109 年 國立臺灣大學工業工程學研究所碩士班產業與服務系統工程組《統計學（H）》

本題主要在考驗連續型隨機變數期望值的計算，特別是利用其機率密度函數 (PDF) 來求解。

首先，我們需要由累積分布函數 (CDF) $F_X(x)$ 推導出機率密度函數 (PDF) $f_X(x)$。
對於 $0 < x \le 1$， $f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{d}{dx} (x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
對於其他範圍， $f_X(x) = 0$。

接著，我們計算 $E[X^2]$。
$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx$
$E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) dx$
$E[X^2] = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x^2 x^{-1/2} dx$

本題主要考驗期望值的性質，特別是利用 Jensen's inequality 或其他不等式來估計期望值。

我們已知 $E[X] = \ln 2$。我們想知道 $E[e^{-X}]$ 的範圍。
考慮函數 $g(x) = e^{-x}$。這個函數是凹函數 (concave function)，因為其二階導數 $g''(x) = e^{-x} > 0$。

根據 Jensen's inequality 對於凹函數的應用，對於一個凹函數 $g(x)$，我們有 $E[g(X)] \le g(E[X])$。

本題在考驗 Bernoulli 分布、獨立性、相關性以及無關性之間的關係。

首先，我們需要計算 X 和 Y 的邊際機率。
由於 X 和 Y 是 Bernoulli 隨機變數，它們只能取 0 或 1。
我們已知：
$P(X=0, Y=0) = 0.3$
$P(X=0, Y=1) = 0.2$
$P(X=1, Y=0) = 0.2$

由於總機率為 1，我們可以計算出 $P(X=1, Y=1)$：
$P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 1$
$0.3 + 0.2 + 0.2 + P(X=1, Y=1) = 1$
$0.7 + P(X=1, Y=1) = 1$
$P(X=1, Y=1) = 0.3$

現在計算 X 的邊際機率：
$P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0.3 + 0.2 = 0.5$
$P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$
因此，$P(X=0) = 0.5$ 且 $P(X=1) = 0.5$。

計算 Y 的邊際機率：
$P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) = 0.3 + 0.2 = 0.5$
$P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$
因此，$P(Y=0) = 0.5$ 且 $P(Y=1) = 0.5$。

判斷獨立性：
如果 X 和 Y 是獨立的，則 $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ 對於所有 x, y 都成立。
我們檢查 $P(X=0, Y=0)$：
$P(X=0)P(Y=0) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$
由於 $P(X=0, Y=0) = 0.3 \ne 0.25$，所以 X 和 Y 不是獨立的。

判斷相關性：
對於 Bernoulli 隨機變數，其期望值為 $E[X] = P(X=1)$，變異數為 $Var(X) = P(X=1)(1-P(X=1))$。
$E[X] = P(X=1) = 0.5$

核心觀念

背對背莖葉圖中，莖代表十位數，葉代表個位數；左側與右側分別表示兩組資料。例如：

• $843\mid 2\mid 29$
  左組為 $28,24,23$，右組為 $22,29$。
• $65210\mid 3\mid 2557$
  左組為 $36,35,32,31,30$，右組為 $32,35,35,37$。

判斷三項敘述所需定義如下：

$$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$ $$\text{全距}=\max(x_i)-\min(x_i)$$

樣本標準差為

$$s=\sqrt{\frac{\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}}.$$

解題方法

依莖葉圖還原兩組資料。

左組資料為：

$$3,4,8,10,11,12,15,16,23,24,28,30,31,32,35,36, 42,49,52,55,55,57,66,70,77,81,84,85,88,90,99$$

因此

$$n_L=31,\qquad \sum x_L=1368,\qquad \sum x_L^2=86070.$$

左組平均數：

$$\bar{x}_L=\frac{1368}{31}\approx 44.13.$$

左組全距：

$$R_L=99-3=96.$$

左組樣本標準差：

$$s_L =\sqrt{\frac{86070-\frac{1368^2}{31}}{30}} \approx 29.27.$$

右組資料為：

本題在考驗統計學中的基本名詞定義：母體 (population)、樣本 (sample)、統計量 (statistic) 和參數 (parameter)。

題目中提到「The average age of all undergraduate students in Taiwan」。
「All undergraduate students in Taiwan」指的是一個完整的群體，這是我們的研究對象。這個完整的群體稱為「母體 (population)」。
「The average age」是這個母體的一個特性。用來描述母體的數值稱為「參數 (parameter)」。

