114 年 國立臺灣大學工業工程學研究所碩士班產業與服務系統工程組《統計學（H）》

標準差是衡量數據離散程度的指標。標準差越大，表示數據的離散程度越高，即數據點越分散。觀察各個點圖 (dot plot)，標準差最大的圖形會是數據點分佈最廣泛的。

核心觀念

1. 母體分散度量數（Measures of Dispersion）與樣本數（Sample Size）的獨立性：

   • 工廠人數 $N$ 代表各群體的個體數（資料量大小）。
   • 平均數（Mean, $\mu$）代表資料的集中趨勢；全距（Range）、變異數（Variance, $\sigma^2$）與標準差（Standard Deviation, $\sigma$）代表個別資料值相對於平均數的離散程度。
   • 資料量的大小（$N_A = 100$、$N_B = 1{,}000$、$N_C = 10{,}000$）與該群體本身的**薪資分散程度（$\sigma$ 或 Range）**並無必然的數學關聯。群體規模較大不代表其薪資差異必然較大或較小。

2. 區分「資料本身的標準差」與「樣本平均數的標準誤（Standard Error）」：

   • 考題極常見的經典陷阱：混淆「母體（或各廠）薪資標準差 $\sigma$」與「抽樣分佈中樣本平均數的標準差（標準誤）$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$」。
   • 題目詢問的是「各工廠勞工薪資的標準差/全距/變異數」（wages in all three factories），並非從各廠抽樣計算樣本平均數的標準誤。

解題方法

• 切入點：檢視題目給定的已知條件與未給定條件。

  • 已知條件：
    1. A、B、C 三家工廠人數分別為 $N_A = 100$、$N_B = 1{,}000$、$N_C = 10{,}000$。
    2. 三家工廠的平均薪資相同，即 $\mu_A = \mu_B = \mu_C$。
  • 未給定條件：各工廠內部的薪資分佈形狀、最大值與最小值、各個工人的薪資數值或離散情形。

• 推論過程：
  平均數相同僅保證一階動差（First Moment）相等，但二階中心動差（變異數 $\sigma^2$）或極值差距（全距）取決於該工廠內薪資的分佈情況，與人數的多寡沒有確定因果關係。在沒有提供各工廠薪資分佈或離散度量數據的情形下，無法比較各廠的標準差、全距或變異數大小。

選項分析

• (A) 錯誤：
  「The standard deviations of wages in all three factories are equal.」
  三家工廠平均薪資相同，不代表各工廠內的薪資變異情形相同。

核心觀念：偏態分佈 (skewed distribution) 的特性，特別是負偏態 (negatively skewed distribution) 的平均數、中位數、眾數以及四分位數的相對關係。

在一個負偏態分佈中，分佈的「尾巴」朝向左側（較小的值），而大部分的數據則集中在右側（較大的值）。這會導致以下關係：

1. 平均數 (Mean) vs. 中位數 (Median) vs. 眾數 (Mode)：

   • 在負偏態分佈中，由於左側有少數極端小的數值會將平均數往左拉，所以通常有：
     Mean < Median < Mode
   • 在正偏態分佈中，則有：
     Mode < Median < Mean
   • 在對稱分佈中，三者大致相等：
     Mean ≈ Median ≈ Mode

2. 四分位數 (Quartiles)：

   • 第一四分位數 (Q1)：代表 25% 的數據小於此值。
   • 中位數 (Median, Q2)：代表 50% 的數據小於此值。
   • 第三四分位數 (Q3)：代表 75% 的數據小於此值。
   • 四分位距 (IQR) = Q3 - Q1。
   • 在負偏態分佈中，由於左尾較長（包含較小的值），Q1 相對於 Median 的距離，通常會比 Q3 相對於 Median 的距離來得大。也就是說，左半邊的數據分佈比右半邊更分散。
     Median - Q1 > Q3 - Median
   • 在正偏態分佈中，則有：
     Q3 - Median > Median - Q1

現在我們來檢視選項：

核心觀念：二元迴歸 (binary linear regression) 中的截距 (intercept) 的意義。

二元線性迴歸模型可以寫成：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$

其中：

• $Y$ 是依變數 (dependent variable)。
• $X$ 是自變數 (independent variable)。
• $\beta_0$ 是截距 (intercept)。
• $\beta_1$ 是斜率 (slope)，表示 $X$ 每改變一個單位時，$Y$ 的預期改變量。
• $\epsilon$ 是誤差項 (error term)。

截距 $\beta_0$ 的定義是：當自變數 $X$ 的值為零時，依變數 $Y$ 的預期值 (expected value)。
換句話說，$\beta_0 = E[Y | X=0]$。

現在我們來檢視選項：

A) The intercept indicates the strength of the relationship between x and y.

