112 年 國立成功大學數學系應用數學研究所《高等微積分》

本題考查連通空間與路徑連通空間的關係。題目給定一個度量空間 $(M, d)$ 滿足局部路徑連通的性質，並假設 $M$ 是連通的，要求證明 $M$ 也是路徑連通的。

證明：
假設 $M$ 是連通的。我們需要證明 $M$ 是路徑連通的。
考慮 $M$ 中的任意兩點 $a, b \in M$。我們需要證明存在一條從 $a$ 到 $b$ 的連續路徑。

由題設，對於 $M$ 中的任意一點 $x$，存在一個包含 $x$ 的開鄰域 $U_x$，且 $U_x$ 是路徑連通的。
設 $A$ 為 $M$ 中所有能與點 $a$ 透過一條路徑連接的點的集合。
我們將證明 $A$ 是 $M$ 的一個開集和閉集。

首先證明 $A$ 是開集。
設 $x \in A$。則存在一條從 $a$ 到 $x$ 的連續路徑 $\gamma: [0, 1] \to M$，使得 $\gamma(0) = a$ 且 $\gamma(1) = x$。
由題設，存在 $x$ 的一個開鄰域 $U_x$，且 $U_x$ 是路徑連通的。
由於 $U_x$ 是開集，對於路徑 $\gamma$ 的終點 $x$，存在一個 $\epsilon > 0$ 使得 $\gamma([1-\epsilon, 1]) \subseteq U_x$。
由於 $U_x$ 是路徑連通的，且 $x \in U_x$，因此 $U_x$ 中的所有點都可以與 $x$ 透過一條路徑連接。
特別地，對於任意 $y \in U_x$，存在一條從 $x$ 到 $y$ 的路徑 $\rho: [0, 1] \to U_x$。
我們可以在 $U_x$ 內部構造一條從 $a$ 到 $y$ 的路徑。
首先，考慮路徑 $\gamma$ 的一部分 $\gamma|_{[0, 1-\epsilon]}$，它從 $a$ 連接到 $\gamma(1-\epsilon)$。
然後，考慮路徑 $\gamma$ 在 $\gamma(1-\epsilon)$ 處與 $U_x$ 內部的路徑連接。
由於 $\gamma(1-\epsilon) \in U_x$，且 $U_x$ 路徑連通，存在從 $\gamma(1-\epsilon)$ 到 $y$ 的路徑。
更精確地說，由於 $U_x$ 是路徑連通的，對於任意 $z \in U_x$，存在一條從 $x$ 到 $z$ 的路徑。
我們可以構造一條從 $a$ 到 $y$ 的路徑，它由 $\gamma$ 的一部分和 $U_x$ 內部的路徑組成。

本題考查級數收斂判別，特別是利用壓縮映射定理（Contractive Mapping Theorem）或相關性質來證明數列的收斂性。題目給出一個數列 $\{a_n\}$ 滿足 $|a_n| < 1$ 以及一個遞迴關係式 $|a_{n+2} - a_{n+1}| < \frac{1}{3} |a_{n+1} - a_n|$。

核心觀念：

1. 數列的收斂性：在 $\mathbb{R}$ 中，一個數列收斂若且唯若它是 Cauchy 數列。
2. 壓縮映射性質：遞迴關係式 $|a_{n+2} - a_{n+1}| < \frac{1}{3} |a_{n+1} - a_n|$ 表明相鄰項之間的距離以至少 $1/3$ 的比例縮小，這暗示了數列的差值會趨近於零，進而可能使數列本身成為 Cauchy 數列。

證明步驟：
我們將證明 $\{a_n\}$ 是一個 Cauchy 數列。
首先，考慮數列的差值 $|a_{n+1} - a_n|$。
由給定的不等式：
$|a_{n+2} - a_{n+1}| < \frac{1}{3} |a_{n+1} - a_n|$

我們可以迭代這個不等式：
$|a_{3} - a_{2}| < \frac{1}{3} |a_{2} - a_{1}|$
$|a_{4} - a_{3}| < \frac{1}{3} |a_{3} - a_{2}| < (\frac{1}{3})^2 |a_{2} - a_{1}|$
$|a_{5} - a_{4}| < \frac{1}{3} |a_{4} - a_{3}| < (\frac{1}{3})^3 |a_{2} - a_{1}|$
一般地，對於 $n \ge 1$，我們有
$|a_{n+1} - a_n| < (\frac{1}{3})^{n-1} |a_2 - a_1|$.

