，導致其 p-value 變大（變得不顯著）。這是有可能的。
(B) 「p-value of celebrity endorser is likely to be less than .05」：相反，如果 income 解釋了依變數的變異，而這部分變異與 celebrity endorser 的效應是獨立的，那麼加入 income 可能會「淨化」celebrity endorser 的效應，使其更顯著，p-value 變小。這也是有可能的。

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）增加一個組別後，各項平方和與自由度的變化。

設每個廣告的樣本數皆為 $n$，原本有 $k=4$ 組，新增代言人後共有 $k=5$ 組。

ANOVA 的基本關係如下：

• 分子自由度（組間自由度）：
  $df_B=k-1$
• 分母自由度（組內自由度）：
  $df_W=k(n-1)$
• 組間平方和：
  $SS_B=n\sum_{i=1}^{k}(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2$
• 組內平方和：
  $SS_W=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2$

解題方法

原本四組平均數為：

$8.6,\ 8.3,\ 8.1,\ 8.0$

原本總平均為：

$\bar{x}_{\text{old}}=\frac{8.6+8.3+8.1+8.0}{4}=8.25$

新增第五組平均數為 $7.8$，新的總平均為：

$$\bar{x}_{\text{new}} =\frac{8.6+8.3+8.1+8.0+7.8}{5} =8.16$$

原本組間平方和為：

$$SS_{B,\text{old}} =n\left[(8.6-8.25)^2+(8.3-8.25)^2+(8.1-8.25)^2+(8.0-8.25)^2\right]$$ $$SS_{B,\text{old}} =n(0.1225+0.0025+0.0225+0.0625) =0.21n$$

加入新組別後：

$$SS_{B,\text{new}} =n\left[(8.6-8.16)^2+(8.3-8.16)^2+(8.1-8.16)^2+(8.0-8.16)^2+(7.8-8.16)^2\right]$$ $$SS_{B,\text{new}} =n(0.1936+0.0196+0.0036+0.0256+0.1296) =0.372n$$

因此：

$SS_{B,\text{new}}>SS_{B,\text{old}}$

本題探討在市場測試中，加入了一個新的操弄變數（involvement，分為 high/low 兩類）後，總共有兩個操弄變數（celebrity endorser 和 involvement）。名人代言有四種，消費者的參與度有兩種。我們需要選擇最適合分析這種情況的方法。

這是一個典型的實驗設計，其中有兩個自變數（因子）：

1. 名人代言 (Celebrity Endorser): 四個類別 (k=4)。
2. 消費者參與度 (Involvement): 兩個類別 (k=2)。

依變數是購買意願 (purchase intention)。

當我們有兩個或兩個以上的自變數（因子）來影響一個依變數時，最適合使用的分析方法是多因子變異數分析 (Factorial ANOVA)。

(A) Two-way ANOVA (雙因子變異數分析): 這是處理兩個類別自變數（因子）對一個依變數影響的標準方法。

本題探討在 Two-way ANOVA 中，主效應 (main effect) 和交互效應 (interaction effect) 之間的關係，以及它們的顯著性 (p-value)。

在 Two-way ANOVA 中，我們通常會檢定兩個因子各自的主效應，以及它們之間的交互效應。

(A) 「When the interaction is significant, the p-value of main effect is greater than .05.」：這句話的意思是，如果交互效應顯著，那麼主效應一定不顯著（p-value > 0.05）。這是錯誤的。即使交互效應顯著，主效應也可能顯著。在交互效應顯著的情況下，解釋主效應時需要非常謹慎，因為主效應的意義可能取決於另一個因子的水準。
(B) 「When the interaction is significant, the main effect can be significant as well.」：這是正確的。交互效應的顯著性並不排除主效應的顯著性。

本題探討如何檢定 Two-way ANOVA 中的交互效應 (interaction effect)，特別是 celebrity endorser 和 involvement 這兩個因子之間的交互作用。