核心觀念：二項分佈 (Binomial Distribution) 的性質，以及大數法則 (Law of Large Numbers) 和中央極限定理 (Central Limit Theorem) 的應用。

題目描述：

• 每次遊戲勝率 $p = 0.5$。
• 遊戲獨立。
• 贏得獎品的條件是：贏得的遊戲數 $\ge 0.6n$。
• 考慮 $n = 5, 20, 100$ 三種情況，哪個 $n$ 值能最大化贏得獎品的機率？

設 $X$ 為在一系列 $n$ 場遊戲中贏得的場數。由於每次遊戲獨立且勝率固定， $X$ 服從二項分佈 $B(n, p=0.5)$。
贏得獎品的條件是 $X \ge 0.6n$。
我們要計算 $P(X \ge 0.6n)$ 對於不同 $n$ 的值，並找出最大值。

情況 1: $n=5$
* 需要贏得 $0.6 \times 5 = 3$ 場或以上。
* $P(X \ge 3 | n=5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
* $P(X=k | n, p) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
* $P(X \ge 3 | n=5, p=0.5) = \binom{5}{3}(0.5)^3(0.5)^2 + \binom{5}{4}(0.5)^4(0.5)^1 + \binom{5}{5}(0.5)^5(0.5)^0$
* $= \binom{5}{3}(0.5)^5 + \binom{5}{4}(0.5)^5 + \binom{5}{5}(0.5)^5$
* $= (10 + 5 + 1) \times (0.5)^5 = 16 \times \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$

情況 2: $n=20$
* 需要贏得 $0.6 \times 20 = 12$ 場或以上。
* $P(X \ge 12 | n=20, p=0.5)$
* 這是一個二項分佈 $B(20, 0.5)$。由於 $n$ 較大，我們可以考慮使用常態分佈近似。
* 平均數 $\mu = np = 20 \times 0.5 = 10$
* 標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{5} \approx 2.236$
* 使用連續性修正 (continuity correction)，我們要計算 $P(X \ge 11.5)$。

核心觀念

本題考查：

• 平均數定義：
  $\text{平均數}=\frac{\text{總和}}{\text{資料個數}}$
• 全距定義：
  $\text{全距}=\text{最大值}-\text{最小值}$
• 將資料依大小排列後，利用總和與補集概念求出「最大三個數」的平均數。

設四個數由小到大排列為

$x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4$

其中 $x_1$ 是最小值，$x_4$ 是最大值。

解題方法

四個數的平均數為 $27$，因此四個數的總和為

$x_1+x_2+x_3+x_4=4(27)=108$

最小三個數的平均數為 $20$，所以

$x_1+x_2+x_3=3(20)=60$

因此最大值為

$x_4=108-60=48$

題目給定全距為 $36$，故

$x_4-x_1=36$

代入 $x_4=48$：

$48-x_1=36$

$x_1=12$

最大三個數為 $x_2,x_3,x_4$，其總和可由四個數總和扣除最小值求得：

$x_2+x_3+x_4=108-12=96$

所以最大三個數的平均數為

$\frac{96}{3}=32$

選項分析

核心觀念：自然數、偶數、奇數數列的變異數公式。

首先，我們需要知道這些數列的變異數公式。
設 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是一組數據。
樣本變異數 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。
母體變異數 $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$。
題目中提到「variance」，通常在沒有特別說明時，指的是母體變異數 (population variance)，因為是「前 i 個」數列，而不是「樣本」。我們將使用母體變異數公式。

