109 年 國立臺灣大學機械系碩士班設計組《動力學（D）》

📄 試題原卷　免費註冊後即可對照原始考卷 PDF免費註冊

第 3 題15 分

A 20-kg block A is towed up the ramp of the 40-kg cart using the motor M mounted on the side of the cart, as shown in Figure 4.
If the motor winds in the cable with a constant velocity of 5 m/s, measured relative to the cart, determine how far the cart will
move when the block has traveled a distance s = 2 m up the ramp. Both the block and the cart are at rest when s = 0. The coefficient
of kinetic friction between the block and the ramp is μk=0.2\mu_k = 0.2. Neglect the rolling resistance, and the other friction forces. (15%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

將「方塊 A＋台車」視為整體。馬達、滑輪、鋼索與斜面間的作用力皆屬於系統內力；水平方向沒有外力，因此水平方向動量守恆。

設：

  • 方塊質量 mA=20 kgm_A=20\ \text{kg}
  • 台車質量 mC=40 kgm_C=40\ \text{kg}
  • 斜面角度 θ=30∘\theta=30^\circ
  • 台車向右位移為 xx
  • 方塊相對台車沿斜面向上位移為 ss

由圖可知，方塊沿斜面向上時，其相對台車的水平位移分量為 scos⁡30∘s\cos30^\circ。

解題方法

取向右為正方向，方塊相對地面的水平位置為

xA=x+scos⁡θx_A=x+s\cos\theta

因此，系統水平方向的動量為

Px=mCx˙+mA(x˙+s˙cos⁡θ)P_x=m_C\dot{x}+m_A(\dot{x}+\dot{s}\cos\theta)

由於初始時台車與方塊皆靜止，且水平方向外力合力為零：

Px=0P_x=0

所以

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題15 分

For a cam-follower mechanism shown in Figure 5 (unit = cm), the cam is rotating with a constant angular velocity 1 rad/sec, CCW. (15%)
(a) Find the sliding velocity between the cam and the follower at point P, in cm/sec. (7%)
(b) Find the angular acceleration of the follower 3, in rad/sec². (8%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查偏心圓盤凸輪與搖桿從動件的瞬時運動分析，使用：

  1. 剛體定軸轉動的速度與加速度：
    v=ω×r\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r
    a=α×r−ω2r\mathbf a=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r-\omega^2\mathbf r

  2. 接觸點的法向速度必須相同；切線方向的速度差即為滑動速度。

  3. 由圖中尺寸可得：

    • 凸輪半徑：
      R=602=30 cmR=\frac{60}{2}=30\text{ cm}
    • O2P=85−75=10 cmO_2P=85-75=10\text{ cm}
    • O2O3O_2O_3 的垂直距離為 40 cm40\text{ cm}
    • 因 PP 為圓盤最高點，所以圓心 CC 位於 PP 下方 30 cm30\text{ cm}，故 O2CO_2C 的座標可取為 (10,10)(10,10) cm。
    • O3P=75O_3P=75 cm。

取 xx 軸向右、yy 軸向上，凸輪角速度為

ω2=1 rad/s\omega_2=1\text{ rad/s}

且逆時針為正。

解題方法

(a) 接觸點 PP 的滑動速度

凸輪上瞬時位於 PP 的點，其相對於 O2O_2 的位置向量為

rP/O2=10i+40j cm\mathbf r_{P/O_2}=10\mathbf i+40\mathbf j\text{ cm}

因此其速度為

vP(2)=ω2×rP/O2\mathbf v_P^{(2)} =\boldsymbol\omega_2\times\mathbf r_{P/O_2} vP(2)=1k×(10i+40j)=−40i+10jcm/s\mathbf v_P^{(2)} =1\mathbf k\times(10\mathbf i+40\mathbf j) =-40\mathbf i+10\mathbf j \quad\text{cm/s}