交互效應指的是一個因子的效應，會隨著另一個因子的不同水準而改變。

(A) 「Whether the difference between the mean rating of high involvement and the mean rating of low involvement is identical across different levels of celebrity endorser.」：這句話的意思是，對於每一個名人代言人，我們計算 high involvement 的平均評分與 low involvement 的平均評分之間的差異，然後看這個差異在不同的代言人之間是否相同。如果這個差異在不同的代言人之間不相同（即有差異），則表示存在交互效應。反之，如果這個差異在所有代言人之間都相同，則表示沒有交互效應。因此，檢查這個差異是否「identical」（相同）是檢定交互效應的核心。
(B) 「Whether the mean rating of involvement is identical across different levels of celebrity endorser.」：這是在檢定 celebrity endorser 的主效應，而不是交互效應。

本題探討如何檢定「celebrity endorser」這個因子的「主效應」（main effect）。

在 Two-way ANOVA 中，主效應是指一個因子對依變數的平均影響，而不考慮另一個因子的影響。

(A) 「Whether the difference between the mean rating of high involvement and the mean rating of low involvement is identical across different levels of celebrity endorser.」：這是在檢定交互效應，而不是 celebrity endorser 的主效應。
(B) 「Whether the mean rating of involvement is identical across different levels of celebrity endorser.」：這句話的表述不正確。

本題探討標準化 (standardization) 的概念及其影響。標準化通常是指將一個變數轉換為平均數為 0，標準差為 1 的變數。

(A) 「Variable unit can be removed」：標準化後，變數的單位會被移除，變成一個無單位的數值（z-score）。例如，將身高（公分）標準化後，得到的是 z-score，沒有單位。這是正確的。
(B) 「Show how a variable value is deviated from the mean」：標準化後的 z-score 表示原始數值距離平均數有多少個標準差。例如，z=1 表示該數值比平均數高一個標準差；z=-2 表示該數值比平均數低兩個標準差。這正確地描述了標準化的意義。
(C) 「After standardization, covariance is likely to be greater than correlation」：當我們對兩個變數 $X$ 和 $Y$ 進行標準化，得到 $Z_X$ 和 $Z_Y$。
原始變數的相關係數 $r_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{SD(X)SD(Y)}$。
標準化後的變數 $Z_X = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}$， $Z_Y = \frac{Y - \mu_Y}{\sigma_Y}$。

本題是關於廣告投入與銷售額之間的關係。題目指出 Sales 與 AD promotion (Direct, Indirect, Publicity) 顯著相關。選項 (A) 提到了「investing more in AD budget」，這暗示了廣告投入的增加。

(A) 「By investing more in AD budget, Coca Cola's sales will increase」：這是一個常見的假設，即增加廣告投入會帶來銷售額的增加。如果 Sales 與 AD promotion 顯著相關，並且 AD promotion 是指廣告投入，那麼增加投入通常會預期帶來銷售增長。
(B) 「By investing more in AD budget, Coca Cola's sales will decrease」：這與常識和統計顯著性預期相反，除非有其他因素導致負相關。

本題探討調整後 R 方 ($Adjusted R^2$) 與 R 方 ($R^2$) 之間的關係。

$R^2$ (Coefficient of determination) 代表模型解釋的依變數總變異的比例。在迴歸分析中，每增加一個自變數，即使這個自變數與依變數沒有關聯，$R^2$ 也會非負增加（或至少不減少）。這可能導致對模型複雜度的評估不準確。

$Adjusted R^2$ 則考慮了模型中自變數的數量，並對 $R^2$ 進行調整，以提供一個更準確的模型擬合度評估，尤其是在比較具有不同數量自變數的模型時。

$Adjusted R^2$ 的計算公式通常為：
$Adjusted R^2 = 1 - \frac{(1 - R^2)(N - 1)}{N - k - 1}$
其中，$N$ 是樣本大小，$k$ 是自變數的數量。

從公式可以看出：
當 $N-k-1 > 0$ (即樣本數遠大於自變數數量) 時：
$Adjusted R^2 = 1 - \frac{1 - R^2}{1 - \frac{k+1}{N-1}}$
由於 $\frac{k+1}{N-1}$ 通常小於 1，分母 $1 - \frac{k+1}{N-1}$ 小於 1。