1. 前 i 個自然數的變異數
* 數列：$1, 2, 3, \dots, i$
* 平均數 $\mu_i = \frac{1+i}{2}$
* 變異數 $\sigma_i^2 = \frac{1}{i} \sum_{n=1}^i n^2 - \mu_i^2 = \frac{i(i+1)(2i+1)}{6i} - \left(\frac{1+i}{2}\right)^2$
* 簡化後公式為：$\sigma_i^2 = \frac{i^2-1}{12}$
* 題目給定：$\sigma_i^2 = 14$
* $\frac{i^2-1}{12} = 14$
* $i^2 - 1 = 14 \times 12 = 168$
* $i^2 = 169$
* $i = \sqrt{169} = 13$ (因為 $i$ 必須是正整數)
* 所以，選項 A) $i=11$ 是錯誤的。

2. 前 j 個偶數的變異數
* 數列：$2, 4, 6, \dots, 2j$
* 這個數列可以寫成 $2 \times (1, 2, 3, \dots, j)$。
* 設 $Y_k = 2k$。則 $Y_1, \dots, Y_j$ 是前 j 個偶數。
* 平均數 $\mu_{even, j} = \frac{2+2j}{2} = 1+j$。
* 變異數 $\sigma_{even, j}^2 = \frac{1}{j} \sum_{k=1}^j (2k)^2 - (\mu_{even, j})^2$
* $= \frac{1}{j} \sum_{k=1}^j 4k^2 - (1+j)^2$
* $= \frac{4}{j} \sum_{k=1}^j k^2 - (1+j)^2$
* $= \frac{4}{j} \frac{j(j+1)(2j+1)}{6} - (1+j)^2$
* $= \frac{2(j+1)(2j+1)}{3} - (1+j)^2$
* $= \frac{2(2j^2+3j+1)}{3} - (j^2+2j+1)$
* $= \frac{4j^2+6j+2}{3} - \frac{3j^2+6j+3}{3}$
* $= \frac{j^2-1}{3}$
* 題目給定：$\sigma_{even, j}^2 = 16$
* $\frac{j^2-1}{3} = 16$

核心觀念：獨立事件的機率計算，以及補集事件的機率。

設 $F_A, F_B, F_C$ 分別表示元件 A, B, C 在一年內失效的事件。
設 $S_A, S_B, S_C$ 分別表示元件 A, B, C 在一年內正常運作的事件。

題目給定：

• $P(F_A) = 0.03$
• $P(F_B) = 0.05$
• $P(F_C) = 0.1$

由於元件失效的機率已知，我們可以計算元件正常運作的機率：

• $P(S_A) = 1 - P(F_A) = 1 - 0.03 = 0.97$
• $P(S_B) = 1 - P(F_B) = 1 - 0.05 = 0.95$
• $P(S_C) = 1 - P(F_C) = 1 - 0.1 = 0.9$

題目說：「如果任何一個元件失效，整個設備就會失效」。
這意味著，設備正常運作的條件是：所有元件都必須正常運作。
設 $S_{device}$ 為設備正常運作的事件。
那麼，$S_{device} = S_A \cap S_B \cap S_C$。

核心觀念：期望值 (Expected Value) 的比較，以判斷策略的優劣。

題目描述：

• 選擇題有 5 個選項。
• 得分規則：
  • 答對：+10 分
  • 未答：+3 分
  • 答錯：+0 分

我們要找出，在猜測之前，至少要排除多少個選項，使得「猜測」的期望值比「不回答」的期望值來得高。

首先，我們確定「不回答」的期望值。
如果選擇不回答，分數就是 3 分。所以，不回答的期望值 $E(\text{unanswered}) = 3$。

接下來，我們考慮猜測。
假設一個問題有 5 個選項。
如果學生排除了 $k$ 個選項，那麼剩下 $5-k$ 個選項可以猜。
其中有一個是正確答案，其餘 $(5-k)-1 = 4-k$ 個是錯誤答案。

設 $E(\text{guess})$ 是猜測一個選項的期望值。
為了讓猜測比不回答更有利，我們需要 $E(\text{guess}) > E(\text{unanswered}) = 3$。

