114 年 國立清華大學數學系碩士班《線性代數》

此題考查線性變換的核空間（null space）與像空間（range）的性質，以及維度定理。

核心觀念：

1. 核空間與像空間的維度關係：對於任意線性變換 $T: V \to W$，維度定理指出 $\dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T) = \dim V$。
2. 線性變換的存在性：當我們給定一個向量空間 $V$ 和其子空間 $W$，我們需要證明在特定條件下，存在一個線性變換 $T$ 使得 $\text{null } T = W$ 且 $\text{range } T = W$。

證明方向：
我們需要證明兩部分：
($\Rightarrow$) 如果存在這樣的線性變換 $T$，則 $\dim V = 2 \dim W$。
($\Leftarrow$) 如果 $\dim V = 2 \dim W$，則存在這樣的線性變換 $T$。

($\Rightarrow$) 證明：
假設存在一個線性變換 $T: V \to V$ 使得 $\text{null } T = W$ 且 $\text{range } T = W$。
根據維度定理，我們有：
$\dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T) = \dim V$
將題目條件代入：
$\dim W + \dim W = \dim V$
$2 \dim W = \dim V$
這就證明了第一部分。

($\Leftarrow$) 證明：
假設 $\dim V = 2 \dim W$。我們需要構造一個線性變換 $T: V \to V$ 使得 $\text{null } T = W$ 且 $\text{range } T = W$。

由於 $V$ 是有限維向量空間，且 $W$ 是其子空間，我們知道 $\dim V = 2 \dim W$。
我們可以選擇 $V$ 的一組基底。由於 $\dim W$ 是 $W$ 的維度，存在 $W$ 的一組基底 $\{w_1, w_2, \dots, w_k\}$，其中 $k = \dim W$。
由於 $\dim V = 2k$，我們可以將這組基底擴展成 $V$ 的一組基底。
選擇 $V$ 的一組基底為 $\{w_1, \dots, w_k, v_1, \dots, v_k\}$。
注意，這裡的 $w_i$ 組成了 $W$ 的基底，而 $v_i$ 則是額外選擇的向量，使得整個集合成為 $V$ 的基底。

現在我們來定義線性變換 $T$。我們可以透過定義 $T$ 在基底向量上的作用來定義 $T$。
我們希望 $\text{null } T = W$。這意味著對於任意 $x \in W$，都有 $T(x) = 0$。
由於 $\{w_1, \dots, w_k\}$ 是 $W$ 的基底，我們定義 $T(w_i) = 0$ 對於 $i = 1, \dots, k$。

我們還希望 $\text{range } T = W$。這意味著 $T$ 的像空間由 $W$ 中的向量生成，並且其維度為 $k = \dim W$。
我們需要定義 $T$ 在 $\{v_1, \dots, v_k\}$ 上的作用，使得 $T(v_i)$ 能夠生成 $W$，並且 $T(v_i)$ 們線性獨立。
我們定義 $T(v_i) = w_i$ 對於 $i = 1, \dots, k$。

現在我們來驗證這個定義的 $T$ 是否滿足要求。

1. 核空間 (Null Space)：
   對於任意 $x \in W$，我們可以將 $x$ 表示為 $x = c_1 w_1 + \dots + c_k w_k$。

核心觀念

本題使用兩個基本事實：

1. 對方陣 $C\in F^{m\times m}$，若 $\det C=0$，則 $C$ 不可逆，因此齊次系統 $Cx=0$ 有非零解。
2. 若 $B\in F^{n\times m}$ 且 $\operatorname{rank}B=m$，則 $B$ 的 $m$ 個欄向量線性獨立，故 $Bx=0$ 只有零解。也就是說，$B$ 的零空間只有 $\{0\}$。

解題方法

由 $\det C=0$，可知 $C$ 奇異，因此存在非零向量 $v\in F^m$ 使得

$$Cv=0.$$

此題考查線性方程組無解的情況、最小二乘法（或稱投影定理）的應用，以及向量範數的性質。

核心觀念：

1. 線性方程組無解：方程組 $Ax = b$ 無解，表示向量 $b$ 不在矩陣 $A$ 的列空間 (column space) $\text{Col}(A)$ 中。
2. 最小二乘法解：對於 $Ax=b$ 無解的情況，方程組 $(A^tA)x = A^tb$ 的解 $x=v$ 是 $Ax=b$ 的最小二乘法解。這表示 $v$ 使得 $||Av - b||$ 最小。根據投影定理，向量 $Av$ 是 $b$ 在 $\text{Col}(A)$ 上的投影。
3. 投影定理：若 $b$ 不在 $\text{Col}(A)$ 中，則 $b = p + e$，其中 $p = Av$ 是 $b$ 在 $\text{Col}(A)$ 上的投影，且 $e = b - Av$ 垂直於 $\text{Col}(A)$（即 $A^te = 0$）。
4. 向量範數：$||x|| = \sqrt{x^t x}$。

