109 年 國立臺灣大學機械系碩士班固力組《材料力學（C）》

核心觀念

本題考查「兩端外伸、中央有兩個支承之均佈載重樑」的彎矩分布，以及以「最大正、負彎矩絕對值相等」求最佳支承位置。

樑長為 $L$，兩支承位於距離左右端各 $a$ 的位置，均佈載重為 $w$。由結構對稱性：

$$R_A=R_B=\frac{wL}{2}$$

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解題方法

取左端為 $x=0$，左支承位置為 $x=a$。

左端外伸段的最大負彎矩發生在支承 $A$ 處：

$$|M_A|=\frac{wa^2}{2}$$

兩支承之間的彎矩為：

$$M(x)=R_A(x-a)-\frac{wx^2}{2}$$

由對稱性，跨距中央 $x=L/2$ 處的正彎矩最大，因此：

$$M_{\max} =\frac{wL}{2}\left(\frac{L}{2}-a\right) -\frac{w}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^2$$

整理得：

$$M_{\max}=\frac{wL(L-4a)}{8}$$

為使整根樑的最大彎矩絕對值最小，應使中央最大正彎矩與支承處最大負彎矩的絕對值相等：

$$\frac{wa^2}{2} = \frac{wL(L-4a)}{8}$$

約去 $w$ 並整理：

$$4a^2=L^2-4La$$ $$4a^2+4La-L^2=0$$

令 $r=a/L$，則：

$$4r^2+4r-1=0$$

取合理的正根：

$$r=\frac{-1+\sqrt{2}}{2} =0.2071$$

核心觀念

本題比較各種截面在相同彎矩 $M$ 作用下的最大彎曲應力。彎曲正應力公式為

$$\sigma=\frac{My}{I}$$

因此截面的最大彎曲應力為

$$|\sigma_{\max}|=\frac{|M|c_{\max}}{I} =\frac{|M|}{S_{\min}}$$

其中：

• $I$：截面對中性軸的慣性矩
• $c_{\max}$：中性軸至最外緣的最大距離
• $S_{\min}=I/c_{\max}$：控制最大應力的最小截面模數

承上題所有截面承受相同的彎矩，因此只需比較各截面的 $I/c_{\max}$。

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解題方法

彎曲方向如圖，取水平 $z$ 軸為彎曲軸，計算各截面的最小截面模數。

(A) 矩形截面

矩形尺寸為 $12\times12$：

$$I_z=\frac{bh^3}{12} =\frac{12(12)^3}{12}=1728$$ $$c_{\max}=6$$

故

$$S_{\min}=\frac{1728}{6}=288$$

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(B) 工字形截面

截面總高為

$$h=4+12+4=20$$

中性軸位於截面中央，故

$$c_{\max}=10$$

慣性矩為上下兩個翼板與腹板慣性矩之和：

$$I_z =2\left[ \frac{12(4)^3}{12} +(12)(4)(8)^2 \right] +\frac{4(12)^3}{12}$$ $$I_z=6848$$