現在我們來計算猜測的期望值，取決於排除了多少選項 $k$。

• 情況 A: 排除 0 個選項 (k=0)

  • 剩下 5 個選項可以猜。
  • 猜對的機率 $P(\text{correct}) = \frac{1}{5}$。
  • 猜錯的機率 $P(\text{incorrect}) = \frac{4}{5}$。
  • $E(\text{guess} | k=0) = P(\text{correct}) \times (\text{Score for correct}) + P(\text{incorrect}) \times (\text{Score for incorrect})$
  • $E(\text{guess} | k=0) = \frac{1}{5} \times 10 + \frac{4}{5} \times 0 = \frac{10}{5} = 2$。
  • 因為 $2 < 3$，所以猜測不如不回答。

• 情況 B: 排除 1 個選項 (k=1)

  • 剩下 4 個選項可以猜。
  • 猜對的機率 $P(\text{correct}) = \frac{1}{4}$。
  • 猜錯的機率 $P(\text{incorrect}) = \frac{3}{4}$。

核心觀念：常態分佈 (Normal Distribution) 的機率計算，以及 Z-score 的應用。

題目給定：

• 通勤時間 $T$ 服從常態分佈 $N(\mu=25, \sigma=5)$。
• 學生在家時間 8:40 AM。
• 目標時間 9:10 AM。
• 求學生在 9:10 AM 後抵達校園的機率。

首先，計算從 8:40 AM 到 9:10 AM 的時間長度。
9:10 AM - 8:40 AM = 30 分鐘。

所以，問題等同於：求通勤時間 $T$ 大於 30 分鐘的機率，即 $P(T > 30)$。

我們將通勤時間 $T$ 標準化為 Z-score：
$Z = \frac{T - \mu}{\sigma}$

當 $T = 30$ 時：
$Z = \frac{30 - 25}{5} = \frac{5}{5} = 1$。

所以，$P(T > 30) = P(Z > 1)$。

根據標準常態分佈的性質：
$P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$。
查標準常態分佈表 (Z-table)，$P(Z \le 1)$ 約為 0.8413。
因此，$P(Z > 1) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$。

核心觀念：獨立樣本 t 檢定 (independent samples t-test) 的假設與檢定統計量的計算。

當我們要檢定兩個獨立樣本的母體平均數是否相等，且母體變異數未知但假設相等時，我們使用的是獨立樣本 t 檢定。

這個檢定的前提假設是：

1. 兩個樣本是獨立的。
2. 兩個母體都服從常態分佈。
3. 兩個母體的變異數相等 ($\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)。

在變異數相等且未知的條件下，我們需要估計這個共同的母體變異數。這個估計值稱為「合併變異數」(pooled variance)，通常記為 $s_p^2$ 或 $\hat{\sigma}^2$。

合併變異數的計算公式為：
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{(n_1-1) + (n_2-1)}$
其中 $n_1, n_2$ 是兩個樣本的大小，$s_1^2, s_2^2$ 是兩個樣本的變異數。

獨立樣本 t 檢定的檢定統計量為：
$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$
在檢定 $\mu_1 = \mu_2$ 的情況下，$(\mu_1 - \mu_2)_0 = 0$。
所以，檢定統計量是：

核心觀念

二因子變異數分析（two-way ANOVA）同時探討兩個因素對依變數的影響，並區分：

1. 因素 A 的主要效果（main effect）
2. 因素 B 的主要效果
3. 因素 A 與因素 B 的交互作用效果（interaction effect）

其模型可表示為：

其中：

• $\mu$：總平均數
• $\alpha_i$：因素 A 第 $i$ 個水準的效果
• $\beta_j$：因素 B 第 $j$ 個水準的效果
• $(\alpha\beta)_{ij}$：A 與 B 的交互作用效果
• $\varepsilon_{ijk}$：隨機誤差