現在，我們考慮任意兩個較大的下標 $m, n$ 之間的差值，假設 $m > n \ge 1$。
$|a_m - a_n| = |a_m - a_{m-1} + a_{m-1} - \dots + a_{n+1} - a_n|$
利用三角不等式：
$|a_m - a_n| \le |a_m - a_{m-1}| + |a_{m-1} - a_{m-2}| + \dots + |a_{n+1} - a_n|$

利用上面得到的關於差值的界：
$|a_m - a_n| \le (\frac{1}{3})^{m-2} |a_2 - a_1| + (\frac{1}{3})^{m-3} |a_2 - a_1| + \dots + (\frac{1}{3})^{n-1} |a_2 - a_1|$

本題考查無窮級數的一致收斂性，特別是利用 Weierstraß M-test。

核心觀念：

1. 級數的一致收斂：一個級數 $\sum f_n(x)$ 在某區間上一致收斂，若對於任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$ 使得對於任意 $n > N$ 和任意 $x$ 該區間內，都有 $|\sum_{k=n+1}^m f_k(x)| < \epsilon$。
2. Weierstraß M-test：若存在一組正數 $M_n$ 使得 $|f_n(x)| \le M_n$ 對於所有 $x$ 成立，且級數 $\sum M_n$ 收斂，則級數 $\sum f_n(x)$ 在該區間上一致收斂。

證明或反證：
我們考慮級數的通項 $f_n(x) = \frac{1}{n^2} \sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos(nx)$。
我們將嘗試使用 Weierstraß M-test 來判斷其一致收斂性。
對於任意 $x \in [-\pi, \pi]$，我們有 $|\cos(nx)| \le 1$。
因此，
$|f_n(x)| = \left| \frac{1}{n^2} \sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos(nx) \right| \le \frac{1}{n^2} \sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)$

現在我們需要分析 $\sin^2\left(\frac{\pi}{2n}\right)$ 的行為，特別是當 $n$ 很大時。
我們知道當 $\theta$ 很小時，$\sin(\theta) \approx \theta$。
在這裡，當 $n$ 很大時，$\frac{\pi}{2n}$ 很小。

本題考查線性變換的性質，特別是其有界性以及在單位球面上的最大值。

核心觀念：

1. 線性變換的有界性：線性變換 $T: V \to W$ 是有界的，如果存在常數 $M$ 使得對於所有 $v \in V$，都有 $||T(v)|| \le M||v||$。
2. 算子範數：線性變換的算子範數定義為 $||T|| = \sup_{||v||=1} ||T(v)||$。
3. 緊緻集合上的連續函數：在一個緊緻集合上的連續函數必能達到其最大值和最小值。

證明：

(a) 證明存在 $M > 0$ 使得 $||T(x)|| \le M||x||$ 對於任何 $x \in \mathbb{R}^n$。

考慮 $\mathbb{R}^n$ 的標準基底 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$，其中 $e_i$ 是第 $i$ 個分量為 1，其餘為 0 的向量。
對於任意的 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$，我們可以將 $x$ 表示為 $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$。
由於 $T$ 是線性變換，我們有：
$T(x) = T\left(\sum_{i=1}^n x_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n x_i T(e_i)$.

利用三角不等式和線性變換的性質：
$||T(x)|| = \left|\left|\sum_{i=1}^n x_i T(e_i)\right|\right| \le \sum_{i=1}^n |x_i| ||T(e_i)||$.