所以凸輪接觸點速度為

vP(2)=(−40i+10j) cm/s\mathbf v_P^{(2)}=(-40\mathbf i+10\mathbf j)\text{ cm/s}

從動件 3 繞 O3O_3 轉動。由於 O3PO_3P 此瞬間為水平，故從動件接觸點速度只有鉛直分量，水平方向速度為零：

vPx(3)=0v_{Px}^{(3)}=0

接觸面在 PP 點的共同切線為水平方向，因此滑動速度為兩接觸點的切向速度差：

vs=vPx(2)−vPx(3)v_s=v_{Px}^{(2)}-v_{Px}^{(3)}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 1 題35 分

A crank slider mechanism is shown in Figure 1. Link 2 and link 3 are assumed to be massless. The mass of link 4 is 2 kg. The
length of link 2 and link 3 are 40 cm and 80 cm, respectively. A varying torque T is applied on link 2 to make it rotate at a constant
speed of 10 rad/s in the counterclockwise (CCW) direction. (35%)
(a) Determine the velocity of link 4 when θ\theta is 150°. (10%)
(b) Determine the torque T when θ\theta is 150°. All the joints are assumed to be frictionless. (15%)
(c) Determine the torque T when θ\theta is 150° if there is friction (f = μΝ, μ = 0.3) on the sliding pair between link 4 and link 1. (10%)

g = 9.81 m/s²
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查曲柄滑塊機構的：

  • 幾何約束與位置分析
  • 速度、加速度分析
  • 功率法／能量法求輸入扭矩
  • 滑動摩擦力與正向力的聯立計算

已知

r=0.4 m,l=0.8 m,ω2=10 rad/sr=0.4\ \text{m},\qquad l=0.8\ \text{m},\qquad \omega_2=10\ \text{rad/s}

且曲柄以逆時針方向等角速度轉動，因此

θ˙=10 rad/s,θ¨=0\dot{\theta}=10\ \text{rad/s},\qquad \ddot{\theta}=0

取滑塊向右為 xx 軸正方向，曲柄角度 θ\theta 自水平向右量起。

幾何位置方程

曲柄端點的座標為

A=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)A=(r\cos\theta,r\sin\theta)

滑塊沿 xx 軸運動，因此滑塊位置為

x=rcos⁡θ+l2−r2sin⁡2θx=r\cos\theta+\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}

在

θ=150∘\theta=150^\circ

時，

sin⁡150∘=0.5,cos⁡150∘=−0.866025\sin150^\circ=0.5,\qquad \cos150^\circ=-0.866025

令

s=l2−r2sin⁡2θs=\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}

則

s=0.82−0.42(0.5)2=0.6=0.774597 ms=\sqrt{0.8^2-0.4^2(0.5)^2} =\sqrt{0.6} =0.774597\ \text{m}

(a) 滑塊速度

對位置方程對 θ\theta 微分：

dxdθ=−rsin⁡θ−r2sin⁡θcos⁡θs\frac{dx}{d\theta} =-r\sin\theta -\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{s}

代入 θ=150∘\theta=150^\circ：

dxdθ=−0.4(0.5)−0.42(0.5)(−0.866025)0.774597\frac{dx}{d\theta} =-0.4(0.5) -\frac{0.4^2(0.5)(-0.866025)}{0.774597} dxdθ=−0.088197 m/rad\frac{dx}{d\theta}=-0.088197\ \text{m/rad}

因此滑塊速度為

v4=x˙=dxdθθ˙=(−0.088197)(10)v_4=\dot{x} =\frac{dx}{d\theta}\dot{\theta} =(-0.088197)(10) v4=−0.882 m/s\boxed{v_4=-0.882\ \text{m/s}}