交互作用效果的意義是：因素 A 對依變數的影響，會隨著因素 B 水準的不同而改變；同理，因素 B 的效果也會依因素 A 的水準而改變。

若無交互作用，因素 A 的各水準差異大致會在因素 B 的不同水準下維持一致。若有顯著交互作用，代表兩因素的效果並非彼此獨立。

解題方法

題幹指出：

A significant interaction effect implies

關鍵字是 interaction effect。交互作用效果顯著，表示統計上有足夠證據認定兩因素之間存在聯合作用：

拒絕虛無假設後，表示因素 A 的效果取決於因素 B 的水準，亦即：

而是會隨 B 的水準改變。因此正確選項為 C。

例如，若研究「教學方法」與「學生程度」對考試成績的影響：

• 初學者使用教學方法甲的效果較好；
• 高程度學生使用教學方法乙的效果較好。

此時教學方法的效果會依學生程度而不同，便是交互作用。

選項分析

核心觀念

本題考查古典線性迴歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）與普通最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）的基本假設。

在多元線性迴歸模型 $Y = X\beta + \varepsilon$ 中，高斯－馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）確立了 OLS 估計式具備最佳線性不偏估計式（BLUE）性質所依賴的假設條件。

古典線性迴歸的核心假設包括：

1. 參數線性性（Linearity in parameters）：應變數與自變數之間在母體參數上呈線性關係。
2. 零條件期望值（Zero conditional mean of errors）：$E(\varepsilon_i \mid X) = 0$，自變數具備外生性（Strict exogeneity）。
3. 同質變異數（Homoskedasticity）：誤差項具備恆定的變異數，即 $\operatorname{Var}(\varepsilon_i \mid X) = \sigma^2$。
4. 無自相關（No autocorrelation / Independence of errors）：不同觀測值的誤差項之間彼此獨立或無關，即 $\operatorname{Cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j \mid X) = 0 \; (\forall i \neq j)$。
5. 無完全共線性（No perfect multicollinearity）：自變數矩陣 $X$ 具備滿秩（full column rank），即自變數之間不得存在完全線性相關。
6. 常態性假設（Normality of errors）：$\varepsilon \mid X \sim N(0, \sigma^2 I)$，此為進行有限樣本假設檢定（$t$ 檢定、$F$ 檢定）時的古典假定。

解題方法

回顧上述假設，檢驗題目所列各敘述：

• 線性迴歸允許自變數（$X$ 之間）存在一定程度的不完全線性相關（即常見的相關性，只要不達完全共線性即可求解 OLS 估計式 $(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{Y}$）。如果要求自變數之間「完全零相關（uncorrelated）」，在實際計量與商管應用中幾乎不可能成立，且亦非 OLS 的必要假設。
• 題目中敘述以「residuals（殘差）」代指母體「errors（誤差項）」，此為商管研究所計量選擇題中極常見的習慣用語，主要考查對誤差項假設與模型結構假定的理解。

選項分析

• (A) The residuals are normally distributed（殘差／誤差項服從常態分佈）：
  屬於古典常態線性迴歸模型（CNLRM）的標準假設之一。

核心觀念：假設檢定中的錯誤類型與檢定力的定義。

在假設檢定中，我們有兩種可能犯錯的決策：

1. 第一類錯誤 (Type I Error)：拒絕一個實際上為真的虛無假設 ($H_0$)。這個錯誤發生的機率用 $\alpha$ 表示，也稱為顯著水準 (significance level)。

   • $P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is true}) = \alpha$

2. 第二類錯誤 (Type II Error)：未能拒絕一個實際上為假的虛無假設 ($H_0$)。這個錯誤發生的機率用 $\beta$ 表示。

   • $P(\text{Fail to reject } H_0 | H_0 \text{ is false}) = \beta$

檢定力 (Power of a test) 是指當對立假設 ($H_1$) 為真時，正確地拒絕虛無假設 ($H_0$) 的機率。
換句話說，檢定力是正確偵測到真實效應 (effect) 的機率。
檢定力 = $1 - \beta$。

• Power $= P(\text{Reject } H_0 | H_0 \text{ is false}) = 1 - \beta$

核心觀念：單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的虛無假設 (Null Hypothesis) 和對立假設 (Alternative Hypothesis)。

單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的目的是比較三個或更多組別的平均數是否存在顯著差異。

在這個情境中：

• 依變數 (Dependent Variable)：學生的學術表現 (test scores)。
• 自變數 (Independent Variable)：教學方法 (Method A, Method B, Method C)，這是一個類別變數，有三個水準。
• 組別 (Groups)：三個教學方法對應三個組別。

