108 年 國立臺灣大學機械系碩士班固力組《材料力學（C）》

核心觀念

本題考查組合梁的「剪流」與釘子剪力。

對薄壁封閉截面，縱向接縫上的剪流可表示為

$$q=q_{\text{open}}+q_0$$

其中 $q_{\text{open}}$ 是將截面假想切開後所求得的基本剪流，$q_0$ 是為滿足封閉截面變形相容條件所產生的循環剪流。

每一段釘距 $S_i$ 內的釘子所承受之剪力為

$$F_i=q_iS_i$$

因此在釘距相同時，剪流較大者會先達到釘子的容許剪力 $30\text{ N}$。

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解題方法

截面由四片相同木板組成，內部為 $6\text{ cm}\times6\text{ cm}$，木板厚度為 $1.5\text{ cm}$，因此其中心線所形成的封閉方形尺寸為

$$b=6+1.5=7.5\text{ cm}$$

由於截面與受力均左右對稱，可得左右對應位置的剪流相等：

$$q_A=q_B,\qquad q_C=q_D$$

然而，封閉截面的循環剪流會使右側兩接縫的剪流大於左側兩接縫。對此方形薄壁截面進行剪流計算，可得各接縫剪流大小比例為

$$|q_A|=|q_B|=\frac{3}{4}q_r$$ $$|q_C|=|q_D|=\frac{5}{4}q_r$$

其中 $q_r$ 為共同的比例基準量。因此

$$|q_C|=|q_D|>|q_A|=|q_B|$$

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選項分析

(A) 此梁所受負載為純彎曲

錯誤。

自由端施加向下集中力 $80\text{ N}$，梁內部具有垂直剪力

$$V=80\text{ N}$$

核心觀念

本題承接第 1 題，考查組合梁接縫的剪流。相鄰兩根釘子間距為 $S$ 時，每根釘子所承受的剪力為

$$F_{\text{nail}}=qS$$

其中剪流

$$q=\frac{VQ}{I}$$

且每根釘子的最大容許剪力為 $30\ \text{N}$。

解題方法

由圖可得箱形截面外尺寸為

$$7.5\ \text{cm}\times 7.5\ \text{cm}$$

內部孔洞尺寸為

$$6\ \text{cm}\times 6\ \text{cm}$$

因此，對水平中性軸的截面二次矩為

$$I=\frac{7.5(7.5)^3-6(6)^3}{12} =155.67\ \text{cm}^4$$

以接縫處的上方翼板計算：

$$A=7.5(1.5)=11.25\ \text{cm}^2$$

翼板形心距中性軸

$$\bar y=3.0\ \text{cm}$$

故

$$Q=A\bar y =11.25(3.0) =33.75\ \text{cm}^3$$

承受的垂直剪力為

$$V=80\ \text{N}$$

所以接縫剪流為

$$q=\frac{80(33.75)}{155.67} =17.35\ \text{N/cm}$$

每根釘子不得超過 $30\ \text{N}$，故最大釘距為

$$S_{\max}=\frac{30}{q} =\frac{30}{17.35} \approx1.73\ \text{cm}$$

核心觀念

本題考查非均勻分布載重、支承反力，以及剪力與彎矩圖的關係。取 $x$ 自 $A$ 點向右量，向下的分布載重大小為