因此

$$S_{\min}=\frac{6848}{10}=684.8$$

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(C) 實心圓形截面

圓形直徑為

$$d=\frac{24}{\sqrt{\pi}}$$

其面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4}=144$$

圓形對任一直徑軸的慣性矩：

$$I_z=\frac{\pi d^4}{64} =\frac{5184}{\pi}$$

且

$$c_{\max}=\frac d2=\frac{12}{\sqrt{\pi}}$$

所以

$$S_{\min} =\frac{I_z}{c_{\max}} =\frac{432}{\sqrt{\pi}} \approx243.8$$

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(D) 倒 T 字形截面

由圖可知，腹板尺寸為 $4\times24$，底部翼板尺寸為 $12\times4$。

腹板面積與形心位置：

核心觀念

本題考查：

• 兩力構件的軸向應力與軸向伸長量
• 節點 $B$ 的靜力平衡
• 軸向變形與節點位移的幾何關係

圓柱半徑皆為 $r=6\ \text{mm}$，截面積為

$$A=\pi r^2=36\pi\ \text{mm}^2$$

軸向伸長量公式為

$$\delta=\frac{PL}{AE}$$

其中 $P$ 為桿件軸力、$L$ 為長度、$E$ 為楊氏係數。

解題方法

設黃銅桿 $BC$ 的拉力為 $T_B$，鋁桿 $BD$ 的拉力為 $T_A$。

由節點 $B$ 的水平力平衡：

$$T_B\sin30^\circ=T_A\sin45^\circ$$

由垂直力平衡：

$$T_B\cos30^\circ+T_A\cos45^\circ=9\ \text{kN}$$

由第一式：

$$T_A=\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}T_B =0.7071T_B$$

代入垂直平衡式：

$$T_B(0.8660)+0.7071T_B(0.7071)=9000$$ $$1.3660T_B=9000$$

因此

$$T_B=6586\ \text{N}$$ $$T_A=4657\ \text{N}$$

黃銅桿伸長量

黃銅桿長度 $L_B=600\ \text{mm}$，楊氏係數 $E_B=118000\ \text{N/mm}^2$：

$$\delta_B =\frac{6586(600)}{(36\pi)(118000)} \approx0.296\ \text{mm}$$

鋁桿伸長量

鋁桿長度 $L_A=734.85\ \text{mm}$，楊氏係數 $E_A=69000\ \text{N/mm}^2$：

$$\delta_A =\frac{4657(734.85)}{(36\pi)(69000)} \approx0.439\ \text{mm}$$

節點 $B$ 的位移

設 $B$ 點水平位移向右為 $u$，垂直向下為 $v$。

沿黃銅桿方向的位移投影等於黃銅桿伸長量：

核心觀念

主旋葉軸同時承受軸向張力與扭矩。軸向力在截面上產生正應力 $\sigma$，扭矩產生剪應力 $\tau$；最大面內主應力由平面應力轉換公式求得：

$$\sigma_{\max,\min} = \frac{\sigma}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}$$

將主旋葉軸視為直徑 $d=150\ \text{mm}$ 的實心圓軸。

解題方法

軸向正應力為

$$\sigma=\frac{P}{A} =\frac{225\times10^3}{\frac{\pi}{4}(150)^2} =12.73\ \text{MPa}$$

扭轉剪應力取圓軸外表面最大值：

$$\tau_{\max}=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3} =\frac{16(15\times10^6)}{\pi(150)^3} =22.63\ \text{MPa}$$

其中扭矩已換算為 $15\ \text{kN}\cdot\text{m}=15\times10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}$。代入主應力公式：

核心觀念

主旋葉軸同時承受軸向力與扭矩，因此表面是平面應力狀態：軸向正應力為 $\sigma_x$，扭轉造成的剪應力為 $\tau_{xy}$，而另一方向的正應力 $\sigma_y=0$。

平面內最大剪應力為莫耳圓半徑：

$$\tau_{\max,\text{面內}} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$$

解題方法

軸徑 $d=150\text{ mm}$，軸向力 $P=225\text{ kN}$，扭矩 $T=15\text{ kN}\cdot\text{m}$。

軸向正應力：

$$\sigma_x = \frac{P}{A} = \frac{225\,000}{\pi(150)^2/4} = 12.73\text{ MPa}$$

實心圓軸表面的扭轉剪應力：

$$\tau_{xy} = \frac{Tc}{J} = \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{16(15\times10^6)}{\pi(150)^3} = 22.63\text{ MPa}$$