令 $C = \max_{1 \le i \le n} ||T(e_i)||$. 則 $|x_i| \le ||x||$ 對於所有 $i$ 成立（因為 $||x|| = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} \ge \sqrt{x_i^2} = |x_i|$）。
所以，
$||T(x)|| \le \sum_{i=1}^n ||x|| C = C ||x|| \sum_{i=1}^n 1 = nC ||x||$.

令 $M = nC = n \max_{1 \le i \le n} ||T(e_i)||$. 則 $M > 0$（除非 $T$ 是零變換，此時 $M=0$ 也可以，但題目要求 $M>0$，若 $T$ 非零變換則 $C>0$ 且 $n \ge 1$ 則 $M>0$）。
因此，我們證明了對於任何 $x \in \mathbb{R}^n$，都有 $||T(x)|| \le M||x||$.

**(b) 定義 $||T|| = \sup_{x \in S^{n-1}} ||T(x)||$，其中 $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^n : ||x|| = 1\}$。

核心觀念

此題考查向量值函數的可微性、導數矩陣，以及秩一矩陣的行列式。題目寫成 $f:B\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，但定義中的輸出是向量 $x\in\mathbb R^n$，而 $J_f(x)=\det Df(x)$ 也要求導數矩陣為方陣。因此以下依題意採用 $m=n$；若 $m\ne n$，則此函數的輸出空間與 Jacobian 行列式的定義不相容。

解題方法

令

$$g(x)=(1-\|x\|^2)^{-1/2}, \qquad f(x)=g(x)x.$$

對所有 $x\in B$，都有 $1-\|x\|^2>0$。因此 $g$ 在 $B$ 上光滑，向量值函數 $f$ 也是光滑的，特別是在 $B$ 中每一點都可微。

對 $x$ 的方向 $h\in\mathbb R^n$ 微分。由

$$Dg(x)[h] = -\frac12(1-\|x\|^2)^{-3/2}(-2x\cdot h) = (1-\|x\|^2)^{-3/2}(x\cdot h),$$

以及乘積法則，

$$Df(x)[h] = g(x)h+xDg(x)[h] = (1-\|x\|^2)^{-1/2}h + (1-\|x\|^2)^{-3/2}x(x\cdot h).$$

故相對於 $\mathbb R^n$ 標準基底，導數矩陣為

$$Df(x) = (1-\|x\|^2)^{-1/2}I_n + (1-\|x\|^2)^{-3/2}xx^{\mathsf T}.$$

逐項寫出，矩陣元素為

$$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) = \frac{\delta_{ij}}{\sqrt{1-\|x\|^2}} + \frac{x_i x_j}{(1-\|x\|^2)^{3/2}}, \qquad 1\le i,j\le n.$$

核心觀念

這題考查圖形曲面的表面積分。若曲面寫成

$$z=f(x,y),$$

則表面元素為

$$d\sigma=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy.$$

本題

$$f(x,y)=x^2+y^2,$$

因此

$$f_x=2x,\qquad f_y=2y,$$

且曲面的投影區域為

$$D=\{(x,y):1\le x\le 3,\ -\infty<y<\infty\}.$$

注意 $y$ 沒有上下界，所以這是一個無界曲面，必須以瑕積分判斷是否收斂。

解題方法

由圖形曲面的表面積分公式，

$$\iint_S \frac{1}{x^2+y^2}\,d\sigma = \iint_D \frac{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}{x^2+y^2}\,dx\,dy.$$

由於 $1\le x\le 3$，分母不會在 $y=0$ 時為零，故唯一需要檢查的是 $|y|\to\infty$ 時的收斂性。

固定任意 $x\in[1,3]$。當 $|y|\ge 3$ 時，

$$x^2+y^2\le y^2+y^2=2y^2,$$

而且

$$\sqrt{1+4x^2+4y^2}\ge 2|y|.$$

因此被積函數滿足