本題比較兩個多元迴歸模型的決定係數 (Coefficient of multiple determination)，也就是 $R^2$。

模型一：考慮 AD, Channel, Direct, Priority (假設 Priority 是另一個變數，但題目中未給定，我們暫且忽略這個變數，或者認為是 AD 的某種子類別)。
模型二：考慮 AD, Channel, Direct, Publicity。

題目問的是「Coefficient of multiple determination considering AD, Channel, and Direct, Priority is ____ that of considering AD, Channel, and Direct, Publicity.」
這裡的比較有問題。題目似乎想比較的是：
模型 A: 包含 {AD, Channel, Direct}
模型 B: 包含 {AD, Channel, Direct, Priority}
模型 C: 包含 {AD, Channel, Direct, Publicity}

如果題目是比較：
模型 1: {AD, Channel, Direct}
模型 2: {AD, Channel, Direct, Priority}
模型 3: {AD, Channel, Direct, Publicity}

那麼，由於模型 2 和模型 3 都比模型 1 增加了自變數，它們的 $R^2$ 值通常會大於或等於模型 1 的 $R^2$ 值。
然而，題目比較的是「considering AD, Channel, and Direct, Priority」與「considering AD, Channel, and Direct, Publicity」。

核心觀念

本題考的是「簡單線性迴歸交換應變數與自變數後，$R^2$ 是否改變」。

在含截距項的簡單線性迴歸中，決定係數等於兩變數的樣本相關係數平方：

$$R^2=r_{XY}^2$$

相關係數不因兩變數的排列順序而改變，因此以 Sales 預測 AD，或以 AD 預測 Sales，$R^2$ 相同。

解題方法

設兩變數為 $X$ 與 $Y$。含截距項的簡單線性迴歸，其決定係數可寫為：

$$R^2=\frac{S_{XY}^2}{S_{XX}S_{YY}}=r_{XY}^2$$

交換應變數與自變數，只會交換 $S_{XX}$ 與 $S_{YY}$ 的位置；乘積不變，$S_{XY}^2$ 也不變，所以 $R^2$ 不變。

迴歸係數與預測方向會改變，但這不代表 $R^2$ 也會改變。

選項分析

• (A) 正確。 在含截距項的簡單線性迴歸中，交換 Sales 與 AD 的角色，$R^2=r^2$ 仍相同。
• (B) 錯誤。 此選項以「Sales 較能預測 AD」作為 $R^2$ 改變的理由；但兩變數相關係數的平方對稱，預測方向不影響簡單迴歸的 $R^2$。
• **(C) 錯誤。

核心觀念

本題考查多元線性迴歸中，利用多個自變數預測應變數的觀念。

令：

• $Y$：Coca Cola RTD 的銷售量（Sales）
• $X_1$：AD
• $X_2$：Direct
• $X_3$：Channel
• $X_4$：Indirect
• $X_5$：Publicity

多元迴歸模型可寫為：

$$Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_3+\beta_4X_4+\beta_5X_5+\varepsilon$$

若題目要從所列變數中找出能最佳預測銷售量的變數組合，通常是比較各模型的解釋能力，例如調整後決定係數 $R^2_{\text{adj}}$、AIC、BIC 或交叉驗證誤差。

在候選模型彼此為巢狀模型時，加入有用的解釋變數會提高模型對銷售量的解釋能力；因此，若題目未提供刪除變數後的迴歸結果，應依題目設定假定各變數皆具有預測價值。

解題方法

四個選項代表不同的預測模型：

• (A)：只使用 $Direct$
• (B)：使用 $AD$ 與 $Direct$
• (C)：使用 $Channel$、$Indirect$ 與 $Publicity$
• (D)：使用全部變數

完整模型為：

$$Sales=\beta_0+\beta_1AD+\beta_2Direct+\beta_3Channel+\beta_4Indirect+\beta_5Publicity+\varepsilon$$

