108 年 國立臺灣大學機械系碩士班航空組《流體力學（D）》

核心觀念

本題考查圓柱座標系下的庫埃特流（Couette Flow）與旋轉圓柱黏度計（Rotational Couette Viscometer）之力學分析，核心觀念包含：

1. 剪應力與角速度梯度關係：圓柱座標系下的剪切應變率與牛頓黏性定律，題目已給定控制關係式：
   $\frac{d}{dr}\left(\frac{v}{r}\right) = \frac{\tau_{r\theta}}{\mu r} = \frac{A}{\mu r^3}$
2. 每單位長度之扭矩平衡（Torque Balance）：圓柱面上流體所受剪應力造成的力矩為 $T = r \cdot \tau_{r\theta} \cdot (2\pi r \cdot 1) = 2\pi r^2 \tau_{r\theta}$。由於系統處於穩態無角加速度，任意半徑 $r$ 處流體層的傳遞扭矩皆守恆，由此可定出常數 $A$ 與扭矩的關係。
3. 無滑移邊界條件（No-slip Boundary Conditions）：在內外圓柱壁面處，流體切向速度分別滿足 $v(r_i) = \omega_i r_i$ 與 $v(r_o) = \omega_o r_o$。
4. 小間隙近似（Narrow Gap Approximation）：當間距 $g = r_o - r_i \ll r_i$ 時，曲率效應可忽略，速度分佈趨近於線性 Couette 流，可利用泰勒展開式將代數分式進行一階漸近簡化。

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解題方法

(a) 推導黏滯係數 $\mu$ 與扭矩 $T_i$、幾何尺寸及轉速之關係

步驟 1：建立扭矩與剪應力、常數 $A$ 之關係
考慮半徑為 $r$、軸向單位長度（$L = 1$）的流體柱面，其承受之切線方向扭矩 $T$ 為剪力對旋轉中心所產生的力矩：
$T = r \cdot F_s = r \cdot (\tau_{r\theta} \cdot 2\pi r \cdot 1) = 2\pi r^2 \tau_{r\theta}$

根據題目所給條件：
$\frac{\tau_{r\theta}}{\mu r} = \frac{A}{\mu r^3} \implies \tau_{r\theta} = \frac{A}{r^2}$

將此式代入扭矩公式中：
$T = 2\pi r^2 \left(\frac{A}{r^2}\right) = 2\pi A$

此結果顯示，在同心圓柱間各徑向位置的每單位長度扭矩為一常數。因此，作用在內圓柱面（$r = r_i$）每單位長度的扭矩 $T_i$ 即為：
$T_i = 2\pi A \implies A = \frac{T_i}{2\pi}$

步驟 2：對速度場進行積分並代入邊界條件
題目給定：
$\frac{d}{dr}\left(\frac{v}{r}\right) = \frac{A}{\mu r^3}$

將兩端從內壁 $r = r_i$ 積分至外壁 $r = r_o$：
$\int_{r_i}^{r_o} d\left(\frac{v}{r}\right) = \int_{r_i}^{r_o} \frac{A}{\mu r^3} \, dr$

左式代入無滑移邊界條件：

• 內壁面 $r = r_i$：$v(r_i) = r_i \omega_i \implies \left.\frac{v}{r}\right|_{r_i} = \omega_i$
• 外壁面 $r = r_o$：$v(r_o) = r_o \omega_o \implies \left.\frac{v}{r}\right|_{r_o} = \omega_o$

因此左式為：
$\left.\frac{v}{r}\right|_{r_i}^{r_o} = \omega_o - \omega_i$

右式進行積分：
$\int_{r_i}^{r_o} \frac{A}{\mu r^3} \, dr = \frac{A}{\mu} \left[ -\frac{1}{2r^2} \right]_{r_i}^{r_o} = \frac{A}{2\mu} \left( \frac{1}{r_i^2} - \frac{1}{r_o^2} \right) = \frac{A}{2\mu} \left( \frac{r_o^2 - r_i^2}{r_i^2 r_o^2} \right)$

步驟 3：求解黏滯係數 $\mu$
等式兩邊相等：

核心觀念

本題考核紊流邊界層（Turbulent Boundary Layer）中的「壁定律」（Law of the Wall）與近壁內層座標尺度化（Inner Scaling），包含以下核心觀念：