$$w(x)=\frac{w_0}{L}x,\qquad 0\le x\le L.$$

依圖(a)，左側梁段截面上的正剪力向上，因此本題的微分關係為

$$\frac{dV}{dx}=w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=-V(x).$$

此外，集中力使剪力圖跳躍、彎矩圖斜率突變；沒有集中力偶的位置，彎矩必須連續。

解題方法

1. 求支承反力

三角形分布載重的合力及作用位置為

$$W=\frac{w_0L}{2},\qquad x_W=\frac{2L}{3}.$$

圖中 $C$ 點位於 $x=4L/5$。取向上的支承反力為正，由 $A$ 點的力矩平衡：

$$R_C\frac{4L}{5} = \frac{w_0L}{2}\frac{2L}{3}.$$

因此

$$R_C=\frac{5w_0L}{12},\qquad R_A=W-R_C=\frac{w_0L}{12}.$$

2. 求 $A$ 至 $C$ 段的剪力與彎矩

依圖(a)的剪力正向，左側梁段的垂直力平衡為

$$R_A-\int_0^x w(\xi)\,d\xi+V(x)=0.$$

故

$$V(x)=-\frac{w_0L}{12}+\frac{w_0x^2}{2L}, \qquad 0<x<\frac{4L}{5}.$$

利用 $dM/dx=-V$ 與端點條件 $M(0)=0$，得

$$M(x)=\frac{w_0Lx}{12}-\frac{w_0x^3}{6L}.$$

這段彎矩圖具有以下特徵：

• 從 $A$ 點的零彎矩向上增加，因為 $M'(0^+)=w_0L/12>0$。
• 在 $V=0$ 處達到最大值：

$$x=\frac{L}{\sqrt6}.$$

• 除 $A$ 點外，另一個零彎矩位置為

$$M(x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{L}{\sqrt2}.$$

由於 $L/\sqrt2<4L/5$，所以彎矩圖在到達 $C$ 點之前已穿過橫軸。

在 $C$ 點，

核心觀念

本題考查樑的邊界條件、支承反力，以及剪力圖與集中反力的關係：

• 鉸支承或滾支承只能限制垂直位移，因此支承點撓度為零。
• 自由端若無外加垂直力，則剪力為零。
• 集中反力會造成剪力圖跳躍，故剪力不連續。
• 鉸支承或滾支承不能承受彎矩，反力只包含力，不包含反作用彎矩。
• 簡單支承不限制樑的轉角，因此支承點斜率通常不為零。

解題方法

依圖中 $A$、$C$ 為簡單支承，$B$ 為無外加垂直力的自由端判斷。

在 $C$ 點若有集中支承反力 $R_C$，剪力平衡關係為

$$V(C^+)-V(C^-)=-R_C$$

因此剪力圖在 $C$ 點產生跳躍。另一方面，簡單支承不提供彎矩反力，所以不會限制樑在 $C$ 點的轉角。

選項分析

• (A) 正確。
  $A$ 為簡單支承，垂直位移受到限制，因此 $$v_A=0$$ 即 $A$ 點撓度為零。

核心觀念

本題考查樑的邊界條件、支承反力，以及剪力圖與集中反力的關係：

• 鉸支承或滾支承只能限制垂直位移，因此支承點撓度為零。
• 自由端若無外加垂直力，則剪力為零。
• 集中反力會造成剪力圖跳躍，故剪力不連續。
• 鉸支承或滾支承不能承受彎矩，反力只包含力，不包含反作用彎矩。
• 簡單支承不限制樑的轉角，因此支承點斜率通常不為零。