接著，題目提到「He takes a sample of 400 undergraduate students from 10 universities」。這 400 位學生是一個「樣本 (sample)」。

Cramér-Rao inequality (Cramér-Rao lower bound) 是一個在統計學中非常重要的理論。它給出了一個無偏估計量 (unbiased estimator) 的方差的下界。

Cramér-Rao inequality 指出，對於一個統計模型，任何無偏估計量 $\hat{\theta}$ 對於參數 $\theta$ 的方差，至少會大於或等於 Fisher information 的倒數。
$Var(\hat{\theta}) \ge \frac{1}{I(\theta)}$
其中 $I(\theta)$ 是 Fisher information。

因此，Cramér-Rao inequality 提供了一個無偏估計量的方差的「下界」。

本題考驗對不同測量尺度 (scales of measurement) 以及無母數統計方法 (nonparametric methods) 的理解。

無母數統計方法通常用於處理那些不符合母數統計方法（如 t-test, ANOVA）的假設（例如：數據服從常態分布）的情況。
無母數方法的一個重要特點是它們對數據的尺度要求較低，通常只需要數據的排序資訊，而不需要精確的數值差異或比例關係。

讓我們來看看不同測量尺度：
A. Interval scale (區間尺度)：數據的順序和數值之間的差異是有意義的，但沒有絕對的零點。例如，溫度（攝氏或華氏）。
B. Ordinal scale (順序尺度)：數據的順序是有意義的，但數值之間的差異或比例不一定有意義。例如，評等（優、良、可、劣）、排名（第一、第二、第三）。
C. Ratio scale (比例尺度)：數據的順序、數值差異和比例都有意義，且存在絕對的零點。例如，身高、體重、收入。
D. Nominal scale (名目尺度)：數據僅用於分類，順序、差異或比例都無意義。例如，性別（男、女）、血型（A, B, AB, O）。

許多無母數方法，例如 Wilcoxon rank-sum test (Mann-Whitney U test), Kruskal-Wallis test, Spearman's rank correlation，都基於數據的排序 (ranks)。

本題考驗對標準差 (standard deviation)、變異數 (variance) 以及樣本平均數的標準差 (standard deviation of the sample mean) 的理解。

已知條件：Population A 的標準差 ($\sigma_A$) 大於 Population B 的標準差 ($\sigma_B$)。即 $\sigma_A > \sigma_B$。

我們來逐一分析每個選項：

A. Population B has a smaller variance than population A.
標準差是變異數的平方根。如果標準差較大，則變異數也較大。
$\sigma_A > \sigma_B \implies \sigma_A^2 > \sigma_B^2$。
所以，Population B 的變異數 ($\sigma_B^2$) 小於 Population A 的變異數 ($\sigma_A^2$)。
此敘述是正確的。

B. The mean of a sample of 20 from population A has a larger standard deviation than the mean of a sample of 20 from population B.
樣本平均數的標準差 (standard error of the mean) 為 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是樣本大小。
對於樣本大小 $n=20$：
Population A 的樣本平均數的標準差：$\sigma_{\bar{X}_A} = \frac{\sigma_A}{\sqrt{20}}$
Population B 的樣本平均數的標準差：$\sigma_{\bar{X}_B} = \frac{\sigma_B}{\sqrt{20}}$
因為 $\sigma_A > \sigma_B$，且分母 $\sqrt{20}$ 相同，所以 $\frac{\sigma_A}{\sqrt{20}} > \frac{\sigma_B}{\sqrt{20}}$。

本題考驗對相關性 (association) 與因果關係 (causation) 的區別，以及第三變數 (third variable) 和混淆變數 (confounding variable) 的概念。