負號表示滑塊向左運動。

滑塊加速度

由

x˙=dxdθθ˙\dot{x}=\frac{dx}{d\theta}\dot{\theta}

且 θ˙\dot{\theta} 為常數，因此

x¨=d2xdθ2θ˙2\ddot{x}=\frac{d^2x}{d\theta^2}\dot{\theta}^2

其中

d2xdθ2=−rcos⁡θ−r2(cos⁡2θ−sin⁡2θ)s−r4sin⁡2θcos⁡2θs3\frac{d^2x}{d\theta^2} =-r\cos\theta -\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{s} -\frac{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta}{s^3}

代入數值得

d2xdθ2=0.232803 m/rad2\frac{d^2x}{d\theta^2}=0.232803\ \text{m/rad}^2

所以

a4=x¨=0.232803(10)2a_4=\ddot{x} =0.232803(10)^2 a4=23.28 m/s2\boxed{a_4=23.28\ \text{m/s}^2}

方向向右。

(b) 無摩擦時的輸入扭矩

因為連桿 2、3 無質量，且各接頭無摩擦，唯一具有動能變化的物體是質量為 2 kg2\ \text{kg} 的滑塊 4。

使用功率法：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題35 分

In Figure 2, sliders A and B are pin-jointed to link ABC and can slide along fixed tracks. (35%)
(a) Determine the path of point C (x, y), knowing that β=90∘\beta = 90^\circ and the locus of the instantaneous center ICI_C (xc, yc) between the fixed link and link ABC and locate the instantaneous center ICI_C when β=0∘\beta = 0^\circ. What type of rigid body motion is link ABC undergoing? (10%)
(b) If the velocity VAV_A of the slider A is known, express the angular velocity of link ABC and the velocity of slider B in terms of VAV_A, a, b, θ\theta, and β\beta. If the acceleration AAA_A of the slider A is known, express the angular acceleration of link ABC in terms of AAA_A, a, b, θ\theta, and β\beta. (15%)
(c) Determine the mobility of the wedge assembly in Figure 3. Show the equation used to determine your answers. Does the double-
slider mechanism in Figure 2 kinematically represent the mechanism equivalent to the wedge assembly in Figure 3? Please
explain your own opinions in detail. (10%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平面剛體運動、瞬時中心、相對速度與相對加速度，以及平面機構自由度。

由圖可知：

  • AC=aAC=a
  • BC=bBC=b
  • 因此 AB=a−bAB=a-b
  • 滑塊 AA 沿水平軌道運動
  • 滑塊 BB 沿與水平夾角 β\beta 的固定斜軌運動
  • 剛桿 ABCABC 與 xx 軸夾角為 θ\theta

令

d=AB=a−bd=AB=a-b

(a) 點 CC 的路徑與瞬時中心

1. β=90∘\beta=90^\circ 時點 CC 的路徑

當 β=90∘\beta=90^\circ 時，滑塊 BB 沿鉛直方向運動，因此

xB=0x_B=0

由幾何關係：

xC=xB+bcos⁡θ=bcos⁡θx_C=x_B+b\cos\theta=b\cos\theta

又因為 AA 在水平軌道上，yA=0y_A=0，且 AC=aAC=a，所以

yC=asin⁡θy_C=a\sin\theta

消去 θ\theta：

xC2b2+yC2a2=1\frac{x_C^2}{b^2}+\frac{y_C^2}{a^2}=1

因此，點 CC 的路徑為以原點為中心、半軸分別為 bb 與 aa 的橢圓。

2. 瞬時中心 ICI_C 的軌跡

當 β=90∘\beta=90^\circ 時：

  • AA 的速度為水平，故通過 AA 的瞬時中心線為鉛直線
  • BB 的速度為鉛直，故通過 BB 的瞬時中心線為水平線

因此瞬時中心為

IC=(xA,yB)I_C=(x_A,y_B)

由剛桿幾何關係：

xA=xC−acos⁡θ=(b−a)cos⁡θx_A=x_C-a\cos\theta =(b-a)\cos\theta yB=yC−bsin⁡θ=(a−b)sin⁡θy_B=y_C-b\sin\theta =(a-b)\sin\theta