題目給定：

1. $Ax = b$ 無解。
2. $(A^tA)v = A^tb$ 的解是 $v \in \mathbb{R}^n$。
3. $b \in \mathbb{R}^m$, $v \in \mathbb{R}^n$。

要求證明：$||b|| > ||Av||$。

證明思路：

由於 $Ax=b$ 無解，這意味著 $b \notin \text{Col}(A)$。
根據最小二乘法的原理，方程組 $(A^tA)x = A^tb$ 的解 $v$ 使得 $||Av - b||$ 最小。
這表示 $Av$ 是 $b$ 在 $\text{Col}(A)$ 上的投影。

令 $p = Av$ 為 $b$ 在 $\text{Col}(A)$ 上的投影。
令 $e = b - Av$ 為誤差向量。
由於 $p$ 是 $b$ 在 $\text{Col}(A)$ 上的投影，向量 $e$ 必須垂直於 $\text{Col}(A)$。
垂直於 $\text{Col}(A)$ 意味著 $e$ 在 $A^t$ 的零空間 (null space of $A^t$) 中。
即，$A^te = 0$。
$A^t(b - Av) = 0$。
$A^tb - A^t(Av) = 0$。
$A^tb = A^tAv$。
這與題目給定的 $(A^tA)v = A^tb$ 是相符的，這確認了 $v$ 的確是最小二乘法解。

現在我們有 $b = Av + e$，其中 $e \perp \text{Col}(A)$。
這意味著 $e$ 與 $\text{Col}(A)$ 中的任何向量都正交。
特別地，由於 $Av \in \text{Col}(A)$，所以 $e$ 與 $Av$ 正交。
即，$e^t (Av) = 0$。

核心觀念

對每個特徵值 $\lambda\in F$，其特徵空間為

$$E_\lambda=\ker(T-\lambda I).$$

同一特徵值的線性獨立特徵向量最多有 $\dim E_\lambda$ 個；而不同特徵值的特徵空間彼此線性獨立。因此，$T$ 的線性獨立特徵向量的最大數目，等於所有特徵空間之和的維度。

解題方法

令 $\Lambda$ 為 $T$ 在 $F$ 上的所有特徵值，並令

$$W=\sum_{\lambda\in\Lambda} E_\lambda.$$

依題意，$\dim W=n-1$。每個特徵空間都在 $T$ 作用下保持不變，所以 $W$ 也是 $T$ 的不變子空間。

在 $W$ 上，$T$ 可由各特徵空間的基底組成的基底表示成對角矩陣。因此，$T|_W$ 的特徵多項式為

$$\chi_{T|_W}(x)=\prod_{\lambda\in\Lambda}(x-\lambda)^{\dim E_\lambda},$$

故它在 $F$ 上完全分裂。

由於 $\dim(V/W)=1$，$T$ 在商空間 $V/W$ 上的誘導映射必為某個 $\mu\in F$ 的純量乘法。取一組先由 $W$ 的基底、再接上一個不屬於 $W$ 的向量所組成的 $V$ 基底，$T$ 的矩陣呈分塊上三角形，因而

此題考查實數正交矩陣的性質、矩陣的冪次為單位矩陣的條件，以及特徵向量的特性。

核心觀念：

1. 正交矩陣 (Orthogonal Matrix)：一個實數方陣 $A$ 是正交矩陣，如果 $A^t A = A A^t = I$。正交矩陣保持向量的長度與夾角。
2. 正交矩陣的特徵值：若 $A$ 是實數正交矩陣，則其特徵值 $\lambda$ 的絕對值 $|\lambda|=1$。若特徵值是實數，則 $\lambda = \pm 1$。若特徵值是複數，則形如 $e^{i\theta}$。
3. 矩陣的冪次為單位矩陣：若 $A^k = I$，則 $A$ 的所有特徵值 $\lambda$ 必須滿足 $\lambda^k = 1$。
4. 特徵向量：若 $v$ 是矩陣 $A$ 的一個特徵向量，則 $Av = \lambda v$，其中 $\lambda$ 是對應的特徵值。
5. $3 \times 3$ 實數正交矩陣的結構：一個 $3 \times 3$ 的實數正交矩陣 $A$ 可以表示為：
   • 如果 $A$ 有一個特徵值為 $1$，則 $A$ 代表繞某個軸旋轉。
   • 如果 $A$ 沒有特徵值為 $1$，則 $A$ 必須是關於某個平面鏡面反射，或者旋轉加鏡面反射。
   • 對於 $3 \times 3$ 的實數正交矩陣，其特徵值組合有幾種可能：
     • 三實根：$(1, 1, 1)$, $(1, -1, -1)$, $(-1, -1, -1)$。
     • 一實根，兩複共軛根：$(1, e^{i\theta}, e^{-i\theta})$ 或 $(-1, e^{i\theta}, e^{-i\theta})$。
   • 由於 $A$ 是實數矩陣，複數特徵值必須成對出現（共軛）。