題目描述：台灣各城市，教師人數與大學學位人數的散佈圖顯示正相關。
正相關表示當教師人數增加時，大學學位人數也傾向於增加，反之亦然。

我們來分析各選項：

A. Larger cities tend to have both more teachers and more people with undergraduate degrees, so the association is explained by a third variable, the size of the city.
這個選項提出了一個「第三變數」——城市規模。城市規模 (city size) 確實可能與教師人數（例如，大城市需要更多學校和教師）以及大學學位人數（例如，大城市通常有更多大學和就業機會吸引高學歷人才）都有正相關。如果城市規模是導致兩者同時增加的原因，那麼這就是一個典型的「第三變數」解釋了觀察到的相關性。這是一個非常合理的解釋。

B. Teachers encourage people to get undergraduate degrees, so an increase in the number of teachers is causing an increase in the number of people with undergraduate degrees.
這個選項試圖建立「教師人數」對「大學學位人數」的因果關係。雖然教師可能在教育過程中扮演角色，但「教師人數」直接「鼓勵」人們獲得大學學位，這個因果鏈條比較牽強。而且，這忽略了其他更直接的因素，例如大學本身的數量、就業市場需求等。

C. Cities with higher incomes tend to have more teachers and more people going to university, so income is a confounding variable, making

核心觀念

本題考查箱型圖（boxplot）的判讀，須掌握以下定義：

• 全距（range）：
  $\text{全距}=\text{最大值}-\text{最小值}$
  箱型圖中，最左、最右的鬚端分別代表最小值與最大值。
• 中位數（median）：箱體內的線段位置。
• 偏態判斷：
  • 左右兩側鬚長度及箱體分布大致平衡，表示分布約為對稱。
  • 右側鬚較長，且資料向較大值方向延伸，表示右偏（right-skewed）。

解題方法

直接比較兩個箱型圖的最小值、最大值、中位數，以及資料左右延伸情形。

1. 由圖可見，數學成績與語文成績的最小值、最大值所形成的水平距離相同，因此兩者全距相等。
2. 數學成績箱型圖的最大值位置，與語文成績箱型圖的中位數位置相同，因此數學最高分等於語文成績中位數。

本題主要考驗關於樣本大小 (sample size) 的計算，特別是在假設檢定中，同時考慮顯著水準 ($\alpha$)、檢定力 (power) 和效應大小 (effect size)。

這是一個配對樣本的檢定 (paired t-test)，因為是同一批游泳者穿著兩種泳衣測量速度。
我們關心的是配對差異的平均值 $\mu_D$。
虛無假設 $H_0: \mu_D = 0$ (兩種泳衣速度無差異)。
對立假設 $H_A: \mu_D \ne 0$ (兩種泳衣速度有差異)。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
檢定力 (Power) $= 1 - \beta = 0.90$，所以 $\beta = 0.10$。
要檢測的效應大小 (effect size) 是差異的絕對值 $|\Delta| = 2.0$ cm/sec。
已知配對差異的標準差 $\sigma_D = 8$ cm/sec。

我們需要計算樣本數 $n$。
對於配對樣本的平均值檢定，樣本平均數的標準誤 (standard error of the mean difference) 為 $SE_{\bar{D}} = \frac{\sigma_D}{\sqrt{n}}$。

樣本大小的計算公式通常是基於 Z 分數或 t 分數。在這裡，由於我們已經知道母體差異的標準差 $\sigma_D$，我們可以使用 Z 分數來近似計算。

樣本大小的公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma_D + z_{\beta} \sigma_D}{\Delta} \right)^2$
其中：

• $z_{\alpha/2}$ 是對應於雙尾檢定 $\alpha$ 的 Z 分數。

本題考驗對兩因子實驗設計 (two-factor experiment) 中 ANOVA 表的理解，以及如何根據自由度 (degrees of freedom, df) 計算每組的觀察值數量。

題目給出了一個部分 ANOVA 表，其中：

• 因子 A 有 2 個水準 (levels)。
• 因子 B 有 2 個水準 (levels)。
• 因子 A 和 B 的交互作用 (Interaction A*B) 的自由度為 1。
• 誤差 (Error) 的自由度為 20。

在兩因子實驗中，總共有 $a \times b$ 個細胞 (cells) 或處理組合 (treatment combinations)，其中 $a$ 是因子 A 的水準數，$b$ 是因子 B 的水準數。
在此題中，$a=2$，$b=2$，所以總共有 $2 \times 2 = 4$ 個細胞。

