108 年 國立高雄大學應用數學系碩士班《微積分》

核心觀念

本題考查偶函數的定義、等比級數的收斂判別、向量叉積的運算性質、向量方程式所表示的曲線，以及含奇異點的定積分。

解題方法與選項分析

(a) $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$（$x\ne 0$）是偶函數

偶函數須滿足 $f(-x)=f(x)$，且定義域對正負相反數對稱。此函數的定義域為 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$，符合對稱條件。計算：

$$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x} =\frac{-\sin x}{-x} =\frac{\sin x}{x} =f(x)$$

所以此敘述為 True。

(b) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}$ 收斂

這是首項為 $e^{-1}$、公比為 $e^{-1}$ 的等比級數。由於 $0<e^{-1}<1$，等比級數收斂，其總和為：

$$\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n} =\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}} =\frac{1}{e-1}$$

所以此敘述為 True。

(c) $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}$

利用叉積對加法的分配律，以及向量與自身的叉積為零：

$$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{v} =\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{v}\times\mathbf{v} =\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{0} =\mathbf{u}\times\mathbf{v}$$

所以此敘述為 True。

本題包含兩個極限計算題，分別為基本極限與指數型極限。

(a) 計算極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x}$。
此極限可以利用三次 L'Hôpital's Rule 或替換法求解。
方法一：替換法。
令 $u = \sin x$。當 $x \to 0$ 時，$\sin x \to 0$，所以 $u \to 0$。
原式變為 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}$。
我們知道 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。
方法二：L'Hôpital's Rule。
當 $x \to 0$ 時，分子 $\sin(\sin x) \to \sin(0) = 0$，分母 $\sin x \to 0$。
因此，我們可以使用 L'Hôpital's Rule：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin(\sin x))}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sin x) \cdot \cos x}{\cos x}$
$= \lim_{x \to 0} \cos(\sin x)$
當 $x \to 0$ 時，$\sin x \to 0$，所以 $\cos(\sin x) \to \cos(0) = 1$。
【答案】1

本題要求計算一個由積分定義的函數的導數，這需要應用微積分基本定理的變形，即 Leibniz integral rule。

令 $F(t)$ 為 $\frac{t}{1+t^2}$ 的一個反導函數。
則 $g(x) = F(2+\sin x) - F(1+x^2)$。
根據微積分基本定理，$\frac{d}{dx} F(u(x)) = F'(u(x)) \cdot u'(x)$。
在這裡，$F'(t) = \frac{t}{1+t^2}$。

所以，
$g'(x) = \frac{d}{dx} F(2+\sin x) - \frac{d}{dx} F(1+x^2)$

本題要求隱函數微分，給定一個方程式，求 $\frac{dy}{dx}$。

給定方程式：$x \cos(2x + 3y) = y \sin x$。
對兩邊同時對 $x$ 微分，並將 $y$ 視為 $x$ 的函數。
左邊微分：
$\frac{d}{dx} [x \cos(2x + 3y)] = 1 \cdot \cos(2x + 3y) + x \cdot (-\sin(2x + 3y)) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3y)$
$= \cos(2x + 3y) - x \sin(2x + 3y) \cdot (2 + 3\frac{dy}{dx})$。

右邊微分：
$\frac{d}{dx} [y \sin x] = \frac{dy}{dx} \sin x + y \cos x$。

將兩邊微分結果相等：
$\cos(2x + 3y) - x \sin(2x + 3y) \cdot (2 + 3\frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} \sin x + y \cos x$。

本題包含兩個積分題，(a) 為三角積函數積分，(b) 為有理函數積分。

(a) 計算積分 $\int \cos 2x \cos 6x \, dx$。
此積分可以使用三角恆等式進行轉換。
我們知道 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$。
令 $A = 6x$, $B = 2x$。
則 $\cos 6x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(6x-2x) + \cos(6x+2x)]$
$= \frac{1}{2}[\cos 4x + \cos 8x]$。

所以，積分變為：
$\int \cos 2x \cos 6x \, dx = \int \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 8x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (\cos 4x + \cos 8x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( \int \cos 4x \, dx + \int \cos 8x \, dx \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}\sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x \right) + C$
$= \frac{1}{8}\sin 4x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$。

【答案】$\frac{1}{8}\sin 4x + \frac{1}{16}\sin 8x + C$

(b) 計算積分 $\int \frac{x^2 - 5x + 16}{(2x+1)(x-1)(x-2)^2} \, dx$。
這是一個有理函數積分。分母有三個因子：一個線性因子 $(2x+1)$，一個線性因子 $(x-1)$，以及一個重複的線性因子 $(x-2)^2$。
我們使用部分分式分解。
設 $\frac{x^2 - 5x + 16}{(2x+1)(x-1)(x-2)^2} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} + \frac{D}{(x-2)^2}$。
乘以公分母 $(2x+1)(x-1)(x-2)^2$，得到：
$x^2 - 5x + 16 = A(x-1)(x-2)^2 + B(2x+1)(x-2)^2 + C(2x+1)(x-1)(x-2) + D(2x+1)(x-1)$。

為了求出係數 $A, B, C, D$，我們代入特殊值或比較係數。
令 $x = 1$:
$1^2 - 5(1) + 16 = B(2(1)+1)(1-2)^2$
$1 - 5 + 16 = B(3)(-1)^2$
$12 = 3B \implies B = 4$。