題目給定條件：

1. $A$ 是 $3 \times 3$ 的實數正交矩陣。
2. $A^4 = I$。
3. $A^2 \neq I$。
4. $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 是 $A$ 的一個特徵向量。

要求：找出滿足上述條件的矩陣 $A$ 的數量。

分析：

步驟 1：分析 $A^4 = I$ 和 $A^2 \neq I$ 的條件。
若 $A^4 = I$，則 $A$ 的所有特徵值 $\lambda$ 必須滿足 $\lambda^4 = 1$。
在複數域中，$\lambda^4 = 1$ 的解是 $\lambda \in \{1, -1, i, -i\}$。
由於 $A$ 是實數矩陣，其特徵值可能是實數或複數共軛對。
所以 $A$ 的特徵值只能是 $1, -1, i, -i$ 的組合。

若 $A^2 \neq I$，則 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 不能滿足 $\lambda^2 = 1$ 且所有特徵值的代數重數都為 2。
也就是說，$A$ 不能只有特徵值 $1$ (重數 3) 或 $-1$ (重數 3) 或 $1$ (重數 2) 和 $-1$ (重數 1) 或 $1$ (重數 1) 和 $-1$ (重數 2)。
簡單來說，如果 $A^2=I$，則特徵值只能是 $\pm 1$。
因為 $A^2 \neq I$，所以 $A$ 必須至少有一個特徵值是 $i$ 或 $-i$。

步驟 2：結合正交矩陣的性質。
$A$ 是實數正交矩陣，所以其特徵值的絕對值為 1。這與 $\lambda^4 = 1$ 的條件一致。
對於 $3 \times 3$ 的實數正交矩陣，其特徵值有以下幾種組合：

• 三個實根：$(1, 1, 1)$, $(1, -1, -1)$, $(-1, -1, -1)$。
• 一個實根，一對複共軛根：$(1, e^{i\theta}, e^{-i\theta})$ 或 $(-1, e^{i\theta}, e^{-i\theta})$，其中 $\theta \in (0, \pi)$。

步驟 3：結合 $A^4 = I$ 和 $A^2 \neq I$。

• 特徵值必須滿足 $\lambda^4 = 1$，即 $\lambda \in \{1, -1, i, -i\}$。
• 特徵值不能只由 $\pm 1$ 組成（如果 $A^2=I$）。

考慮 $3 \times 3$ 的情況：

• 特徵值組合必須是：
  • $(1, i, -i)$：$1^4=1$, $i^4=1$, $(-i)^4=1$. $1^2=1$, $i^2=-1 \neq 1$, $(-i)^2=-1 \neq 1$. 滿足 $A^4=I, A^2 \neq I$.
  • $(-1, i, -i)$：$(-1)^4=1$, $i^4=1$, $(-i)^4=1$. $(-1)^2=1$, $i^2=-1 \neq 1$, $(-i)^2=-1 \neq 1$. 滿足 $A^4=I, A^2 \neq I$.
  • $(1, -1, \lambda)$ 這樣的組合，其中 $\lambda^4=1$ 且 $\lambda \neq \pm 1$。這不可能，因為 $3 \times 3$ 矩陣的特徵值總數是 3。如果只有 $1, -1$ 作為實根，則剩下的根必須成對出現的複數。
  • $(1, 1, 1)$ -> $A=I$, $A^2=I$. 不合。
  • $(1, -1, -1)$ -> $A^2=I$. 不合。
  • $(-1, -1, -1)$ -> $A^2=I$. 不合。

所以，可能的特徵值組合為：
Case 1: $\{1, i, -i\}$
Case 2: $\{-1, i, -i\}$

步驟 4：考慮特徵向量 $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$。
$v$ 是 $A$ 的一個特徵向量。令對應的特徵值為 $\lambda_v$。
則 $Av = \lambda_v v$。
由於 $A$ 是正交矩陣，其特徵值 $\lambda_v$ 的絕對值必須是 1。
同時，由於 $A^4 = I$， $\lambda_v$ 必須滿足 $\lambda_v^4 = 1$。
結合這兩個條件，$\lambda_v$ 必須是 $1$ 或 $-1$。
($\lambda_v \in \{1, -1, i, -i\}$ 且 $|\lambda_v|=1$) $\implies \lambda_v \in \{1, -1\}$。