虛無假設 ($H_0$)：所有組別的母體平均數都相等。也就是說，不同的教學方法對學生的學術表現沒有顯著影響。
在數學上表示為：$\mu_A = \mu_B = \mu_C$。

對立假設 ($H_1$)：至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同。也就是說，至少有一種教學方法對學生的學術表現有顯著影響。
在數學上表示為：$\mu_A, \mu_B, \mu_C$ 不全相等。

現在我們來檢視選項：

A) All groups have the same sample size.
* 題目中提到「A total of 90 students are randomly assigned to one of the three methods, with 30 students per group」。

核心觀念：單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的結果解讀，特別是 p-value 的意義。

ANOVA 的輸出表格提供了關鍵資訊：

• F-statistic: 7.50
• p-value: 0.001

顯著水準 (Significance Level, $\alpha$) 通常預設為 0.05。
p-value 是在虛無假設為真時，觀察到當前 F 統計量或更極端值的機率。

比較 p-value 和 $\alpha$：

• p-value = 0.001
• $\alpha = 0.05$ (標準預設值)

由於 p-value (0.001) < $\alpha$ (0.05)，我們拒絕虛無假設 ($H_0$)。
虛無假設 ($H_0$) 是「所有組別的母體平均數都相等」（即 $\mu_A = \mu_B = \mu_C$）。
拒絕 $H_0$ 意味著我們有足夠的統計證據支持對立假設 ($H_1$)。
對立假設 ($H_1$) 是「至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同」（即 $\mu_A, \mu_B, \mu_C$ 不全相等）。

現在我們來解讀結論：

A) All three teaching methods lead to the same academic performance.
* 這是虛無假設 ($H_0$) 的陳述。由於我們拒絕了 $H_0$，所以這個結論是錯誤的。

B) At least one teaching method leads to a significantly different mean test score compared to the other

核心觀念：ANOVA 和 Tukey's HSD 事後檢定的假設條件。

ANOVA (Analysis of Variance) 和 Tukey's Honestly Significant Difference (HSD) 事後檢定都是基於某些統計假設的。如果這些假設不被滿足，檢定的結果可能不可靠。

ANOVA 的主要假設有：

1. 獨立性 (Independence)：各組別內的觀測值以及組別之間的觀測值都必須是獨立的。
2. 常態性 (Normality)：每個組別的母體都應該服從常態分佈。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of Variances)：所有組別的母體變異數應該相等。這通常被稱為 $\sigma_A^2 = \sigma_B^2 = \sigma_C^2$。

Tukey's HSD 事後檢定是為了在 ANOVA 檢定出有顯著差異後，進一步比較各組別之間的配對差異。Tukey's HSD 的主要依賴於 ANOVA 的假設，特別是：

• 變異數同質性 (Homogeneity of Variances)：Tukey's HSD 假設所有組別的變異數相等，它使用合併變異數 (pooled variance) 來計算。
• 常態性 (Normality)：雖然 Tukey's HSD 對於常態性的違反相對不敏感，但常態性是 ANOVA 的基礎。
• 獨立性 (Independence)：與 ANOVA 相同。
• 相等樣本數 (Equal Sample Sizes)：Tukey's HSD 在樣本數相等時具有最佳的性質（例如，功率最高，控制虛誤率最精確）。然而，它對樣本數的不相等也相對穩健，但當樣本數差異較大時，其有效性會受到影響，並且可能需要使用近似方法或調整。

核心觀念

本題考查多元迴歸模型中的「交互作用項」（interaction term）。

模型為：

其中：

• $Y$：銷售收入
• $X_1$：廣告支出
• $X_2$：產品單價
• $X_1X_2$：廣告支出與產品單價的交互作用

當迴歸模型含有交互作用項時，$X_1$ 對 $Y$ 的影響不再只是 $X_1$ 的迴歸係數，而必須對 $X_1$ 求偏導數：

因此，廣告支出的邊際效果會隨產品單價 $X_2$ 改變。

解題方法

對模型中 $X_1$ 求偏導：

這表示：

1. 廣告支出的基本效果為 $2.5$。
2. 產品單價每增加 1 美元，廣告支出的邊際效果增加 $0.04$。
3. 由於交互作用項係數 $0.04>0$，產品單價越高，廣告支出對銷售收入的正向效果越強。