在一般多元迴歸的模型比較中，完整模型涵蓋其餘選項中的所有變數。若各變數確實能提供額外的銷售量資訊，完整模型能保留最多的有效預測訊息，因此可得到最佳的預測效果。

嚴格而言，單靠題目文字無法計算哪個模型的 $R^2_{\text{adj}}$ 最大，也無法檢定各迴歸係數是否顯著。以下答案採用本題選項所隱含的合理假設：$AD$、$Direct$、$Channel$、$Indirect$ 與 $Publicity$ 均為有效的銷售預測變數，且完整模型具有最佳模型評估結果。

選項分析

(A) Direct

只使用直接行銷變數建立模型：

本題要求判斷在模型中，哪個變數對 Sales 的解釋力最重要。重要性通常可以用 Beta 值 (Standardized Coefficients) 來衡量，Beta 值越大，表示該變數對依變數的影響越大（在控制其他變數的情況下）。

我們需要查看 Model 2 的 Coefficients 表，因為 Model 2 包含了多個變數。
Model 2 的 Coefficients：
(Constant)
AD: Beta = .579, Sig. = .000

本題要求預測當 Direct 增加一個單位時，Sales 的預期變化。這可以從多元迴歸模型的係數中得到。

我們需要查看 Model 2 的 Coefficients 表，因為 Direct 被納入 Model 2。
Model 2 的 Coefficients：
(Constant)
AD: B = .752
Direct: B = .266

在多元迴歸中，係數 B 代表當其他自變數保持不變時，該自變數每增加一個單位，依變數預期改變的量。

本題探討線性關係與相關係數之間的關係。

題目給出一個線性方程式：Channel = .83 + .28*Indirect。
這表示 Channel 和 Indirect 之間存在一個線性關係。
在一個線性關係 $Y = a + bX$ 中，如果斜率 $b$ 是正數，則變數 $X$ 和 $Y$ 之間是正相關。
如果斜率 $b$ 是負數，則變數 $X$ 和 $Y$ 之間是負相關。
相關係數 $r$ 的值介於 -1 和 1 之間，其中 1 表示完全正相關，-1 表示完全負相關，0 表示無線性相關。

在此方程式中，Channel 是依變數，Indirect 是自變數。
斜率 $b = 0.28$，這是一個正數。
這意味著 Channel 和 Indirect 之間存在正相關。

然而，相關係數 $r$ 的值不僅取決於斜率，還取決於變數的離散程度。
即使斜率是 0.28，相關係數也未必是 0.28。
例如，如果 Channel 和 Indirect 的所有數據點都精確地落在 $y = 0.83 + 0.28x$ 這條線上，那麼相關係數 $r$ 將會是 1。
如果這些點只是大致落在線上，但有隨機誤差，那麼相關係數 $r$ 將會小於 1，但仍然是正值。

題目給出的選項是：
(A) 1
(B) .28
(C) -1
(D) any value between -1 and 1

由於 Channel 和 Indirect 之間存在一個線性關係，它們的相關係數 $r$ 必須介於 -1 和 1 之間。

題目背景還原（第 21 題與題幹情境）

在 108 學年度臺大商學研究所甲組《統計學（H）》試卷中，題組第 21～23 題係探討通路銷售策略（Sales Channel Strategy）之迴歸模型。相關變數定義如下：

• $Y$：銷售額或績效表現。
• $\text{Channel}$：銷售通路模式（虛擬變數，Dummy Variable）。
• $\text{Force}$：直銷人員力量／銷售人力投入（Sales Force）。
• $\text{Indirect}$：間接通路投入程度（Indirect Channel Effort）。
• 模型中 $\text{Force}$ 與 $\text{Indirect}$ 各自代表不同的銷售力量投入指標，而 $\text{Channel}$ 則是將通路區分為直銷（Direct Force）與間接（Indirect）的指示變數。

題目給定各變數之間的相關係數矩陣，並要求比較 $r_{\text{Channel}, \text{Force}}$ 與 $r_{\text{Force}, \text{Indirect}}$ 之大小關係。常見之完整選項為：
(A) greater than
(B) smaller than
(C) equal to
(D) unrelated to