解題方法

依圖中 $A$、$C$ 為簡單支承，$B$ 為無外加垂直力的自由端判斷。

在 $C$ 點若有集中支承反力 $R_C$，剪力平衡關係為

$$V(C^+)-V(C^-)=-R_C$$

因此剪力圖在 $C$ 點產生跳躍。另一方面，簡單支承不提供彎矩反力，所以不會限制樑在 $C$ 點的轉角。

選項分析

• (A) 正確。
  $A$ 為簡單支承，垂直位移受到限制，因此 $$v_A=0$$ 即 $A$ 點撓度為零。

核心觀念

複合梁各材料雖然楊氏係數不同，但在平面彎曲、完美接合的條件下，截面仍具有相同曲率 $\kappa$，各材料的彎曲正應力為

$$\sigma_i=-E_i\kappa y$$

其中 $E_i$ 為材料楊氏係數。若要「整個截面的彎曲正應力皆為零」，必須有

$$\kappa=0$$

因此內部彎矩必須為零：

$$M(x)=0$$

材料性質與截面尺寸只會影響應力分布及應力大小，不影響彎矩為零的位置。

解題方法

由圖，$x$ 自固定端向右量測，梁長為

$$L=20\ \text{m}$$

在距離固定端 $x$ 的截面取右側自由體：

• 集中力 $F$ 對截面的力矩為 $F(L-x)$；
• 外加彎矩為 $M_0=3F$，方向與前者相反。

故截面彎矩為

$$M(x)=F(L-x)-M_0$$

代入 $L=20$ 及 $M_0=3F$：

$$M(x)=F(20-x)-3F$$

令整個截面的彎曲正應力為零，即令 $M(x)=0$：

$$F(20-x)-3F=0$$ $$20-x=3$$ $$x=17\ \text{m}$$

選項分析

• (A) $x=0$：錯誤。

  固定端彎矩為

核心觀念

本題考查複合梁彎曲時的應力分布，以及不同材料因楊氏係數與降伏強度不同而產生的先後降伏問題。

複合材料黏結良好時，截面上的應變符合平面截面假設：

$$\varepsilon=\kappa y$$

但應力為

$$\sigma=E\kappa y$$

因此同一位置的應變相同，楊氏係數較大的黃銅會承受較大的應力。

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解題方法

由第 5 題，取 $x$ 自固定端向右量，彎矩為

$$M(x)=F(20-x)-3F=F(17-x)$$

因此最大彎矩發生在固定端 $x=0$：

$$M_{\max}=17F$$

複合截面為上下各 $6\text{ mm}$ 的黃銅，中間 $30\text{ mm}$ 的鋁，寬度皆為 $30\text{ mm}$。截面對稱，故中性軸位於截面中央。

總高度為

$$6+30+6=42\text{ mm}$$

所以：

• 黃銅外表面距中性軸：$y_b=21\text{ mm}$
• 鋁與黃銅界面距中性軸：$y_a=15\text{ mm}$

複合截面的彎曲剛度為

$$(EI)_{\text{等效}} =E_{\text{Al}}I_{\text{Al}}+E_{\text{Brass}}I_{\text{Brass}}$$

鋁的慣性矩：

$$I_{\text{Al}}=\frac{30(30)^3}{12}=67500\text{ mm}^4$$

每一層黃銅的慣性矩：

$$I_{\text{Brass,1}} =\frac{30(6)^3}{12}+(30)(6)(18)^2 =58860\text{ mm}^4$$

上下兩層黃銅合計：

$$I_{\text{Brass}}=2(58860)=117720\text{ mm}^4$$

因此

$$(EI)_{\text{等效}} =70000(67500)+105000(117720) =1.70856\times10^{10}\text{ N}\cdot\text{mm}^2$$

黃銅外表面應力為

$$\sigma_{\text{Brass}} =\frac{E_{\text{Brass}}M_{\max}y_b}{(EI)_{\text{等效}}}$$

代入 $M_{\max}=17F$：

核心觀念

本題考查三維應力狀態下的主應力與最大剪應力。由圖示桿件受力及截面性質，在 $a$ 點可整理出平面應力狀態：

$$[\sigma]= \begin{bmatrix} 0 & 7.07 & 0\\ 7.07 & 15.8 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\text{MPa}$$

其中

• $\sigma_y=15.8\text{ MPa}$：軸力與彎矩造成的正應力合成結果。
• $\tau_{xy}=7.07\text{ MPa}$：橫向力及力矩造成的剪應力。
• $a$ 點位於自由表面，因此另一方向的正應力可視為零。

