109 年 國立臺灣大學機械系碩士班設計組《靜力學》

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第 1 題15 分

  1. Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area in Fig. 1. (15%)
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    The shaded area is bounded by the curves y=k2xy = k_2\sqrt{x} and y=k1x3y = k_1x^3, and the vertical line x=ax=a.
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核心觀念

以垂直窄矩形切割曲線間的面積。若上、下邊界分別為 yuy_u、yly_l，則

A=∫yu−yl dx,xˉ=1A∫x(yu−yl) dx,yˉ=12A∫(yu2−yl2) dx.A=\int y_u-y_l\,dx,\qquad \bar{x}=\frac{1}{A}\int x(y_u-y_l)\,dx,\qquad \bar{y}=\frac{1}{2A}\int (y_u^2-y_l^2)\,dx.

由圖可見，兩曲線在原點及 (a,a)(a,a) 相交，因此積分範圍是 0≤x≤a0\le x\le a。

解題方法

利用曲線通過 (a,a)(a,a) 求出常數：

a=k2a⇒k2=a,a=k1a3⇒k1=1a2.a=k_2\sqrt{a}\quad\Rightarrow\quad k_2=\sqrt{a}, \qquad a=k_1a^3\quad\Rightarrow\quad k_1=\frac{1}{a^2}.

在 0≤x≤a0\le x\le a 內，y=k2xy=k_2\sqrt{x} 為上邊界，y=k1x3y=k_1x^3 為下邊界。面積為

A=∫0a(ax−x3a2)dx=(23−14)a2=512a2.A=\int_0^a\left(\sqrt{ax}-\frac{x^3}{a^2}\right)dx =\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)a^2 =\frac{5}{12}a^2.

計算 xx 座標：

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第 2 題15 分

  1. Determine the force in member CG of the loaded truss, as shown in Fig. 2. Assume that the four external
    reactions at A, B, E, and F are equal in magnitude and are directed perpendicular to the local supporting
    surface. (15%)
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    The truss is supported at A, B, E, and F. The reactions at these supports are equal in magnitude and perpendicular to the supporting surface. Loads L are applied at joints C and D. The angles are given as 15 degrees and 30 degrees. The lengths of the segments are related to R, with segment AF being 3R.
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核心觀念

本題考查：

  • 桁架整體平衡：∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0。
  • 節點法：每一個節點皆滿足 ∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0。
  • 二力構件：桿件內力必沿桿件軸線作用。
  • 零力桿件判斷與幾何分解。

依圖中幾何，外側節點位於半徑 RR 的圓弧上，內側節點位於半徑 3R/43R/4 的圓弧上；各支承反力方向沿圖示支承面的法線。

解題方法

設四個支承反力大小皆為 PP。由結構與載重的左右對稱性，水平分量互相抵消。

四個反力的鉛直分量總和必平衡兩個向下荷載：

4Pcos⁡45∘=2L4P\cos45^\circ=2L

因此

P=L2P=\frac{L}{\sqrt2}

接著由右端節點 EE 開始使用節點法。

1. 節點 EE

在 EE 點，支承反力與桿件 EFEF 共線，因此桿件 DEDE 為零力桿件，且

NEF=PN_{EF}=P

2. 節點 FF

由圖中幾何方向分解 FF 點各力，可得桿件 FGFG 與 FDFD 的內力。取拉力為正、壓力為負，計算結果為

NFG=2.93LN_{FG}=2.93L NFD=−2.90LN_{FD}=-2.90L

其中負號表示 FDFD 為壓力。

3. 節點 DD

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第 3 題4 分

  1. Two sheets S₁ and S₂ have the same size L x W x t, Young's Modulus of S₁ is E₁=E, Young's Modulus of S2
    is E2=2E, different thermal expansion coefficients a and ẞ=1.2a, as shown in Fig.3. They are firmly
    attached together.
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
    Fig.3 Bi-sheet
    When the temperature rises from To to T, please derive the following parameters with the above-
    mentioned dimensional parameters (To, T, α, E, L, W, t)
    (a) The thermal expansion deflections Als, and Als2 of the both unattached sheets. (4%)
    (b) According to the force equilibrium condition, how is the longitudinal forces Fs, and Fs2 inside the
    attached sheets. (4%)
    (c) The bending moment M and its distribution along the Bi-Sheet. (6%)
    (d) Please draw the moment distribution and the deflected form along the Bi-sheet. (2%)
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核心觀念

兩片薄板黏合後，沿長度方向須符合平截面假設：同一截面的軸向應變隨厚度方向線性變化。升溫造成的自由熱應變則分別為 αΔT\alpha\Delta T 與 βΔT\beta\Delta T，其中

ΔT=T−T0,β=1.2α\Delta T=T-T_0,\qquad \beta=1.2\alpha

因此，兩層會產生不同的軸向應力，並使雙層板彎曲。由於試片沒有外加軸力或彎矩，截面軸力合力與截面彎矩合力都為零。

(a) 未黏合時的熱膨脹量

各層未受拘束時，長度變化為 ΔL=αTLΔT\Delta L=\alpha_T L\Delta T：

ΔLS1=αL(T−T0)\Delta L_{S_1}=\alpha L(T-T_0) ΔLS2=βL(T−T0)=1.2αL(T−T0)\Delta L_{S_2}=\beta L(T-T_0)=1.2\alpha L(T-T_0)