核心觀念

鋼繩兩端固定，總長度不可改變。溫度上升時，鋼繩有熱膨脹傾向，但固定端限制其伸長，因此會產生壓縮應變，使原有張力減少。

鋼繩鬆弛的臨界條件為末張力降至零：

$$T_f=0$$

固定端的應變相容關係為

$$\frac{T_f}{AE}+\alpha\Delta T=\frac{T_0}{AE}$$

因此

$$T_f=T_0-AE\alpha\Delta T$$

其中 $T_0=85\ \text{N}$。

解題方法

鋼繩截面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(2\times10^{-3})^2}{4} =\pi\times10^{-6}\ \text{m}^2$$

達到鬆弛的臨界溫升 $\Delta T_{\text{cr}}$ 時，令 $T_f=0$：

$$0=85-A(110\times10^9)(19.5\times10^{-6})\Delta T_{\text{cr}}$$

所以

$$\Delta T_{\text{cr}} = \frac{85} {\pi\times10^{-6}\times110\times10^9\times19.5\times10^{-6}}$$ $$\Delta T_{\text{cr}}\approx 12.6^\circ\text{C}$$

此題考查簡支樑在均勻分佈載重下的撓度計算。

簡支樑的定義：兩端支撐，支點處有豎直反力，但允許轉動。
載荷：均勻分佈載重 $q(x) = q_0 \sin(\frac{\pi x}{L})$。
這是正弦分佈的載荷，而不是均勻分佈。

對於簡支樑，其彎曲微分方程為：
$EI \frac{d^4v}{dx^4} = w(x)$
其中 $w(x)$ 是作用在樑上的載荷，在這裡是 $q(x) = q_0 \sin(\frac{\pi x}{L})$。

我們需要計算樑正中央（$x = L/2$）的變形量（撓度 $v(L/2)$）。
對於簡支樑，邊界條件為：
在 $x=0$ (A 點)：$v(0) = 0$ (撓度為零)
$\frac{d^2v}{dx^2}(0) = 0$ (彎曲力矩為零)
在 $x=L$ (B 點)：$v(L) = 0$ (撓度為零)
$\frac{d^2v}{dx^2}(L) = 0$ (彎曲力矩為零)

載荷函數 $q(x) = q_0 \sin(\frac{\pi x}{L})$。
樑的剪力 $V(x)$ 和彎矩 $M(x)$ 的關係：
$\frac{dV}{dx} = q(x)$
$\frac{dM}{dx} = V(x)$
$EI \frac{d^2v}{dx^2} = M(x)$

首先，計算支撐反力。由於載荷是對稱的，支撐反力 $R_A = R_B$。
$R_A + R_B = \int_0^L q(x) dx = \int_0^L q_0 \sin(\frac{\pi x}{L}) dx$
$R_A + R_B = q_0 [-\frac{L}{\pi} \cos(\frac{\pi x}{L})]_0^L = q_0 (-\frac{L}{\pi} \cos(\pi) - (-\frac{L}{\pi} \cos(0)))$
$R_A + R_B = q_0 (-\frac{L}{\pi}(-1) + \frac{L}{\pi}(1)) = q_0 \frac{2L}{\pi}$。
由於對稱， $R_A = R_B = \frac{1}{2} q_0 \frac{2L}{\pi} = \frac{q_0 L}{\pi}$。

現在計算彎矩 $M(x)$。
考慮 $0 \le x \le L$。
$M(x) = R_A x - \int_0^x (x-\xi) q(\xi) d\xi$
$M(x) = \frac{q_0 L}{\pi} x - \int_0^x (x-\xi) q_0 \sin(\frac{\pi \xi}{L}) d\xi$