1. 無因次壁座標（Wall Coordinates）：以近壁區的主導物理量——壁面剪應力 $\tau_w$、密度 $\rho$ 與動態黏滯係數 $\nu$ 進行無因次化所構成的無因次距離 $y^+$ 與無因次速度 $u^+$。
2. 摩擦速度（Friction Velocity, $u^*$ 或 $u_\tau$）：由壁面剪應力所定義的特徵速度尺度。
3. 壓力梯度對紊流內層結構的影響：
   • 零壓力梯度（ZPG, $dp/dx = 0$）：近壁存在經典的三層結構——黏滯底層（Viscous Sublayer）、緩衝層（Buffer Layer）及對數率層（Log-law Region / Overlap Region），以及最外側的尾流層（Wake Region）。
   • 強烈逆向壓力梯度（Strong APG, $dp/dx \gg 0$）：壓力阻力使壁面速度梯度驟降，導致壁面剪應力 $\tau_w \to 0$（接近分離時）。此時對數率向上偏離形成巨大的「尾流」（Wake），破壞對數率的有效範圍。

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解題方法

1. 摩擦速度（Friction Velocity, $u^*$）的定義（5%）

在靠近固體壁面的流場中，壁面處由流體黏滯性產生的壁面剪應力為 $\tau_w$。定義特徵速度尺度 $u^*$（部分文獻記作 $u_\tau$）為：

$$u^* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}$$

其中：

• $\tau_w = \mu \left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{y=0}$ 為壁面剪應力（Wall Shear Stress）。
• $\rho$ 為流體密度（Fluid Density）。

物理意義：$u^*$ 量綱為速度（$[\text{L}/\text{T}]$），反映了固體壁面傳遞至流場的剪切動量大小，是壁邊界層近壁內層（Inner Layer）唯一的特徵速度尺度。

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2. Law of the Wall 座標中橫軸與縱軸參數的定義（8%）

Law of the Wall 採用半對數座標系（橫軸為 $\ln y^+$ 或 $\log_{10} y^+$，縱軸為線性 $u^+$）：

• 橫軸參數（無因次壁距離, $y^+$）：

$$y^+ = \frac{y u^*}{\nu} = \frac{y \sqrt{\tau_w / \rho}}{\nu}$$

其中 $y$ 為距離壁面的垂直距離，$\nu = \mu / \rho$ 為流體的運動黏滯係數（Kinematic Viscosity）。
物理意義為近壁特徵雷諾數（近壁紊流動量與分子黏滯擴散的相對比值）。

• 縱軸參數（無因次平均速度, $u^+$）：

$$u^+ = \frac{u}{u^*} = \frac{u}{\sqrt{\tau_w / \rho}}$$

其中 $u$ 為在距離 $y$ 處的時間平均流向速度（Mean Streamwise Velocity）。

分層定律概述：

• 黏滯底層（Viscous Sublayer, $y^+ < 5$）：雷諾剪應力可忽略，流動由純黏滯力主導： $$u^+ = y^+$$
• 緩衝層（Buffer Layer, $5 < y^+ < 30$）：黏滯剪應力與紊流雷諾剪應力大小相當的過渡區。
• 對數率層（Log-law Region, $30 < y^+ \lesssim 300 \sim 500$）：紊流雷諾剪應力占絕對主導，由混合長度理論推導出對數速度分布： $$u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln y^+ + B$$ （其中 von Kármán 常數 $\kappa \approx 0.41$，$B \approx 5.0$）。

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3. 壁座標（Wall Coordinate）下的速度分布圖繪製與比較（12%）

在以橫軸為 $\log_{10} y^+$、縱軸為 $u^+$ 的半對數圖中，繪出零壓力梯度（Zero Pressure Gradient, ZPG）與強逆向壓力梯度（Very Strong Adverse Pressure Gradient, APG）的曲線對比如下：

核心觀念

本題探討三維三維空間中的**點源流（3D Point Source Flow）**或點匯流，考查古典流體力學中的速度場微分運動學與動力學：

1. 連續方程式與不可壓縮流（Incompressible Flow）判別：連續方程式微分形式為 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0$。流體為不可壓縮的充要條件為速度場之散度為零（$\nabla \cdot \vec{V} = 0$）且實質導數 $\frac{D\rho}{Dt} = 0$。
2. 無旋流（Irrotational Flow）判別：速度場之旋度（渦度向量）為零，即 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = \vec{0}$。
3. 應變率張量（Rate of Strain Tensor）：流體變形率張量定義為速度梯度的對稱部分 $S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$。
4. 主應變率（Principal Strain-Rates）：應變率張量矩陣的特徵值（Eigenvalues），代表在主軸座標系下純粹的拉伸／壓縮應變率，無剪應變率。
5. 動量方程式與壓力場求解（Navier-Stokes Equations / Bernoulli Equation）：對於不可壓縮、無旋流動，黏滯項 $\mu \nabla^2 \vec{V} = \mu [ \nabla(\nabla \cdot \vec{V}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{V}) ] = \vec{0}$ 恆成立，流場在各處（原點奇異點除外）滿足全場適用的柏努利方程式（Bernoulli Equation）或可直接由歐拉動量方程式積分求解壓力場。