步驟 5：結合特徵值組合與特徵向量的特徵值。
我們有兩種可能的特徵值集合：
Case 1: $\{1, i, -i\}$。此時，特徵值 $1$ 的代數重數為 1。
Case 2: $\{-1, i, -i\}$。此時，特徵值 $-1$ 的代數重數為 1。

由於 $v$ 是特徵向量，其對應的特徵值 $\lambda_v$ 必須是 $1$ 或 $-1$。
這說明 $A$ 必須至少有一個特徵值是 $1$ 或 $-1$。
這兩種情況都包含 $1$ 或 $-1$。

現在我們來分析 $A$ 的結構。
一個 $3 \times 3$ 的實數正交矩陣 $A$ 如果有一個實特徵值 $\lambda_0$，則存在對應的實特徵向量 $v_0$。
如果 $A$ 的特徵值是 $(1, i, -i)$：

• 特徵值 $1$ 對應一個實特徵向量 $v_1$。
• 特徵值 $i$ 和 $-i$ 對應一對複共軛特徵向量 $v_2, v_3$。
  我們可以選擇 $v_2 = x + iy$ 和 $v_3 = x - iy$，其中 $x, y$ 是實向量。
  $A$ 可以被相似變換到一個 Quasi-diagonal 矩陣：
  $A \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
  其中 $e^{i\theta} = i$, 所以 $\theta = \pi/2$。
  $A \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
  這個矩陣對應於繞 $x$-軸旋轉 $\pi/2$。

如果 $A$ 的特徵值是 $(-1, i, -i)$：

• 特徵值 $-1$ 對應一個實特徵向量 $v_1'$。
• 特徵值 $i$ 和 $-i$ 對應一對複共軛特徵向量 $v_2', v_3'$。
  $A$ 可以被相似變換到：
  $A \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
  其中 $e^{i\theta} = i$, 所以 $\theta = \pi/2$。
  $A \sim \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
  這個矩陣對應於繞 $x$-軸旋轉 $\pi/2$ 後再乘以 $-I$（或者說，繞 $x$-軸旋轉 $\pi/2$ 後，再乘以一個關於 $yz$ 平面的鏡面反射）。

步驟 6：應用特徵向量 $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$。
$v$ 是 $A$ 的一個特徵向量，其對應的特徵值 $\lambda_v$ 只能是 $1$ 或 $-1$。

情況 A：$\lambda_v = 1$
如果 $v$ 是特徵值為 $1$ 的特徵向量，那麼 $A$ 必須包含特徵值 $1$。
在 $3 \times 3$ 的情況下，特徵值組合可能是 $(1, i, -i)$。

核心觀念

本題使用以下事實：

1. 矩陣的欄向量總和等於 $A$ 乘上全 $1$ 向量：

   $$\text{欄向量總和}=A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$$

2. 實對稱矩陣可正交對角化，因此其特徵向量空間彼此正交。

3. 特徵多項式為

   $$(t-1)(t-2)^2,$$

   表示特徵值為 $1,2,2$。由於特徵值 $1$ 的代數重數為 $1$，其特徵空間維度也是 $1$。

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解題方法

令

$$\mathbf{e}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.$$

題目給定 $A$ 的三個欄向量總和為 $\mathbf e$，因此

$$A\mathbf e=\mathbf e.$$

所以 $\mathbf e$ 是 $A$ 的特徵向量，且對應特徵值為 $1$。

由特徵多項式可知，$A$ 的特徵值為 $1,2,2$。因為 $A$ 是實對稱矩陣，特徵值 $1$ 所對應的特徵空間為

$$E_1=\operatorname{span}\{\mathbf e\}.$$

而特徵值 $2$ 的特徵向量必須與 $\mathbf e$ 正交，因此其特徵空間為

$$E_2=\left\{ \mathbf x\in\mathbb R^3: \mathbf e^{T}\mathbf x=0 \right\}.$$

也就是

$$E_2= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}:x+y+z=0 \right\}.$$

因此，$A$ 在 $\operatorname{span}\{\mathbf e\}$ 上作用為乘以 $1$，在其正交補空間 $E_2$ 上作用為乘以 $2$。

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利用正交投影矩陣表示 $A$

投影到 $\operatorname{span}\{\mathbf e\}$ 的正交投影矩陣為

$$P=\frac{\mathbf e\mathbf e^T}{\mathbf e^T\mathbf e}.$$

由於

$$\mathbf e^T\mathbf e=3,$$

所以

$$P=\frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

在 $\operatorname{span}\{\mathbf e\}$ 上需要特徵值 $1$，在其正交補空間上需要特徵值 $2$，故

$$A=1P+2(I-P).$$

整理得

$$A=2I-P.$$

代入 $P$：