所以

xIC=−(a−b)cos⁡θx_{I_C}=-(a-b)\cos\theta yIC=(a−b)sin⁡θy_{I_C}=(a-b)\sin\theta

消去 θ\theta：

xIC2+yIC2=(a−b)2x_{I_C}^2+y_{I_C}^2=(a-b)^2

故 ICI_C 的軌跡為以兩固定軌道交點為圓心、半徑 a−ba-b 的圓。

3. β=0∘\beta=0^\circ 時的瞬時中心

當 β=0∘\beta=0^\circ 時，AA、BB 都沿水平方向運動，兩者速度平行，因此其速度法線也互相平行，交點位於無限遠處：

IC→∞I_C\rightarrow \infty

此時剛桿 ABCABC 作純平移運動，角速度為零。

4. 剛體運動類型

  • β=90∘\beta=90^\circ：剛桿作一般平面運動，同時具有平移與轉動。
  • β=0∘\beta=0^\circ：剛桿作純平移運動。
  • 一般 β\beta：除特殊位置外，均為一般平面運動。

(b) 角速度、滑塊 BB 速度與角加速度

1. 角速度

取逆時針為正，剛桿 ABCABC 的角速度為 ω\omega。

以 AA 為基準，BB 的速度為

V⃗B=V⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec V_B = \vec V_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}

其中

r⃗B/A=d(cos⁡θ i+sin⁡θ j)\vec r_{B/A} =d(\cos\theta\,\mathbf i+\sin\theta\,\mathbf j)

因此

V⃗B=(VA−ωdsin⁡θ)i+ωdcos⁡θ j\vec V_B = \left(V_A-\omega d\sin\theta\right)\mathbf i + \omega d\cos\theta\,\mathbf j

由於 BB 只能沿斜軌運動，V⃗B\vec V_B 必須與斜軌方向平行：

V⃗B=VB(cos⁡β i+sin⁡β j)\vec V_B=V_B(\cos\beta\,\mathbf i+\sin\beta\,\mathbf j)

將速度式與斜軌法向量作內積，得

VAsin⁡β−ωdcos⁡(θ−β)=0V_A\sin\beta-\omega d\cos(\theta-\beta)=0

故

ω=VAsin⁡β(a−b)cos⁡(θ−β)\boxed{ \omega = \frac{V_A\sin\beta} {(a-b)\cos(\theta-\beta)} }

2. 滑塊 BB 的速度

將 V⃗B\vec V_B 投影到斜軌方向：

VB=VAcos⁡β+ωdsin⁡(β−θ)V_B = V_A\cos\beta +\omega d\sin(\beta-\theta)

代入角速度後：

VB=VAcos⁡θcos⁡(θ−β)\boxed{ V_B = \frac{V_A\cos\theta} {\cos(\theta-\beta)} }

其中 VBV_B 的正負代表滑塊沿斜軌正方向或反方向運動。

3. 角加速度

剛桿相對於 AA 點的加速度關係為

A⃗B=A⃗A+α⃗×r⃗B/A−ω2r⃗B/A\vec A_B = \vec A_A + \vec\alpha\times\vec r_{B/A} - \omega^2\vec r_{B/A}

其中

A⃗A=AAi\vec A_A=A_A\mathbf i

因此

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 1 題35 分

A crank slider mechanism is shown in Figure 1. Link 2 and link 3 are assumed to be massless. The mass of link 4 is 2 kg. The
length of link 2 and link 3 are 40 cm and 80 cm, respectively. A varying torque T is applied on link 2 to make it rotate at a constant
speed of 10 rad/s in the counterclockwise (CCW) direction. (35%)
(a) Determine the velocity of link 4 when θ\theta is 150°. (10%)
(b) Determine the torque T when θ\theta is 150°. All the joints are assumed to be frictionless. (15%)
(c) Determine the torque T when θ\theta is 150° if there is friction (f = μΝ, μ = 0.3) on the sliding pair between link 4 and link 1. (10%)

g = 9.81 m/s²
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查曲柄滑塊機構的：

  • 幾何約束與位置分析
  • 速度、加速度分析
  • 功率法／能量法求輸入扭矩
  • 滑動摩擦力與正向力的聯立計算

已知

r=0.4 m,l=0.8 m,ω2=10 rad/sr=0.4\ \text{m},\qquad l=0.8\ \text{m},\qquad \omega_2=10\ \text{rad/s}