因此，上層 S2S_2 的自由膨脹量較大。

(b) 黏合後的縱向力

取兩層交界面為 y=0y=0，令 S1S_1 位於 −t≤y≤0-t\le y\le0，S2S_2 位於 0≤y≤t0\le y\le t。令 ε0\varepsilon_0 為交界面的軸向應變，令 κ\kappa 為曲率大小；因上層膨脹較多，S2S_2 位於彎曲外側，應變分布可寫成

ε(y)=ε0+κy\varepsilon(y)=\varepsilon_0+\kappa y

各層軸向應力為

σ1(y)=E[ε0+κy−αΔT]\sigma_1(y)=E\left[\varepsilon_0+\kappa y-\alpha\Delta T\right] σ2(y)=2E[ε0+κy−1.2αΔT]\sigma_2(y)=2E\left[\varepsilon_0+\kappa y-1.2\alpha\Delta T\right]

試片沒有外加軸力，所以截面軸力合力為零：

W∫−t0σ1(y) dy+W∫0tσ2(y) dy=0W\int_{-t}^{0}\sigma_1(y)\,dy+ W\int_{0}^{t}\sigma_2(y)\,dy=0

截面也沒有外加彎矩，因此對交界面取矩：

W∫−t0yσ1(y) dy+W∫0tyσ2(y) dy=0W\int_{-t}^{0}y\sigma_1(y)\,dy+ W\int_{0}^{t}y\sigma_2(y)\,dy=0

整理兩式可得

3ε0+κt2−3.4αΔT=03\varepsilon_0+\frac{\kappa t}{2}-3.4\alpha\Delta T=0 ε02−0.7αΔT+κt=0\frac{\varepsilon_0}{2}-0.7\alpha\Delta T+\kappa t=0

解得

ε0=6155αΔT,κ=855αΔTt\varepsilon_0=\frac{61}{55}\alpha\Delta T, \qquad \kappa=\frac{8}{55}\frac{\alpha\Delta T}{t}

每層的縱向合力須將該層應力沿厚度積分。S1S_1 與 S2S_2 的形心分別在 y=−t/2y=-t/2 與 y=t/2y=t/2，所以

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第 4 題5 分

(Continue Problem 4) Please derive the following parameters with the above-mentioned dimensional
parameters (μ, Ain, Aa, a, b, c, r, N, Fin, Fa).
(a) The acting force F, induced by the input force Fin through the hydraulic piston with different piston area
Ain and Aa. (5%)
(b) The free body diagram for the actuating lever with the braking block. (4%)
(c) The normal force N between the lining and the drum. (5%)
(d) The horizontal and vertical reaction forces, Rh and R,, at the pin location C. (5%)
(e) The braking torque T, on the drum. (5%)
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Fig.4 Block brake

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原卷第 2 頁原卷第 3 頁

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核心觀念

本題結合三個觀念：

  1. 帕斯卡原理：液壓缸內壓力相同，故輸出力與活塞面積成正比。
  2. 剛體平衡：煞車槓桿滿足
    ∑Fx=0,∑Fy=0,∑MC=0.\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_C=0.
  3. 庫倫摩擦定律：煞車達到最大制動狀態時，摩擦力為
    Ff=μN.F_f=\mu N.

依圖中鼓輪的轉動方向，鼓輪在接觸點對煞車片施加向左的摩擦力；因此煞車片與槓桿所受的摩擦力方向向左。

(a) 液壓缸輸出力 FaF_a

液壓缸內壓力為

p=FinAin.p=\frac{F_{in}}{A_{in}}.

作用在面積 AaA_a 的輸出活塞上，因此

Fa=pAa=FinAinAa.F_a=pA_a =\frac{F_{in}}{A_{in}}A_a.

所以

Fa=AaAinFin.\boxed{F_a=\frac{A_a}{A_{in}}F_{in}}.

FaF_a 對煞車槓桿的作用方向如圖所示，為鉛直向下。

(b) 槓桿與煞車塊之自由體圖

將槓桿與煞車塊視為同一剛體，受力如下：

  • CC 點鉸接反力：水平分量 RhR_h、鉛直分量 RvR_v。
  • AA 點液壓作用力：FaF_a，方向向下。
  • BB 點鼓輪對煞車片的正向力：NN，方向向上。
  • BB 點摩擦力：Ff=μNF_f=\mu N，依圖中轉動方向向左。

其中：

  • CA=aCA=a
  • CB=bCB=b
  • 接觸力作用線與 CC 點的垂直距離為 cc
  • 鼓輪半徑為 rr

(c) 煞車片與鼓輪間的正向力 NN

以 CC 點取力矩。逆時針為正：

  • FaF_a 產生順時針力矩：−aFa-aF_a
  • 正向力 NN 產生逆時針力矩：+bN+bN
  • 向左摩擦力 μN\mu N 的作用線位於 CC 點下方，產生順時針力矩：−cμN-c\mu N

因此

∑MC=0\sum M_C=0

得

bN−cμN−aFa=0.bN-c\mu N-aF_a=0.

整理：

N(b−μc)=aFa.N(b-\mu c)=aF_a.

故

N=aFab−μc.\boxed{N=\frac{aF_a}{b-\mu c}}.

代入液壓輸出力：

N=aAaFinAin(b−μc).\boxed{ N= \frac{aA_aF_{in}} {A_{in}(b-\mu c)} }.

其中 b−μcb-\mu c 為有效力矩臂。若 b−μcb-\mu c 愈小，代表摩擦具有愈強的自增力效果，所需的液壓輸入力愈小。

(d) CC 點的水平與鉛直反力

水平方向

取向右為正：

∑Fx=0\sum F_x=0
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