令 $x = -1/2$:
$(-1/2)^2 - 5(-1/2) + 16 = A(-1/2 - 1)(-1/2 - 2)^2$
$1/4 + 5/2 + 16 = A(-3/2)(-5/2)^2$

本題要求證明一個二元函數的極限不存在，通常可以透過沿著不同的路徑趨近極限點，得到不同的極限值來證明。

考慮沿著不同的直線 $y=mx$ 趨近 $(0,0)$。
將 $y=mx$ 代入函數：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^2 - 3y^2}{3x^2 + 2y^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2 - 3(mx)^2}{3x^2 + 2(mx)^2}$
$= \lim_{x\to 0} \frac{2x^2 - 3m^2x^2}{3x^2 + 2m^2x^2}$
$= \lim_{x\to 0} \frac{x^2(2 - 3m^2)}{x^2(3 + 2m^2)}$
$= \frac{2 - 3m^2}{3 + 2m^2}$。

這個極限值取決於斜率 $m$。
例如：
當沿著 $y=x$ (即 $m=1$) 趨近時，極限值為 $\frac{2 - 3(1)^2}{3 + 2(1)^2} = \frac{2-3}{3+2} = \frac{-1}{5}$。

本題要求計算曲面在某一點的切平面方程式以及法線的參數方程。

給定曲面方程式為 $z = f(x, y) = x^2y$。
給定點為 $(x_0, y_0, z_0) = (2, 1, 4)$。
首先驗證該點是否在曲面上：$z_0 = 2^2 \cdot 1 = 4 \cdot 1 = 4$。點 $(2, 1, 4)$ 在曲面上。

1. 求切平面方程式
切平面的方程式為 $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$。
我們需要計算 $f_x$ 和 $f_y$ 在點 $(2, 1)$ 的值。

對 $f(x, y) = x^2y$ 求偏導函數：
$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) = 2xy$。
$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2$。

在點 $(x_0, y_0) = (2, 1)$ 計算偏導函數的值：
$f_x(2, 1) = 2(2)(1) = 4$。
$f_y(2, 1) = 2^2 = 4$。

將這些值代入切平面方程式：
$z - 4 = 4(x - 2) + 4(y - 1)$
$z - 4 = 4x - 8 + 4y - 4$
$z - 4 = 4x + 4y - 12$
$z = 4x + 4y - 8$。
或者寫成 $4x + 4y - z = 8$。

本題要求計算由曲線繞 x 軸旋轉所產生的曲面面積。

給定曲線為 $y = f(x) = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x}$，在區間 $[1, 2]$ 上。
繞 x 軸旋轉的曲面面積公式為 $S = \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$。

首先，計算 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \right) = \frac{3x^2}{6} + \frac{1}{2} (-x^{-2}) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2}$。

接下來，計算 $1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2x^2} \right)^2 = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 - 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) \left(\frac{1}{2x^2}\right) + \left(\frac{1}{2x^2}\right)^2$
$= \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4}$。

所以，$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \left( \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4} \right)$
$= \frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4}$。

觀察到 $\frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^4} = \left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2}\right)^2$。
因此，$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2}\right)^2} = \left|\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2}\right|$。
在區間 $[1, 2]$ 上，$x > 0$，所以 $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} > 0$。
因此，$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2}$。

現在，將這些代入曲面面積公式：
$S = \int_1^2 2\pi y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$
$S = \int_1^2 2\pi \left( \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \right) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \right) \, dx$。

展開被積函數：
$\left( \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2x} \right) \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \right)$

本題要求計算一個二重積分。積分區域是 $x^2+y^2 \le 1$ 的圓盤，而積分函數是 $\log_2(x^2+y^2+1)$。考慮到積分區域是圓形，極座標轉換會是較好的選擇。

積分區域是 $x^2 + y^2 \le 1$，這是一個以原點為中心，半徑為 1 的圓盤。
在極座標下，變換為 $r^2 \le 1$，即 $0 \le r \le 1$。
同時，積分區域涵蓋整個圓盤，所以角度 $\theta$ 的範圍是 $0 \le \theta \le 2\pi$。

積分函數 $\log_2(x^2 + y^2 + 1)$ 在極座標下變為 $\log_2(r^2 + 1)$。
微分元素 $dx \, dy$ 在極座標下變為 $r \, dr \, d\theta$。

因此，原來的二重積分可以轉換為：
$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \log_2(r^2 + 1) \cdot r \, dr \, d\theta$。

首先計算內層積分 $\int_{0}^{1} r \log_2(r^2 + 1) \, dr$。
為了計算這個積分，我們可以先轉換底數為自然對數：$\log_2(u) = \frac{\ln u}{\ln 2}$。
所以，$\int_{0}^{1} r \frac{\ln(r^2 + 1)}{\ln 2} \, dr = \frac{1}{\ln 2} \int_{0}^{1} r \ln(r^2 + 1) \, dr$。

令 $u = r^2 + 1$。則 $du = 2r \, dr$，所以 $r \, dr = \frac{1}{2} du$。
當 $r=0$ 時，$u = 0^2 + 1 = 1$。
當 $r=1$ 時，$u = 1^2 + 1 = 2$。