且曲柄以逆時針方向等角速度轉動，因此

θ˙=10 rad/s,θ¨=0\dot{\theta}=10\ \text{rad/s},\qquad \ddot{\theta}=0

取滑塊向右為 xx 軸正方向，曲柄角度 θ\theta 自水平向右量起。

幾何位置方程

曲柄端點的座標為

A=(rcos⁡θ,rsin⁡θ)A=(r\cos\theta,r\sin\theta)

滑塊沿 xx 軸運動，因此滑塊位置為

x=rcos⁡θ+l2−r2sin⁡2θx=r\cos\theta+\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}

在

θ=150∘\theta=150^\circ

時，

sin⁡150∘=0.5,cos⁡150∘=−0.866025\sin150^\circ=0.5,\qquad \cos150^\circ=-0.866025

令

s=l2−r2sin⁡2θs=\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}

則

s=0.82−0.42(0.5)2=0.6=0.774597 ms=\sqrt{0.8^2-0.4^2(0.5)^2} =\sqrt{0.6} =0.774597\ \text{m}

(a) 滑塊速度

對位置方程對 θ\theta 微分：

dxdθ=−rsin⁡θ−r2sin⁡θcos⁡θs\frac{dx}{d\theta} =-r\sin\theta -\frac{r^2\sin\theta\cos\theta}{s}

代入 θ=150∘\theta=150^\circ：

dxdθ=−0.4(0.5)−0.42(0.5)(−0.866025)0.774597\frac{dx}{d\theta} =-0.4(0.5) -\frac{0.4^2(0.5)(-0.866025)}{0.774597} dxdθ=−0.088197 m/rad\frac{dx}{d\theta}=-0.088197\ \text{m/rad}

因此滑塊速度為

v4=x˙=dxdθθ˙=(−0.088197)(10)v_4=\dot{x} =\frac{dx}{d\theta}\dot{\theta} =(-0.088197)(10) v4=−0.882 m/s\boxed{v_4=-0.882\ \text{m/s}}

負號表示滑塊向左運動。

滑塊加速度

由

x˙=dxdθθ˙\dot{x}=\frac{dx}{d\theta}\dot{\theta}

且 θ˙\dot{\theta} 為常數，因此

x¨=d2xdθ2θ˙2\ddot{x}=\frac{d^2x}{d\theta^2}\dot{\theta}^2

其中

d2xdθ2=−rcos⁡θ−r2(cos⁡2θ−sin⁡2θ)s−r4sin⁡2θcos⁡2θs3\frac{d^2x}{d\theta^2} =-r\cos\theta -\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{s} -\frac{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta}{s^3}

代入數值得

d2xdθ2=0.232803 m/rad2\frac{d^2x}{d\theta^2}=0.232803\ \text{m/rad}^2

所以

a4=x¨=0.232803(10)2a_4=\ddot{x} =0.232803(10)^2 a4=23.28 m/s2\boxed{a_4=23.28\ \text{m/s}^2}

方向向右。

(b) 無摩擦時的輸入扭矩

因為連桿 2、3 無質量，且各接頭無摩擦，唯一具有動能變化的物體是質量為 2 kg2\ \text{kg} 的滑塊 4。

使用功率法：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

其他學校的機械與機電考古題

清華大學50成功大學164中央大學20中正大學59中山大學53臺南大學2