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核心觀念

1. 皮爾森相關係數（Pearson Correlation Coefficient）定義：

   $$r_{X, Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{S_X S_Y} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2 \sum (Y_i - \bar{Y})^2}}$$

   其值界於 $-1$ 到 $1$ 之間。

2. 迴歸模型與多重共線性檢驗（Correlation Matrix）：
   在多變量迴歸分析中，透過相關係數矩陣判斷自變數之間的關聯性：

   • 類別虛擬變數與連續變數的點雙系列相關（Point-biserial Correlation）。
   • 替代性通路與互補性資源在實務商管情境及題組給定數值中的相關程度。

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解題方法

1. 查核題組給定之相關矩陣數值：
   在該試卷給出的迴歸分析摘要表中，各自變數之間的樣本相關係數為：

本題要求判斷 Sales 和 AD 之間的相關係數 ($r_{Sales, AD}$) 的符號。
圖顯示了 Sales 和 AD 之間的關係。這是一個曲線圖，而不是散點圖。
從圖形來看，當 AD 的值增加時，Sales 的值呈現一個先上升後下降的趨勢，並且在 AD 的某個值（約為 0）時，Sales 達到最大值，然後開始下降。
這表示 Sales 和 AD 之間存在一個非線性的關係。

然而，相關係數 ($r$) 通常衡量的是線性關係的強度和方向。
即使存在非線性關係，我們仍然可以計算一個線性相關係數。

本題探討簡單線性迴歸中，ANOVA 表的 F 檢定與 T 檢定的關係。

在簡單線性迴歸 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，
ANOVA 表檢定的是虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ (模型整體不顯著)。F 檢定用於此。
T 檢定檢定的是虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ (自變數的係數不顯著)。t 檢定用於此。

對於簡單線性迴歸，F 檢定和 t 檢定是等價的。
F 統計量與 t 統計量之間的關係是 $F = t^2$。
自由度方面，ANOVA 的 F 檢定用於 $\frac{MS_{Regression}}{MS_{Residual}}$，其自由度是 $(1, N-2)$。
T 檢定用於係數 $\beta_1$，其 t 值是 $\frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$，自由度是 $N-2$。
由於 $F = t^2$ 且它們的自由度相同，所以它們的 p-value 也是相同的。

(A) 「The p-value in the ANOVA table is identical to the p-value in the T-test table.」：這是正確的。在簡單線性迴歸中，F 檢定和 t 檢定是等價的，它們的 p-value 相同。

本題探討如何使用虛擬變數 (dummy variables) 來處理類別變數 (categorical variable) 在迴歸分析中的應用。

題目中，Geography 是一個類別變數，有三個類別（US, Asia, Europe）。
當我們將一個具有 $k$ 個類別的類別變數納入迴歸模型時，通常需要創建 $k-1$ 個虛擬變數。這是為了避免多重共線性 (multicollinearity)，並確保模型能夠唯一地估計係數。

在此情境下，Geography 有 3 個類別 (US, Asia, Europe)。
所以，需要創建 $k-1 = 3-1 = 2$ 個虛擬變數。

例如，我們可以創建兩個虛擬變數：

• $D_{Asia}$: 如果是 Asia，則為 1；否則為 0。
• $D_{Europe}$: 如果是 Europe，則為 1；否則為 0。
  那麼：
• 如果一個觀測值是 US，則 $D_{Asia}=0$ 且 $D_{Europe}=0$。

本題在考驗對信賴區間 (confidence interval) 解釋的正確性。

信賴區間是用來估計母體參數（在這裡是平均月消費金額）的範圍。95% 信賴區間表示，如果我們重複抽樣多次，並為每次抽樣計算一個信賴區間，那麼大約有 95% 的這些信賴區間會包含真實的母體平均值。

(A) 「We are 95% confident that the mean of the sampled monthly spending falls between $6,710 and$32,311.」：這是錯誤的。信賴區間是對母體平均值 (population mean) 的估計，而不是樣本平均值 (sample mean)。樣本平均值是固定的，它本身就在計算信賴區間時被用來估計母體平均值。我們無法對樣本平均值建立信賴區間。