各項自由度與實驗設計的關係：

• 因子 A 的自由度：$df_A = a - 1$
• 因子 B 的自由度：$df_B = b - 1$
• 交互作用 A*B 的自由度：$df_{A \times B} = (a-1)(b-1)$

本題考驗如何根據 ANOVA 表中的資訊判斷交互作用是否顯著。

在 ANOVA 中，判斷交互作用是否顯著，是將交互作用的均方 (Mean Square for Interaction, $MS_{A \times B}$) 與誤差的均方 (Mean Square Error, $MS_E$) 進行比較，計算 F 統計量。
$F_{A \times B} = \frac{MS_{A \times B}}{MS_E}$
如果計算出的 F 值大於對應於 $\alpha$ 和自由度 ($df_{A \times B}, df_E$) 的臨界值，則認為交互作用是顯著的。

我們需要從 ANOVA 表中獲取所需資訊：

• 交互作用的自由度 $df_{A \times B} = 1$。
• 誤差的自由度 $df_{Error} = 20$。
• 交互作用的平方和 $SS_{A \times B} = 896$。
• 誤差的平方和 $SS_{Error} = 3200$。

首先，計算 $MS_{A \times B}$ 和 $MS_E$：
$MS_{A \times B} = \frac{SS_{A \times B}}{df_{A \times B}} = \frac{896}{1} = 896$
$MS_E = \frac{SS_{Error}}{df_{Error}} = \frac{3200}{20} = 160$

本題要求繪製可能的細胞平均數 (cell means) 圖，以展示交互作用 (interaction) 的可能情況。

在一個有交互作用的兩因子實驗中，一個因子對另一個因子的效應會隨著該因子水準的改變而改變。這可以透過繪製交互作用圖來視覺化。

實驗設計：

• 因子 A 有 2 個水準 (A1, A2)。
• 因子 B 有 2 個水準 (B1, B2)。
• 總共有 $2 \times 2 = 4$ 個細胞 (cell)。
• 每個細胞的平均數我們記為 $\mu_{ij}$，其中 $i$ 是 A 的水準，$j$ 是 B 的水準。

交互作用圖的繪製方式：
通常，將其中一個因子 (例如 B) 的水準作為 X 軸，將平均數作為 Y 軸。
然後，為另一個因子 (A) 的每個水準繪製一條線。

考慮兩種情況來展示交互作用：

1. 有交互作用 (Interaction exists): 線條不是平行且不重疊。
2. 無交互作用 (No interaction): 線條大致平行，且在 Y 軸上的間隔大致相同。

由於題目要求繪製「possible cell means」，我們需要展示一個存在交互作用的圖。
我們可以假設一些細胞平均數的值，然後繪製出來。

例如，假設細胞平均數如下：

• $\mu_{11}$ (A1, B1) = 10
• $\mu_{12}$ (A1, B2) = 20
• $\mu_{21}$ (A2, B1) = 30
• $\mu_{22}$ (A2, B2) = 15

繪製交互作用圖：

• X 軸：因子 B 的水準 (B1, B2)。
• Y 軸：平均數。
• 繪製兩條線：一條代表因子 A 的水準 A1，另一條代表 A2。

圖示：
Y 軸
^
|
| A2 (30, 15)
| /----------
| /
| /
|/
+----------------------> X 軸 (B1, B2)
| A1 (10, 20)
| /----------
|/
|

在這個例子中：

• 當 B 是 B1 時，A1 的平均數是 10，A2 的平均數是 30 (A2 > A1)。
• 當 B 是 B2 時，A1 的平均數是 20，A2 的平均數是 15 (A1 > A2)。
  由於 A2 相對於 A1 的效應在 B1 和 B2 下改變了方向（從 A2 > A1 變為 A1 > A2），這表示存在交互作用。

本題考驗如何根據迴歸分析的輸出結果，計算迴歸係數的信賴區間 (confidence interval)。

我們需要計算 $\beta_1$ 的 95% 信賴區間。
迴歸模型為：$Y = \alpha + \beta_1 \text{Payroll} + \beta_2 \text{League} + \varepsilon$。
根據電腦輸出結果：