計算積分 $\int_0^x (x-\xi) \sin(\frac{\pi \xi}{L}) d\xi$。
令 $u = x-\xi$, $dv = \sin(\frac{\pi \xi}{L}) d\xi$。
$du = -d\xi$, $v = -\frac{L}{\pi} \cos(\frac{\pi \xi}{L})$。
$\int (x-\xi) \sin(\frac{\pi \xi}{L}) d\xi = (x-\xi)(-\frac{L}{\pi} \cos(\frac{\pi \xi}{L})) - \int (-\frac{L}{\pi} \cos(\frac{\pi \xi}{L})) (-d\xi)$
$= -\frac{L}{\pi}(x-\xi) \cos(\frac{\pi \xi}{L}) - \frac{L}{\pi} \int \cos(\frac{\pi \xi}{L}) d\xi$
$= -\frac{L}{\pi}(x-\xi) \cos(\frac{\pi \xi}{L}) - \frac{L}{\pi} (\frac{L}{\pi} \sin(\frac{\pi \xi}{L}))$
$= -\frac{L}{\pi}(x-\xi) \cos(\frac{\pi \xi}{L}) - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi \xi}{L})$。

在 $0$ 到 $x$ 的範圍內積分：
$[-\frac{L}{\pi}(x-\xi) \cos(\frac{\pi \xi}{L}) - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi \xi}{L})]_0^x$
$= (-\frac{L}{\pi}(x-x) \cos(\frac{\pi x}{L}) - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi x}{L})) - (-\frac{L}{\pi}(x-0) \cos(0) - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(0))$
$= (0 - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi x}{L})) - (-\frac{Lx}{\pi} - 0)$
$= \frac{Lx}{\pi} - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi x}{L})$。

所以，彎矩 $M(x) = \frac{q_0 L}{\pi} x - q_0 (\frac{Lx}{\pi} - \frac{L^2}{\pi^2} \sin(\frac{\pi x}{L}))$

核心觀念

本題考查實心圓柱懸臂樑同時承受：

1. 自由端橫向集中力 $P$ 所造成的彎曲應力。
2. 自由端扭矩 $T$ 所造成的扭轉剪應力。
3. 彎曲應力與剪應力組合後的最大剪應力、最大正向應力。

實心圓截面的截面性質為

$$I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad c=\frac d2$$

固定端的彎矩大小為

$$M=PL$$

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解題方法

1. 彎曲正向應力

彎曲應力公式為

$$\sigma_x=\frac{Mc}{I}$$

代入 $M=PL$ 與 $c=d/2$：

$$\sigma_x =\frac{PL(d/2)}{\pi d^4/64} =\frac{32PL}{\pi d^3}$$

A、C 點位於受彎曲的最外側，因此彎曲正向應力大小為

$$\left|\sigma_x\right|=\frac{32PL}{\pi d^3}$$

A、C 兩點的應力符號相反，一點受拉、另一點受壓。

B、D 點位於彎曲中性軸上，因此

$$\sigma_x=0$$

2. 扭轉剪應力

扭轉剪應力為

$$\tau=\frac{T\rho}{J}$$

在圓柱表面 $\rho=c=d/2$，故最大扭轉剪應力為

$$\tau_{\max} =\frac{T(d/2)}{\pi d^4/32} =\frac{16T}{\pi d^3}$$

在 C 點，彎曲正向應力與扭轉剪應力同時存在。平面應力狀態下，最大剪應力為

$$\tau_{\max,C} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x}{2}\right)^2+\tau^2 }$$

代入

核心觀念

本題考查軸向變截面桿件的總伸長。軸向力為常數 $P$，但桿件截面積沿長度變化，因此需使用微小軸向變形公式：

$$d\delta=\frac{P}{E A(x)}\,dx$$

中空圓截面的面積為

$$A(x)=\frac{\pi}{4}\left[D(x)^2-d^2\right]$$

其中 $D(x)$ 為外徑，內徑 $d$ 全長不變。

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解題方法與推導

整支桿件分為三段：

1. 窄端等徑段：長度 $L$，外徑 $d_A$
2. 中間直徑線性變化段：長度 $L$，外徑由 $d_A$ 變為 $d_B$
3. 寬端等徑段：長度 $L$，外徑 $d_B$