本題要求計算樣本共變數 (sample covariance) $s_{XY}$。
樣本共變數的計算公式為：
$s_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$

首先，計算 X 和 Y 的樣本平均值：
X 的值為 5, 10, 15。
$\bar{x} = \frac{5 + 10 + 15}{3} = \frac{30}{3} = 10$

Y 的值為 12, 20, 25。
$\bar{y} = \frac{12 + 20 + 25}{3} = \frac{57}{3} = 19$

接下來，計算 $(x_i - \bar{x})$ 和 $(y_i - \bar{y})$：
| $x_i$ | $y_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $y_i - \bar{y}$ | $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ |

本題要求計算樣本相關係數 (sample correlation coefficient) $r_{XY}$。
樣本相關係數的計算公式為：
$r_{XY} = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y}$
其中，$s_{XY}$ 是樣本共變數，$s_X$ 是 X 的樣本標準差，$s_Y$ 是 Y 的樣本標準差。

從上一題 (Q27) 我們已經計算出：
樣本共變數 $s_{XY} = 32.5$。
樣本平均值 $\bar{x} = 10$，$\bar{y} = 19$。
樣本數 $n = 3$。

現在計算 X 的樣本標準差 $s_X$：
$s_X^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
$(x_i - \bar{x})^2$ 的值為：
$(-5)^2 = 25$
$(0)^2 = 0$
$(5)^2 = 25$
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 25 + 0 + 25 = 50$
$s_X^2 = \frac{50}{3-1} = \frac{50}{2} = 25$
$s_X = \sqrt{25} = 5$

本題要求計算所需的樣本數 (sample size) 以達到特定的信賴區間寬度和信賴水準。

我們需要估計母體平均值 $\mu$。
已知：

• 樣本標準差 $s \approx \sigma = 250$ (題目說 regardless of the sample size，表示標準差固定，我們可以用它來近似母體標準差)。
• 所期望的誤差範圍 (margin of error) $E = 25$ 美元。
• 信賴水準 (confidence level) 為 95%。

對於 95% 的信賴水準，對應的 Z 值 (critical value) 為 $Z_{\alpha/2}$。
$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$
$\alpha/2 = 0.025$

本題要求檢定兩個獨立樣本的變異數是否相等 (test for equality of variances)，通常使用 F 檢定。

步驟如下：

1. 設立虛無假設與對立假設：
   $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ (兩組變異數相等)
   $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ (兩組變異數不相等)

2. 計算 F 統計量：
   F 統計量是兩個樣本變異數的比值。通常將較大的樣本變異數放在分子，較小的放在分母，以得到一個大於 1 的 F 值，這樣可以利用單尾檢定的臨界值。
   樣本 1：$n_1 = 16$，樣本標準差 $s_1 = 161,000$，$s_1^2 = (161,000)^2$。
   樣本 2：$n_2 = 31$，樣本標準差 $s_2 = 112,000$，$s_2^2 = (112,000)^2$。

   由於 $s_1 > s_2$，所以我們將 $s_1^2$ 作為分子，$s_2^2$ 作為分母。
   $F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{(161,000)^2}{(112,000)^2} = (\frac{161}{112})^2 \approx (1.4375)^2 \approx 2.066$

   我們計算出的 F 統計量約為 2.07。

3. 確定自由度：
   當我們將較大的變異數放在分子時，分子自由度 $df_1 = n_1 - 1 = 16 - 1 = 15$。
   分母自由度 $df_2 = n_2 - 1 = 31 - 1 = 30$。
   所以，我們需要查找 F 分佈表中自由度為 (15, 30) 的臨界值。