材料力學中的彈性常數 $E$、$G$ 並不影響本題的應力計算；它們若要換算泊松比，則

$$\nu=\frac{E}{2G}-1 =\frac{200}{2(77)}-1 \approx 0.299$$

但本題不需使用 $\nu$。

解題方法

對上述應力矩陣求特徵值，即可得到主應力。由於只有 $x$–$y$ 平面存在應力，可直接使用平面應力公式：

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

代入 $\sigma_x=0$、$\sigma_y=15.8\text{ MPa}$、$\tau_{xy}=7.07\text{ MPa}$：

$$\sigma_{1,2} = 7.9 \pm \sqrt{7.9^2+7.07^2}$$

因此

$$\sigma_1=18.5\text{ MPa},\qquad \sigma_2=-2.7\text{ MPa}$$

第三主應力為平面外正應力：

$$\sigma_3=0$$

最大剪應力為最大與最小主應力之差的一半：

核心觀念

本題考「主應變」與「主應力」的關係。對均質、等向性線彈性材料，主應力與主應變的方向重合；三個主應變可由三個主應力代入三維廣義虎克定律求得：

$$\varepsilon_1=\frac{1}{E}\left[\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3)\right]$$ $$\varepsilon_2=\frac{1}{E}\left[\sigma_2-\nu(\sigma_1+\sigma_3)\right]$$ $$\varepsilon_3=\frac{1}{E}\left[\sigma_3-\nu(\sigma_1+\sigma_2)\right]$$

其中 $E$ 為楊氏係數，$\nu$ 為蒲松比。

解題方法

承第 7 題，a 點的三個主應力為 $\sigma_1=18.5\text{ MPa}$、$\sigma_2=0$、$\sigma_3=-2.7\text{ MPa}$。代入上式：

$$\varepsilon_1=\frac{18.5+2.7\nu}{E}>0$$ $$\varepsilon_2=\frac{-15.8\nu}{E}<0$$

核心觀念

本題考查圓軸扭轉的三個基本關係：

1. 扭轉變形與扭轉角：
   $\gamma(r,x)=r\frac{d\phi}{dx}$

2. 扭矩—扭轉角關係：
   $M_t(x)=G(x)J(x)\frac{d\phi}{dx}$

3. 微小軸段的扭矩平衡。

其中：

• $\phi(x)$：位置 $x$ 處的扭轉角
• $G(x)$：剪力模數
• $J(x)$：極慣性矩
• $t(x)$：單位長度的分佈外加扭矩
• $M_t(x)$：軸內部扭矩

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(a) 推導統御方程式

取長度為 $dx$ 的微小軸段。左端內扭矩為 $M_t(x)$，右端內扭矩為

$$M_t(x)+\frac{dM_t}{dx}dx$$

分佈外加扭矩為 $t(x)dx$。依扭矩平衡：

$$M_t(x)+t(x)dx-\left[M_t(x)+\frac{dM_t}{dx}dx\right]=0$$

因此：

$$\frac{dM_t}{dx}=t(x)$$

若依圖中內扭矩方向採用相反正號慣例，則可寫成：

$$\frac{dM_t}{dx}+t(x)=0$$

以下採用材料力學中常見的形式：

$$\frac{dM_t}{dx}+t(x)=0$$

又因為：

$$M_t(x)=G(x)J(x)\frac{d\phi}{dx}$$

代入可得圓軸扭轉的統御方程式：

$$\boxed{ \frac{d}{dx}\left[G(x)J(x)\frac{d\phi}{dx}\right]+t(x)=0 }$$

若 $G$ 與 $J$ 為常數，則退化為：

$$GJ\frac{d^2\phi}{dx^2}+t(x)=0$$

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(b) 左端固定、右端自由

分佈外加扭矩為線性分佈，左端最大、右端為零，因此：

$$t(x)=t\left(1-\frac{x}{L}\right)$$

實心圓軸直徑為 $d$，故極慣性矩為：

$$J=\frac{\pi d^4}{32}$$

邊界條件

左端 $A$ 固定：

$$\phi(0)=0$$

右端 $B$ 為自由端，沒有外加集中扭矩，因此右端內扭矩為零：

$$M_t(L)=GJ\phi'(L)=0$$

即：

$$\phi'(L)=0$$

扭轉角函數

由統御方程式：

$$GJ\phi''(x)+t\left(1-\frac{x}{L}\right)=0$$

因此：

$$\phi''(x) = -\frac{t}{GJ}\left(1-\frac{x}{L}\right)$$

積分一次：

$$\phi'(x) = -\frac{t}{GJ}\left(x-\frac{x^2}{2L}\right)+C_1$$

利用 $\phi'(L)=0$：

$$0=-\frac{tL}{2GJ}+C_1$$

所以：

$$C_1=\frac{tL}{2GJ}$$

再積分一次：

$$\phi(x) = \frac{t}{GJ} \left( \frac{Lx}{2} -\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6L} \right)+C_2$$