由於各段承受相同軸力 $P$，總伸長為三段伸長量相加。

第一段：窄端等徑段

$$\delta_A = \frac{PL}{E\left[\frac{\pi}{4}(d_A^2-d^2)\right]} = \frac{4PL}{\pi E(d_A^2-d^2)}$$

第三段：寬端等徑段

$$\delta_B = \frac{PL}{E\left[\frac{\pi}{4}(d_B^2-d^2)\right]} = \frac{4PL}{\pi E(d_B^2-d^2)}$$

第二段：錐形變截面段

令外徑 $D$ 隨長度線性變化，則

$$dx=\frac{L}{d_B-d_A}\,dD$$

因此

$$\delta_t = \int_0^L \frac{P}{EA(x)}\,dx = \frac{4P}{\pi E} \frac{L}{d_B-d_A} \int_{d_A}^{d_B}\frac{dD}{D^2-d^2}$$

而

$$\int\frac{dD}{D^2-d^2} = \frac{1}{2d} \ln\left(\frac{D-d}{D+d}\right)$$

所以

核心觀念

本題考查薄壁圓筒壓力容器的膜應力，以及平面應力狀態下的虎克定律。

對內半徑為 $r$、壁厚為 $t$、內壓力為 $p$ 的薄壁圓筒：

• 軸向應力：

$$\sigma_L=\frac{pr}{2t}$$

• 環向應力：

$$\sigma_N=\frac{pr}{t}=2\sigma_L$$

其中 $L$ 為軸向，$N$ 為環向。

平面應力下的應變關係為：

$$\varepsilon_L=\frac{\sigma_L-\nu\sigma_N}{E}$$ $$\varepsilon_N=\frac{\sigma_N-\nu\sigma_L}{E}$$

已知：

$$r=\frac{1}{2}=0.5\ \text{m},\qquad t=12\ \text{mm}=0.012\ \text{m}$$ $$E=210\ \text{GPa},\qquad \nu=0.3$$

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(a) 已知環向應變，求軸向應力

圖中給定環向應變：

$$\varepsilon_N=500\times10^{-6}$$

由 $\sigma_N=2\sigma_L$：

$$\varepsilon_N =\frac{2\sigma_L-\nu\sigma_L}{E} =\frac{(2-\nu)\sigma_L}{E}$$

因此：

$$\sigma_L =\frac{E\varepsilon_N}{2-\nu}$$

代入數值：

$$\sigma_L =\frac{210\times10^9(500\times10^{-6})}{2-0.3}$$ $$\boxed{\sigma_L=61.8\ \text{MPa}}$$

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(b) 已知軸向應變，求內壓力

圖中給定軸向應變：

$$\varepsilon_L=150\times10^{-6}$$

由：

$$\varepsilon_L =\frac{\sigma_L-\nu\sigma_N}{E}$$

且 $\sigma_N=2\sigma_L$，所以：

$$\varepsilon_L =\frac{\sigma_L-2\nu\sigma_L}{E} =\frac{(1-2\nu)\sigma_L}{E}$$

故：

$$\sigma_L =\frac{E\varepsilon_L}{1-2\nu}$$

代入：

$$\sigma_L =\frac{210\times10^9(150\times10^{-6})}{1-2(0.3)} =78.75\ \text{MPa}$$

再由：

$$\sigma_L=\frac{pr}{2t}$$

解得：

$$p=\frac{2t\sigma_L}{r}$$ $$p=\frac{2(0.012)(78.75\times10^6)}{0.5}$$ $$\boxed{p=3.78\ \text{MPa}}$$

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(c) 焊道方向之應變量測

已知：

$$p=500\ \text{kPa}=0.5\ \text{MPa}$$

圓筒軸向與環向應力為：

$$\sigma_L=\frac{pr}{2t} =\frac{(0.5\times10^6)(0.5)}{2(0.012)} =10.42\ \text{MPa}$$ $$\sigma_N=2\sigma_L=20.83\ \text{MPa}$$