110 年 國立政治大學應用數學系碩士班《線性代數》

此題考驗線性變換的定義與性質。若要證明線性變換存在，需確認給定的向量在定義域的基底上是否線性獨立。若線性獨立，則可唯一確定此線性變換。

解題步驟：

1. 確認向量 $(1,1)$ 與 $(2,3)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中是否線性獨立。
2. 若線性獨立，則此線性變換 $T$ 由這兩個向量的像唯一確定。
3. 將目標向量 $(8,11)$ 表示成給定向量的線性組合。
4. 利用線性變換的性質計算 $T(8,11)$。

步驟 1：檢查線性獨立性
考慮向量 $(1,1)$ 和 $(2,3)$。我們可以將它們寫成矩陣的列向量：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

計算此矩陣的行列式：$1 \times 3 - 2 \times 1 = 3 - 2 = 1 \neq 0$。
由於行列式不為零，向量 $(1,1)$ 和 $(2,3)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中是線性獨立的。因此，存在一個唯一的線性變換 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 使得 $T(1,1) = (1,0,2)$ 和 $T(2,3) = (1,-1,4)$。

步驟 2：將 $(8,11)$ 表示成 $(1,1)$ 和 $(2,3)$ 的線性組合
我們需要找到實數 $a$ 和 $b$ 使得：

核心觀念

本題考察線性變換的合成與矩陣乘法不具交換律。

對線性變換 $U,T:\mathbb{F}^2\to\mathbb{F}^2$，$UT$ 表示先作用 $T$，再作用 $U$：

$$(UT)(v)=U(T(v)).$$

要使 $UT=T_0$，必須滿足

$$\operatorname{Im}(T)\subseteq \ker(U).$$

同時要使 $TU\neq T_0$，則必須存在向量 $v$，使得

$$T(U(v))\neq 0.$$

因此，可設計 $T$ 將所有向量送入 $\ker(U)$，但 $U$ 的某些輸出仍可被 $T$ 送成非零向量。

解題方法

取 $\mathbb{F}^2$ 的標準基底

$$e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}.$$

定義線性變換 $T,U$：

$$T(e_1)=e_1,\qquad T(e_2)=0,$$

以及

$$U(e_1)=0,\qquad U(e_2)=e_1.$$

因此其矩陣分別為

$$[T]= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad [U]= \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

先計算 $UT$：

$$[UT]=[U][T] = \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

故

$$UT=T_0.$$

再計算 $TU$：

核心觀念

本題使用行列式的基本性質：

• $\det(XY)=\det(X)\det(Y)$。
• $\det(cX)=c^n\det(X)$，其中 $X\in M_{n\times n}(\mathbb F)$。
• 矩陣 $X$ 可逆當且僅當 $\det(X)\neq 0$。
• 因為 $n$ 為奇數，所以 $(-1)^n=-1$。
• $\mathbb F$ 的特徵不是 $2$，表示 $2\neq 0$，因此 $2x=0$ 必可推出 $x=0$。

解題方法

採用反證法。假設 $A$ 與 $B$ 皆可逆，則 $AB$ 也可逆，因此

$$\det(AB)\neq 0.$$

由題設

$$AB=-BA$$

兩邊取行列式，得到

$$\det(AB)=\det(-BA).$$

因為矩陣大小為 $n\times n$，故

$$\det(-BA)=(-1)^n\det(BA).$$

又因為 $n$ 為奇數，$(-1)^n=-1$，所以

$$\det(AB)=-\det(BA).$$

另一方面，行列式具有交換乘積順序的性質：

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\det(BA).$$

代入上式可得

$$\det(AB)=-\det(AB),$$

因此

$$2\det(AB)=0.$$

此題是線性代數中的一個基本定理，說明了任何可逆矩陣都可以表示為基本矩陣 (elementary matrices) 的乘積。這在矩陣的化簡、求逆矩陣以及理解矩陣的結構方面非常重要。

核心觀念：

1. 基本矩陣：基本矩陣是通過對單位矩陣進行一次基本列運算（或基本列交換）得到的矩陣。基本列運算有三種：
   • 交換兩行。
   • 將某一行乘以一個非零的常數。
   • 將某一行的一個倍數加到另一行。
2. 基本列運算與矩陣乘法：對一個矩陣 $A$ 進行一次基本列運算，等價於用一個對應的基本矩陣從左邊乘以 $A$。例如，若 $E$ 是通過交換 $I$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行得到的基本矩陣，則 $EA$ 是將 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行交換得到的矩陣。
3. 可逆矩陣：一個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 是可逆的，當且僅當它的行列式不為零，或者當且僅當它的秩 (rank) 為 $n$。

證明思路：
我們可以使用高斯消去法 (Gaussian elimination) 的思想來證明。任何矩陣都可以通過一系列基本列運算化簡為一個行階梯形矩陣 (row echelon form)。對於一個可逆矩陣，其行階梯形矩陣必須是單位矩陣 $I$（或者可以通過進一步的行運算化簡為 $I$）。