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解題技巧

1. 座標轉換觀察（極座標／球座標捷徑）：
   定義徑向距離 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，位置向量為 $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = r\hat{e}_r$。速度向量可簡化為：
   $\vec{V} = \frac{A}{r^3}\vec{r} = \frac{A}{r^2}\hat{e}_r$
   這表明流動在球座標系下僅有徑向分量 $V_r = \frac{A}{r^2}$，且 $V_\theta = 0, V_\phi = 0$。
2. 微分簡化：利用 $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$、$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$、$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$，可快速計算直角座標下的各階偏導數。
3. 特徵值幾何直觀：在球座標系下，流動具球對稱性，無剪切變形。因此球座標基底 $(\hat{e}_r, \hat{e}_\theta, \hat{e}_\phi)$ 自然就是主應變軸，球座標下的對角分量即為三個主應變率，無需展開計算複雜的三階特徵多項式。

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詳細解題步驟與推導

(a) 判斷此流動是否為不可壓縮（Incompressible）

流體密度為空間均勻 $\rho = \rho(t)$，連續方程式為：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{V}) = 0 \implies \frac{d\rho}{dt} + \rho (\nabla \cdot \vec{V}) + \vec{V} \cdot \nabla \rho = 0$
由於 $\nabla \rho = \vec{0}$，式子簡化為：
$\frac{d\rho}{dt} + \rho (\nabla \cdot \vec{V}) = 0$

計算速度場的散度 $\nabla \cdot \vec{V}$：
利用 $r = (x^2+y^2+z^2)^{1/2}$，對 $u$ 偏微分：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(Axr^{-3}\right) = A r^{-3} + Ax \left(-3r^{-4}\frac{\partial r}{\partial x}\right) = \frac{A}{r^3} - \frac{3Ax^2}{r^5} = \frac{A(r^2 - 3x^2)}{r^5}$

同理，由對稱性可得：
$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{A(r^2 - 3y^2)}{r^5}$
$\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{A(r^2 - 3z^2)}{r^5}$

將三者相加：
$\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{A [3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)]}{r^5} = \frac{A [3r^2 - 3r^2]}{r^5} = 0 \quad (\text{for } r \neq 0)$

將 $\nabla \cdot \vec{V} = 0$ 代回連續方程式：
$\frac{d\rho}{dt} = 0 \implies \rho = \text{constant}$
實質導數 $\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{V} \cdot \nabla \rho = 0$，流體微元的體積膨脹率（散度）恆等於零。
因此，該流動為不可壓縮流（Incompressible flow）。

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(b) 判斷此流動是否為無旋（Irrotational）

計算渦度向量 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}$ 的三個分量：
$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(A y r^{-3}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(A x r^{-3}\right) = \left(-\frac{3Ax y}{r^5}\right) - \left(-\frac{3Ax y}{r^5}\right) = 0$
同理：
$\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} = \left(-\frac{3A y z}{r^5}\right) - \left(-\frac{3A y z}{r^5}\right) = 0$
$\omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} = \left(-\frac{3Ax z}{r^5}\right) - \left(-\frac{3Ax z}{r^5}\right) = 0$

因此：
$\nabla \times \vec{V} = \vec{0} \quad (\text{for } r \neq 0)$
該流動在定義域內為無旋流（Irrotational flow），存在速度勢函數 $\phi(r) = -\frac{A}{r}$ 使得 $\vec{V} = \nabla \phi$。

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(c) 計算此流動的應變率張量（Rate of Strain Tensor）

應變率張量分量定義為：
$S_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$

1. 正應變率（對角線項）：
   由 (a) 小題已求得：
   $S_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{A(r^2 - 3x^2)}{r^5}$
   $S_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{A(r^2 - 3y^2)}{r^5}$
   $S_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{A(r^2 - 3z^2)}{r^5}$

2. 剪應變率（非對角線項）：
   $S_{xy} = S_{yx} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}\left( -\frac{3Axy}{r^5} - \frac{3Axy}{r^5} \right) = -\frac{3Axy}{r^5}$

核心觀念

本題屬於流體與結構交互作用（Fluid-Structure Interaction, FSI）引發的渦流脫落振動（Flow-Induced Vibration, FIV）問題，核心考點為因次分析（Dimensional Analysis）與白金漢 $\Pi$ 定理（Buckingham $\Pi$ Theorem）。