• 係數 $\beta_1$ (Payroll) 的估計值 $\hat{\beta}_1 = 0.157$。
• 係數 $\beta_1$ 的標準誤 (Std. error) $SE(\hat{\beta}_1) = 0.061$。

計算信賴區間的公式為：
$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \times SE(\hat{\beta}_1)$
其中：

• $\hat{\beta}_1$ 是係數的估計值。
• $SE(\hat{\beta}_1)$ 是該係數的標準誤。
• $t_{\alpha/2, n-k-1}$ 是對應於信賴水準 $(1-\alpha)$ 和殘差自由度 $(n-k-1)$ 的 t 分布臨界值。
• $n$ 是樣本大小 (總觀察值數量)。
• $k$ 是模型中的預測變數數量 (不含截距項)。

本題考驗如何利用給定的迴歸模型和參數估計值，預測不同情況下的結果，並計算預測值的差異。

迴歸模型為：$Y = \alpha + \beta_1 \text{Payroll} + \beta_2 \text{League} + \varepsilon$。
我們有以下估計值：

• $\hat{\alpha} = 61.321$
• $\hat{\beta}_1 = 0.157$
• $\hat{\beta}_2 = -3.746$

模型預測值 (expected value of Y) 為：$\hat{Y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}_1 \text{Payroll} + \hat{\beta}_2 \text{League}$。

題目設定：

• Team A: National League (League=0), Payroll = $P_A$
• Team B: American League (League=1), Payroll = $P_B$
• $P_A = P_B + 10$ (百萬美元)

首先，我們預測 Team A 的勝場數：
$\hat{Y}_A = \hat{\alpha} + \hat{\beta}_1 P_A + \hat{\beta}_2 (0)$
$\hat{Y}_A = 61.321 + 0.157 P_A$

接著，我們預測 Team B 的勝場數：
$\hat{Y}_B = \hat{\alpha} + \hat{\beta}_1 P_B + \hat{\beta}_2 (1)$
$\hat{Y}_B = 61.321 + 0.157 P_B - 3.746$

現在，我們比較 $\hat{Y}_A$ 和 $\hat{Y}_B$。
由於 $P_A = P_B + 10$，我們將其代入 $\hat{Y}_A$ 的公式：
$\hat{Y}_A = 61.321 + 0.157 (P_B + 10)$

本題要求計算給定觀測值的殘差 (residual)。

迴歸模型為：$Y = \alpha + \beta_1 \text{Payroll} + \beta_2 \text{League} + \varepsilon$。
殘差的定義是觀測值與預測值之間的差異：
$e = Y - \hat{Y}$

給定的觀測值：

• Team C 屬於美國聯盟 (American League)，所以 League = 1。
• Payroll = 108 百萬美元。
• 實際贏得的比賽數 (Y) = 88 場。

首先，我們需要計算這個觀測值的預測值 $\hat{Y}$。
使用迴歸模型的估計係數：
$\hat{\alpha} = 61.321$
$\hat{\beta}_1 = 0.157$

本題要求根據迴歸分析結果，判斷是否支持「高薪球隊勝場多，聯盟歸屬不重要」的常識。

迴歸模型為：$Y = \alpha + \beta_1 \text{Payroll} + \beta_2 \text{League} + \varepsilon$。
我們需要檢驗兩個常識的陳述：

1. 高薪球隊勝場多 (Higher payroll leads to more wins)。
2. 聯盟歸屬不重要 (League affiliation does not matter)。

檢驗第一點：高薪球隊勝場多。
這對應於迴歸係數 $\beta_1$ (Payroll) 的符號和顯著性。
從輸出結果看，$\hat{\beta}_1 = 0.157$，且其標準誤為 0.061。
由於 $\hat{\beta}_1$ 是正值，這表示 Payroll 與 Y (Wins) 之間存在正向關係，即薪資越高，預測勝場數越多，這支持了常識的第一部分。
為了判斷這個關係是否顯著，我們可以進行假設檢定。
虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$。
對立假設 $H_A: \beta_1 > 0$ (因為常識是「強烈傾向」)。
計算 t 統計量：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{0.157}{0.061} \approx 2.574$。
對於自由度 $df = n - k - 1 = 30 - 2 - 1 = 27$，雙尾檢定的顯著水準 $\alpha = 0.05$ 時，臨界 t 值約為 2.052。
由於 $|t| = 2.574 > 2.052$，所以我們拒絕 $H_0$，認為 $\beta_1$ 顯著大於 0。
因此，薪資對勝場數有顯著的正向影響，支持了「高薪球隊勝場多」的常識。