由 $\phi(0)=0$ 得 $C_2=0$，故：

$$\boxed{ \phi(x) = \frac{t}{GJ} \left( \frac{Lx}{2} -\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6L} \right) }$$

代入 $J=\dfrac{\pi d^4}{32}$：

$$\boxed{ \phi(x) = \frac{32t}{\pi Gd^4} \left( \frac{Lx}{2} -\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6L} \right) }$$

兩端相對扭轉角

因為 $\phi(0)=0$，所以兩端相對扭轉角為：

$$\Delta\phi=\phi(L)-\phi(0)=\phi(L)$$

代入 $x=L$：

$$\phi(L) = \frac{t}{GJ} \left( \frac{L^2}{2} -\frac{L^2}{2} +\frac{L^2}{6} \right)$$

因此：

$$\Delta\phi=\frac{tL^2}{6GJ}$$

代入 $J=\dfrac{\pi d^4}{32}$：

$$\boxed{ \Delta\phi = \frac{16tL^2}{3\pi Gd^4} }$$

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(c) 左右兩端皆固定

分佈外加扭矩由左端的零，線性增加至右端的 $t$：

$$t(x)=t\frac{x}{L}$$

同樣有：

$$J=\frac{\pi d^4}{32}$$

邊界條件

左端 $A$ 固定：

$$\phi(0)=0$$

右端 $B$ 固定：

$$\phi(L)=0$$

扭轉角函數

統御方程式為：

$$GJ\phi''(x)+t\frac{x}{L}=0$$

所以：

$$\phi''(x) = -\frac{tx}{LGJ}$$

核心觀念

本題考查：

• 桁架桿件僅承受軸力。
• 熱應變為
  $\varepsilon_T=\alpha\Delta T$
• 軸向應變關係為
  $\varepsilon=\frac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T$
• 桿件若沒有外力且熱變形能與支承條件相容，則不會產生熱應力。
• Euler 簡支桿挫屈力為
  $P_c=\frac{\pi^2EI}{L^2}$

依圖，$A$ 為鉸支承、$C$ 為水平地面上的滾支承，因此 $C$ 可水平移動，但不能垂直移動。

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(a) 三根桿件均勻升溫

三根桿件的自由熱伸長皆為

$$\Delta L=\alpha\Delta T L$$

由於 $C$ 可沿水平方向移動，整個桁架可產生相似形膨脹：

• $AC$ 水平伸長；
• $AB$、$BC$ 同時伸長；
• 節點 $B$ 向右上方移動；
• 支承約束沒有阻礙此種整體熱膨脹。

因此三根桿件皆可自由伸長，不產生機械應變，故

$$\sigma_{AB}=\sigma_{BC}=\sigma_{AC}=0$$

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(b) $AC$ 維持 $T$，$AB$ 升溫，$BC$ 降溫

三根桿件的自由熱伸長分別為

$$\Delta L_{AC}=0$$ $$\Delta L_{AB}=\alpha\Delta T L$$ $$\Delta L_{BC}=-\alpha\Delta T L$$

設原桁架為等邊三角形，則 $AB$、$BC$ 與水平夾角皆為 $60^\circ$。

令 $B$ 的位移為 $(u_B,v_B)$，且 $C$ 的水平位移為 $u_C$。因為 $AC$ 沒有溫度變化，若不產生應力，必須有

$$u_C=0$$

兩斜桿的伸長量為

$$\Delta L_{AB} =\frac{1}{2}u_B+\frac{\sqrt{3}}{2}v_B$$ $$\Delta L_{BC} =-\frac{1}{2}u_B+\frac{\sqrt{3}}{2}v_B$$

令其分別等於自由熱伸長量：