1. 基本因次系統（$MLT$ 系統）：
   • 質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$。
2. 白金漢 $\Pi$ 定理：
   若一物理問題由 $n$ 個物理變數描述，且這些變數包含 $m$ 個基本因次，則該問題可縮減為 $k = n - m$ 個獨立的無因次群（$\Pi$ 群）。
3. 重要物理無因次參數：
   • 斯特勞哈爾數（Strouhal number, $St$）：表徵非定常流與渦流脫落／結構振動頻率之無因次數，$St = \frac{f D}{U_\infty}$。
   • 雷諾數（Reynolds number, $Re$）：流體慣性力與黏滯力之比值，$Re = \frac{\rho U_\infty D}{\mu}$。
   • 長寬比（Aspect ratio）：幾何特徵比值，$\frac{H}{D}$。
   • 柯西數／結構彈性無因次群（Cauchy number 或彈性剛度與流體動壓比值）：結構彎曲剛度與流場動壓所產生的力矩或應力之比值。

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解題方法與步驟

題目中列出相關的物理變數共有 8 個：

• 幾何參數：高度 $H$、直徑 $D$、截面慣性矩 $I$
• 材料／結構參數：彈性模數 $E$
• 流體性質：密度 $\rho$、動力黏滯係數 $\mu$
• 流場與振動特性：來流風速 $U_\infty$、振動頻率 $f$

(a) 建立物理變數與基本因次對照表

以 $M$（質量）、$L$（長度）、$T$（時間）作為基本因次系統，各變數之因次如下：

• $H$（高度）：$[L]$
• $D$（直徑）：$[L]$
• $E$（彈性模數，單位為 $\mathrm{N/m^2}$）：$[M L^{-1} T^{-2}]$
• $I$（面積慣性矩，單位為 $\mathrm{m^4}$）：$[L^4]$
• $\rho$（流體密度，單位為 $\mathrm{kg/m^3}$）：$[M L^{-3}]$
• $\mu$（動力黏滯係數，單位為 $\mathrm{kg/(m\cdot s)}$）：$[M L^{-1} T^{-1}]$
• $U_\infty$（風速，單位為 $\mathrm{m/s}$）：$[L T^{-1}]$
• $f$（振動頻率，單位為 $\mathrm{1/s}$）：$[T^{-1}]$

因次表（Dimension Table）：

物理變數	符號	物理意義	基本因次 ($MLT$)
振動頻率	$f$	結構振盪頻率	$T^{-1}$
來流風速	$U_\infty$	風場速度	$L T^{-1}$
特徵直徑	$D$	柱體外徑	$L$
特徵高度	$H$	柱體高度	$L$
彈性模數	$E$	梁材料彈性模數	$M L^{-1} T^{-2}$
慣性矩	$I$	截面面積二次矩	$L^4$
流體密度	$\rho$	空氣密度	$M L^{-3}$
動力黏滯係數	$\mu$	空氣動力黏滯度	$M L^{-1} T^{-1}$

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(b) 求出所有相關的無因次群（$\Pi$ 群）

1. 確定變數個數與重複變數：

   • 物理變數總數 $n = 8$。
   • 包含的基本因次數 $m = 3$（$M, L, T$）。
   • 無因次群數量為 $k = n - m = 8 - 3 = 5$ 個。

2. 選取重複變數（Repeating variables）：
   選取涵蓋 $M, L, T$ 且互為獨立的 3 個重複變數：

   • 流體密度 $\rho$（含質量 $M$）：$[M L^{-3}]$
   • 特徵速度 $U_\infty$（含時間 $T$）：$[L T^{-1}]$
   • 特徵長度 $D$（含長度 $L$）：$[L]$

3. 求解各 $\Pi$ 群：

   • 第 1 個無因次群 $\Pi_1$（含頻率 $f$）：

     $$\Pi_1 = f \rho^a U_\infty^b D^c$$

     代入因次式：

     $$[M^0 L^0 T^0] = [T^{-1}] [M L^{-3}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c = M^a L^{-3a+b+c} T^{-1-b}$$

     解得 $a = 0$，$b = -1$，$c = 1$：

     $$\Pi_1 = \frac{f D}{U_\infty} \equiv St \quad (\text{Strouhal number})$$

   • 第 2 個無因次群 $\Pi_2$（含高度 $H$）：

     $$\Pi_2 = \frac{H}{D} \quad (\text{長寬比 Aspect ratio})$$

   • 第 3 個無因次群 $\Pi_3$（含慣性矩 $I$）：
     $I$ 的因次為 $[L^4]$，與長度重複變數 $D$ 組合：

     $$\Pi_3 = \frac{I}{D^4}$$

   • 第 4 個無因次群 $\Pi_4$（含黏滯係數 $\mu$）：

     $$\Pi_4 = \mu \rho^a U_\infty^b D^c$$

     代入因次式：

     $$[M^0 L^0 T^0] = [M L^{-1} T^{-1}] [M L^{-3}]^a [L T^{-1}]^b [L]^c = M^{1+a} L^{-1-3a+b+c} T^{-1-b}$$

     解得 $a = -1$，$b = -1$，$c = -1$：