此外，$X_3$ 的 $t$ 統計量為 $4.00$，$p$ 值為 $0.001$，在一般顯著水準下具有統計顯著性。因此，不能忽略廣告支出與產品單價之間的交互作用。

重點是，$X_1$ 的係數 $2.5$ 並不是所有價格水準下固定不變的廣告效果。它只代表在 $X_2=0$ 時，廣告支出的邊際效果。

選項分析

A) Advertising expense has no significant effect on sales revenue.

錯誤。

$X_1$ 的 $t$ 統計量為 $8.33$，$p$ 值為 $0.001$，表示廣告支出的主效果具有統計顯著性。因此不能認定廣告支出對銷售收入沒有顯著影響。

B) Advertising expense increases sales revenue at a constant rate regardless of product unit price.

錯誤。

若廣告支出的效果固定不變，模型中不應存在顯著的交互作用項。但本題：

核心觀念：決定係數 $R^2$ (Coefficient of Determination) 的意義。

$R^2$ 是迴歸分析中用來衡量模型對依變數變異性的解釋程度。
$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間。
$R^2 = \frac{\text{Explained Sum of Squares (ESS)}}{\text{Total Sum of Squares (TSS)}} = \frac{TSS - RSS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS}$
其中 RSS 是殘差平方和，TSS 是總平方和。

$R^2$ 的解釋是：模型中所有自變數共同解釋了依變數總變異的百分比。

題目給定 $R^2 = 0.72$。
依變數是 Y: Sales revenue (銷售收入)。
自變數是 $X_1$: Advertising expense (廣告支出), $X_2$: Product unit price (產品單價), $X_3$: Interaction term of $X_1$ and $X_2$ (交互作用項)。

現在我們來檢視選項：

A) 72% of the variability in advertising expense is explained by sales revenue.
* 這句話是說廣告支出 (X₁) 的變異由銷售收入 (Y) 解釋。這是將依變數和自變數的角色弄反了。$R^2$ 解釋的是依變數 (Y) 的變異，由自變數 ($X_1, X_2, X_3$) 解釋。

B) 72% of the variability in sales revenue is explained by advertising expense, price, and their interaction.

核心觀念：OLS 線性迴歸的假設，特別是影響 p-value 有效性的假設。

p-value 的計算是基於 t 統計量，而 t 統計量是通過將迴歸係數的估計值除以其標準誤來獲得的：$t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$。
標準誤 $SE(\hat{\beta}_i)$ 的計算依賴於幾個 OLS 的假設。如果這些假設不成立，標準誤的估計就不準確，進而導致 t 統計量和 p-value 的計算失效。

OLS 的關鍵假設（如前題所述）包括：

1. 線性關係
2. 誤差項的條件均值為零 ($E(\epsilon|X) = 0$)
3. 誤差項的同質變異性 ($Var(\epsilon|X) = \sigma^2$)
4. 誤差項獨立性
5. 誤差項常態性 ($\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$)
6. 自變數之間無完美共線性

p-value 的有效性主要依賴於：

• 假設 3 (同質變異性)：如果存在異質變異性 (heteroscedasticity)，則標準誤的估計會不準確，導致 t 檢定和 F 檢定的 p-value 失效。
• 假設 5 (常態性)：雖然對於大樣本，t 檢定和 F 檢定對常態性的違反相對穩健（由中央極限定理保證），但對於小樣本，常態性是推斷（包括 p-value 計算）的必要假設。
• 假設 4 (獨立性)：對於時間序列數據，誤差項的獨立性是關鍵。
• 假設 6 (無完美共線性)：如果存在完美共線性，係數根本無法估計，更談不上 p-value。

現在我們來檢視選項：

A) X₃ must be statistically significant.
* 這是一個結果，而不是一個假設。p-value 的有效性是為了判斷 $X_3$ 是否顯著，而不是 $X_3$ 顯著是 p-value 有效的前提。