證明步驟：
令 $A$ 是一個 $n \times n$ 的可逆矩陣。
我們知道，通過一系列基本列運算，矩陣 $A$ 可以被化簡為一個行階梯形矩陣。
由於 $A$ 是可逆的，它的秩是 $n$。這意味著通過一系列基本列運算， $A$ 可以被化簡為單位矩陣 $I$。
每一次基本列運算都可以表示為左乘一個對應的基本矩陣。
所以，存在一系列基本矩陣 $E_k, E_{k-1}, \dots, E_1$，使得：
$E_k E_{k-1} \dots E_1 A = I$

由於 $E_i$ 都是基本矩陣，它們都是可逆的。
從上面的等式，我們可以將 $A$ 表示為基本矩陣的乘積：
$A = (E_k E_{k-1} \dots E_1)^{-1} I$
$A = E_1^{-1} E_2^{-1} \dots E_k^{-1}$

基本矩陣的逆矩陣也是基本矩陣。
例如：

• 交換兩行的基本矩陣的逆是它本身（再次交換）。
• 將某一行乘以常數 $c \neq 0$ 的基本矩陣的逆是將該行乘以 $1/c$ 的基本矩陣。
• 將某一行的一個倍數加到另一行的基本矩陣的逆是將該行減去該倍數加到另一行的基本矩陣。

因此，$E_i^{-1}$ 也是基本矩陣。
所以，$A$ 可以表示為基本矩陣的乘積：
$A = F_1 F_2 \dots F_k$, 其中 $F_i = E_i^{-1}$ 是基本矩陣。

這證明了任何可逆矩陣 $A$ 都可以表示為基本矩陣的乘積。

【詳細證明】
令 $A$ 是一個 $n \times n$ 的可逆矩陣。
我們知道，通過一系列基本列運算，任何矩陣都可以被化簡為一個行階梯形矩陣。

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值、特徵投影，以及利用特徵值求矩陣高次方。若矩陣 $A$ 可對角化，則可寫成

$$A=PDP^{-1},$$

因此

$$A^n=PD^nP^{-1}.$$

本題矩陣的兩個特徵值不同，故必可對角化。

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解題方法

給定

$$A=\begin{pmatrix}1&4\\2&3\end{pmatrix}.$$

先求特徵多項式：

$$\det(\lambda I-A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1&-4\\ -2&\lambda-3 \end{pmatrix}.$$

因此

$$\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)(\lambda-3)-8 =\lambda^2-4\lambda-5.$$

因式分解得

$$\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1).$$

所以 $A$ 的特徵值為

$$\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=-1.$$

由於兩個特徵值相異，$A$ 可對角化。

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利用特徵投影求 $A^n$

對應於特徵值 $5$ 與 $-1$ 的投影矩陣分別為

$$P_5=\frac{A-(-1)I}{5-(-1)} =\frac{A+I}{6},$$

以及

$$P_{-1}=\frac{A-5I}{-1-5} =\frac{5I-A}{6}.$$

計算可得

$$A+I= \begin{pmatrix} 2&4\\ 2&4 \end{pmatrix}, \qquad 5I-A= \begin{pmatrix} 4&-4\\ -2&2 \end{pmatrix}.$$

故

$$P_5= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2&4\\ 2&4 \end{pmatrix}, \qquad P_{-1}= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4&-4\\ -2&2 \end{pmatrix}.$$

此題考驗線性變換的性質，特別是與範數 (norm) 相關的性質，以及如何證明一個線性變換是單射 (one-to-one)。

核心觀念：

1. 單射 (One-to-one)：一個函數 $f: X \rightarrow Y$ 是單射的，如果對於 $X$ 中的任意兩個不同的元素 $x_1, x_2$，都有 $f(x_1) \neq f(x_2)$。這等價於說，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，則 $x_1 = x_2$。
2. 核空間 (Kernel/Null Space)：對於一個線性變換 $T: V \rightarrow W$，其核空間 $\text{Ker}(T)$ 定義為 $\{v \in V \mid T(v) = 0\}$。
3. 線性變換是單射的充要條件：一個線性變換 $T$ 是單射的，當且僅當它的核空間只包含零向量，即 $\text{Ker}(T) = \{0\}$。
4. 範數 (Norm)：在內積空間 $V$ 中，範數 $\|x\|$ 由內積定義為 $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$。

證明思路：
要證明 $T$ 是單射的，我們需要證明 $\text{Ker}(T) = \{0\}$。
也就是說，我們需要證明如果 $T(x) = 0$ 對某個向量 $x \in V$ 成立，那麼 $x$ 必定是零向量。

證明步驟：

1. 假設 $x \in V$ 且 $T(x) = 0$。
2. 利用題目給定的條件 $\|T(x)\| = \|x\|$。
3. 將 $T(x) = 0$ 代入條件中。
4. 推導出 $x = 0$。

【詳細證明】
令 $V$ 是一個內積空間， $T: V \rightarrow V$ 是一個線性算子。
給定條件是 $\|T(x)\| = \|x\|$ 對於所有的 $x \in V$ 都成立。
我們要證明 $T$ 是單射的。