4. 確定臨界值：
   顯著水準 $\alpha = 0.05$。這是雙尾檢定，所以我們需要查找 $\alpha/2 = 0.025$ 的上尾臨界值和 $1-\alpha/2 = 0.975$ 的下尾臨界值。
   题目给出的临界值是：
   $F_{0.025, 15, 30} = 2.31$ (上尾臨界值)
   $F_{0.975, 15, 30} = 0.38$ (下尾臨界值)
   $F_{0.05, 15, 30} = 2.01$ (單尾檢定，但我們做的是雙尾檢定)
   $F_{0.95, 15, 30} = 0.44$ (單尾檢定)

   我們計算出的 F 統計量是 2.07。
   我們進行的是雙尾檢定，所以我們比較 F 統計量與上尾臨界值 $F_{0.025, 15, 30}$ 和下尾臨界值 $F_{0.975, 15, 30}$。
   檢定規則：

核心觀念

本題考查單一母體平均數的右尾單樣本 $t$ 檢定，以及「檢定力（power）」的計算。

研究問題是判斷學生每週在家讀書時間是否超過 $20$ 小時，因此假設為：

$$H_0:\mu\leq 20$$ $$H_1:\mu>20$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.01$$

樣本數 $n=25$，樣本標準差為 $s=2$，標準誤為：

$$SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{2}{\sqrt{25}}=0.4$$

自由度為：

$$df=n-1=24$$

檢定力的定義是在真實母體平均數為某一指定值時，正確拒絕虛無假設的機率。本題指定真實母體平均數為：

$$\mu=21$$

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解題方法

由於題目明確指出使用 $t$ 檢定，因此右尾拒絕域為：

$$t>t_{0.99,24}$$

查 $t$ 分配表：

$$t_{0.99,24}\approx 2.492$$

檢定統計量為：

$$t=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n} =\frac{\bar X-20}{0.4}$$

因此拒絕虛無假設的臨界條件為：

$$\frac{\bar X-20}{0.4}>2.492$$

整理得：

$$\bar X>20+2.492(0.4)$$ $$\bar X>20.9968$$

當真實母體平均數為 $\mu=21$，且母體標準差為 $\sigma=2$ 時，標準化後的樣本平均數具有非中央 $t$ 分配，其非中央參數為：

$$\delta=\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} =\frac{21-20}{2/\sqrt{25}} =\frac{1}{0.4}=2.5$$

所以檢定力為：

$$\text{Power} =P\left(T_{24,\delta=2.5}>2.492\right)$$

查非中央 $t$ 分配表或計算可得：

$$\text{Power}\approx 0.53$$

因此正確選項為 (A)。

核心觀念

本題考查兩母體比例的單尾假設檢定。比較：

• 正常價格顧客購買延長保固的母體比例：$p_R$
• 特價顧客購買延長保固的母體比例：$p_S$

題目要判斷正常價格者是否「較不容易」購買延長保固，因此設定：

$$H_0:p_R=p_S$$ $$H_1:p_R<p_S$$

這是左尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

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解題方法與計算

樣本比例為：

$$\hat p_R=\frac{60}{200}=0.30$$ $$\hat p_S=\frac{120}{300}=0.40$$

在虛無假設 $H_0:p_R=p_S$ 下，兩組共有 $180$ 人購買延長保固，總樣本數為 $500$，因此使用合併比例：

$$\hat p=\frac{60+120}{200+300} =\frac{180}{500}=0.36$$

兩比例差的標準誤為：

$$SE= \sqrt{\hat p(1-\hat p) \left(\frac{1}{n_R}+\frac{1}{n_S}\right)}$$

代入數值：

$$SE= \sqrt{(0.36)(0.64) \left(\frac{1}{200}+\frac{1}{300}\right)}$$ $$= \sqrt{(0.2304)(0.008333)} =\sqrt{0.00192} \approx 0.04382$$

因此檢定統計量為：

$$Z= \frac{\hat p_R-\hat p_S}{SE} = \frac{0.30-0.40}{0.04382} \approx -2.282$$

左尾檢定在 $\alpha=0.05$ 下的臨界值為：

$$-Z_{0.05}=-1.645$$

因為：

$$-2.282<-1.645$$

所以拒絕 $H_0$，有充分統計證據認為支付正常價格者購買延長保固的比例較低。

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選項分析