本題考驗如何計算卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence) 的檢定統計量。

我們要檢驗的虛無假設是：學生類型 (Student type) 與選擇大學的主要原因 (Main reason for choosing) 是獨立的。
對立假設是：學生類型與選擇大學的主要原因是不獨立的。

我們有兩個分類變數：

• 學生類型：有 Freshmen 和 MBAs 兩種。
• 主要原因：有 Reputation, Location, Tuition, Class Size 四種。

這是一個 $2 \times 4$ 的列聯表 (contingency table)。

首先，計算每個類別的總計和總計：

Student type	Reputation	Location	Tuition	Class Size	Row Total
Freshmen	50	25	7	8	90
MBAs	25	15	13	7	60
Column Total	75	40	20	15	150

總樣本數 $N = 150$。

卡方檢定統計量的計算公式為：
$\chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中：

• $O_{ij}$ 是在第 i 行第 j 列的觀測頻率 (Observed frequency)。
• $E_{ij}$ 是在第 i 行第 j 列的期望頻率 (Expected frequency)，假設獨立性成立。

期望頻率的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{N}$

我們需要計算每個單元格的期望頻率：

1. $E_{11}$ (Freshmen, Reputation): $\frac{90 \times 75}{150} = \frac{6750}{150} = 45$

2. $E_{12}$ (Freshmen, Location): $\frac{90 \times 40}{150} = \frac{3600}{150} = 24$

3. $E_{13}$ (Freshmen, Tuition): $\frac{90 \times 20}{150} = \frac{1800}{150} = 12$

4. $E_{14}$ (Freshmen, Class Size): $\frac{90 \times 15}{150} = \frac{1350}{150} = 9$

5. $E_{21}$ (MBAs, Reputation): $\frac{60 \times 75}{150} = \frac{4500}{150} = 30$

6. $E_{22}$ (MBAs, Location): $\frac{60 \times 40}{150} = \frac{2400}{150} = 16$

7. $E_{23}$ (MBAs, Tuition): $\frac{60 \times 20}{150} = \frac{1200}{150} = 8$

8. $E_{24}$ (MBAs, Class Size): $\frac{60 \times 15}{150} = \frac{900}{150} = 6$

現在，計算卡方統計量 $\chi^2$：

核心觀念

本題考查「卡方獨立性檢定」（Chi-Square Test of Independence），用來判斷：

• 虛無假設 $H_0$：學生類型與選擇該大學的主要原因彼此獨立。
• 對立假設 $H_1$：學生類型與選擇該大學的主要原因不獨立。

顯著水準 $\alpha$ 是拒絕 $H_0$ 的門檻。對固定的檢定統計量而言，能夠拒絕 $H_0$ 的最小顯著水準，就是該檢定的 $p$ 值。

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解題方法

設列變數為學生類型，欄變數為選擇大學的主要原因。對每一格計算期望次數：

$$E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總樣本數}}$$

卡方檢定統計量為：

$$\chi^2=\sum_i\sum_j\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為期望次數。

若列數為 $r$、欄數為 $c$，自由度為：

$$df=(r-1)(c-1)$$

接著利用卡方臨界值表，找出使下式成立的最小顯著水準：

$$\chi^2_{\text{obs}}>\chi^2_{\alpha,df}$$

精確表示為：

$$\alpha_{\min} =P\left(\chi^2_{df}\geq \chi^2_{\text{obs}}\right)$$

因此，本題要求的「minimum significance level」不是任意選定的 $0.05$ 或 $0.01$，而是由計算出的卡方統計量所對應的右尾機率，也就是 $p$ 值。

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使用臨界值表判讀

若卡方表中查得：